选修4-4圆锥曲线的参数方程2015.5.28)

第二章参数方程第二章参数方程椭圆的参数方程第二章参数方程例1、如下图，以原点为圆心，分别以a，b（a＞b＞0）为半径作两个圆，点B是大圆半径OA与小圆的交点，过点A作AN⊥ox，垂足为N，过点B作BM⊥AN，垂足为M，求当半径OA绕点O旋转时点M的轨迹参数方程.OAMxyNB分析：点M的横坐标与点A的横坐标相同,点M的纵坐标与点B的纵坐标相同.而A、B的坐标可以通过引进参数建立联系.设∠XOA=φ第二章参数方程例1、如下图，以原点为圆心，分别以a，b（a＞b＞0）为半径作两个圆，点B是大圆半径OA与小圆的交点，过点A作AN⊥ox，垂足为N，过点B作BM⊥AN，垂足为M，求当半径OA绕点O旋转时点M的轨迹参数方程.OAMxyNB解：设∠XOA=φ,M(x,y),则A:(acosφ,asinφ),B:(bcosφ,bsinφ),由已知:即为点M的轨迹参数方程.sinbycosax)(为参数消去参数得:,bya12222x即为点M的轨迹普通方程.第二章参数方程1.参数方程是椭圆的参数方程.cosxasinyb2.在椭圆的参数方程中，常数a、b分别是椭圆的长半轴长和短半轴长.ab另外,称为离心角,规定参数的取值范围是[0,2)cos,sin.xaXyb焦点在轴cos,sin.xbYya焦点在轴第二章参数方程φOAMxyNB知识归纳椭圆的标准方程:12222byax椭圆的参数方程中参数φ的几何意义:)(sinbycosa为参数x椭圆的参数方程:是∠AOX=φ,不是∠MOX=φ.第二章参数方程名称参数方程各元素的几何意义圆椭圆(cos{sin为参数）xarybr,)OabrOPx（表示圆心，表示半径，是动与轴的正半轴组成的圆心角。(cos{sin为参数）xaybabOMOX表示长半轴，表示短半轴，表示离心角，但不是与的正半轴所成的角。知识归纳第二章参数方程练习1：已知椭圆的参数方程为(是参数)，则此椭圆的长轴长为（），短轴长为（），焦点坐标是（），离心率是（）。2cossinxy4232(,0)3第二章参数方程例2、设P是椭圆223641yx在第一象限部分的弧AB上的一点，求使四边形OAPB的面积最大的点P的坐标。42=时四边形OAPB的最大值=6)223(，此时点P第二章参数方程例3、如图，在椭圆x2+8y2=8上求一点P，使P到直线l：x-y+4=0的距离的最小值.xyOP分析1：),y,y(288P设2882|4yy|d则分析2：),sin,cos(P22设24)cos(52|4sincos22|d则分析3：平移直线l至首次与椭圆相切，切点即为所求.小结：借助椭圆的参数方程，可以将椭圆上的任意一点的坐标用三角函数表示，利用三角知识加以解决。第二章参数方程sin2cos3yx62、已知椭圆(为参数)求（1）（2）直线OP的倾斜角时对应的点P的坐标12222byax0baxe3、椭圆（）与轴正向交于点A，若这个椭圆上存在点P，使OP⊥AP，（O为原点），求离心率的范围。练习第二章参数方程双曲线的参数方程第二章参数方程•baoxyMA'B'Asec()tanxayb为参数2a222xy-=1(a0,b0)的参数方程为：b3[,2)22o通常规定且，。⑵双曲线的参数方程可以由方程与三角恒等式22221xyab22sec1tan相比较而得到，所以双曲线的参数方程的实质是三角代换.说明：⑴这里参数叫做双曲线的离心角与直线OM的倾斜角不同.双曲线的参数方程第二章参数方程22221:(2)11OxyPxyQPQ例、已知圆上一点与双曲线上一点，求、两点距离的最小值222222minmin(sec,tan)sec(tan2)tan1tan4tan42(tan1)35tan1,,34431QOQOQPQ解：设双曲线上点的坐标为先求圆心到双曲线上点的最小距离当即或时第二章参数方程例2.如图,设M为双曲线上任意一点,O为原点,过点M作双曲线两渐近线的平行线,分别与两渐近线交于A,B两点.探求平行四边形MAOB的面积,由此可以发现什么结论?)0,(12222babyaxxaby解:双曲线的渐近线方程为.不妨设M为双曲线右支上一点,其坐标为,则直线MA的方程为)tan,sec(ba)sec(tanaxabby将代入上式,解得点A的横坐标为)tan(sec2axA同理,得点B的横坐标为).tan(sec2axBxaby第二章参数方程设,则AOx,tanab所以,MAOB的面积为2sincoscos2sin||||BAxxOBOAS2sincos4)tan(sec2222a.22tan222ababaa由此可见,平行四边形MAOB的面积恒为定值,与点M在双曲线上的位置无关.第二章参数方程sec1.6tan8xPyP如果双曲线为参数上一点到它的右焦点的距离是，那么到它的左焦点的距离为_______________________.222222223sec2.tan().1.19339.1.133xyyyxxAByyCxDx下列双曲线中，与双曲线为参数的离心率和渐近线相同的是A第二章参数方程22222222sincos223.2sin().1.1||2.1.1||21xyAyxBxyxCyxDxyxy参数方程为参数的普通方程为C4.()....ttttxeetyeeABCD已知方程为参数的图形是双曲线左支双曲线右支双曲线上支双曲线下支B第二章参数方程225.0214xAByAB已知点，，为双曲线上的动点，求的最小值.第二章参数方程1cos26..1sin2ttttxeeCyee已知曲线的方程为2tCkkZtC当是非零常数，为参数时，是什么曲线？当为不等于的常数，为参数时，是什么曲线？两曲线有何共同特征？答:此椭圆与双曲线有共同的焦点.第二章参数方程抛物线的参数方程第二章参数方程.,表示焦点到准线的距离其中程为设抛物线的普通方如图ppxy21222⑤122图yxM,Oxy.,,边的角记作为终以射线外任意一点为抛物线上除顶点设OMyxM.,.,,,,,参数方程为参数来探求抛物线的可以取因此与之对应抛物线上都有惟一的点在的每一个值并且对于在抛物线上运动点内变化时在当显然MM22抛物线的参数方程第二章参数方程122图yxM,Oxy.tan,xyM根据三角函数定义可得的终边上在因为点⑥得到解出由,,,yx.tan,tanpypx222为参数⑤⑥.为参数方程不包括顶点这就是抛物线⑤则有如果令,,,,tan001tt第二章参数方程.,ptyptx222为参数t⑦.,的参数方程建立抛物线取参数怎样根据抛物线定义选思考022ppyx.描述轨迹形成过程用不同的参数方程动态..,,,.,,线的斜率的倒数外的任意一点与原点连表示抛物线上除顶点参数就表示整条抛物线参数方程时当因此线的顶点表示的点正好就是抛物由参数方程时当ttt000⑦⑦第二章参数方程.,,,02,,,13252的轨迹方程求点点相交于并与且点的两动点上异于顶是抛物线原点坐标是直角如图例MMABABOMOBOAppxyBAOABOMxy132图,,,,,,,,,,,,,,,,2221212121222121222202222ptptOBptptOAyxOMttttptptptptyxBAM则且的坐标为设点根据条件解.运动形成轨迹的过程看点M第二章参数方程.,12212222ttpttpAB,OBOA因为,,0220212221ttptptOBOA即所以121tt所以⑧ABOMxy132图,ABOM因为,,0220122122ttpyttpxABOM即所以.,002121xxyttyttx即所以⑨第二章参数方程,,,,yptxptMBptyptxAM2221212222因为ABOMxy132图所以三点共线且,,,BMA,xptptyyptptx2212212222⑩.,,,,的轨迹方程这就是点即得到代入将Mxpxyxxpxyy0020222⑨⑧022121xtpttty得化简,⑩第二章参数方程21212121212121221{()2,,11xpttyptMMttMMAttBttCDtttt、若曲线为参数上异于原点的不同两点，所对应的参数分别是则弦所在直线的斜率是、、、、()c第二章参数方程20032(1,0)MyxMPMMP、设为抛物线上的动点，给定点，点为线段的中点，求点的轨迹方程。练习2第二章参数方程222(22)().122()221.2MttPxytxPttyPyx解：设抛物线上任意一点坐标为，，的坐标为，则的轨迹方程为为参数，消去参数得点的普通方程为：第二章参数方程1226362CCyxm.:()sin:().,12x=m+2cos已知椭圆为参数及y=3抛物线若CC求的取值范围.练习3