初中数学专题训练--矩形新型题

初中数学专题训练--“矩形新型题”近年来，各地的中考数学试题中涌现了一类图文并茂、新颖活泼、富有创新意识、与矩形密切相关的几何问题。这类试题能综合考查学生的几何知识面、分析推理能力、创新思维能力等。本文从2007年全国中考数学试题中精选几例，加以分类阐述，以飨读者。一、将矩形折叠例1如图，先把一矩形ABCD纸片对折，设折痕为MN，再把B点叠在折痕线上，得到ABE。过B点折纸片使A点叠在直线AD上，得折痕PQ。（1）求证：QAB~PBE；（2）你认为PBE和BAE相似吗？如果相似给出证明，如不相似请说明理由；（3）如果沿直线EB折叠纸片，点A是否能叠在直线EC上？为什么？简解：（1）证明：∵90PEBPBE,9090180ABQPBE，∴PEBABQ。又∵90AQBBPE，∴QAB~PBE。（2）∵QAB~PBE，∴BQPEABBE，∵PBBQ，∴PBPEABBE，即PBABEPBE。又∵90BPEABE，∴BAE~PBE。（3）点A能叠在直线EC上，由（2）得，CEBAEB，∴EC和折痕AE重合。评注本题是以矩形为载体，把三角形的相似关系与几何图形的翻折有机地结合起来，解决此类问题的关键是抓住矩形的内角是直角的特征，利用相似的识别方法解决。本题突出考查了学生分析综合、动手、观察和探究的能力。二、将矩形平移例2如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，将矩形ABCD沿对角线AC平移，平移后的矩形为EFGH（A、E、C、G始终在同一条直线上），当点E与C重合时停止移动。平移中EF与BC交于点N，GH与BC的延长线交于点M，EH与DC交于点P，FG与DC的延长线交于点Q，设S表示矩形PCMH的面积，'S表示矩形NFQC的面积。（1）S与'S相等吗？请说明理由。（2）设AE=x，写出S和x之间的函数关系式，并求出x取何值时S有最大值，最大值是多少？（3）如图，连接BE，当AE为何值时，ABE是等腰三角形。简解：（1）相等。理由是：∵四边形ABCD、EFGH是矩形，∴EGFEGHSS，ECPECNSS，CGMCGQSS，∴CGQECNEGFCGMECPEGHSSSSSS，即'SS。（2）5AC,4BC,3AB，设xAE，则x5EC，)x5(53PC，x54MC。∴)x5(x2512MC·PCS，即)5x0(x512x2512S2。配方得：3)25x(2512S2。∴当25x时，S有最大值3。（3）当3ABAE或25BEAE或6.3AE时，ABE是等腰三角形。评注本题以图形平移为题材，是近年来常见的借助矩形运动的中考题。解决本题的关键是抓住矩形对角线分得两个全等三角形的面积相等，利用等式的性质解决，同时借助矩形的面积公式得到函数关系式，再利用配方求出最值。本题通过学生观察平移前后的图形变化，向学生渗透化归思想，突出考查了学生观察能力、探究实践能力和归纳推理能力。三、点在矩形上移动例3如图，在矩形ABCD中，1AD,22AB。点P在AC上，BPPQ，交CD于Q，CDPE，交于CD于E。点P从A点（不含A）沿AC方向移动，直到使点Q与点C重合为止。（1）设PQE,xAP的面积为S。请写出S关于x的函数解析式，并确定x的取值范围。（2）点P在运动过程中，PQE的面积是否有最大值，若有，请求出最大值及此时AP的取值；若无，请说明理由。简解：（1）过点P作BCPF，垂足为F。在矩形ABCD中，∵AB//PF，∴ABC~PFC，∴ABPFACPCBCFC。∵在ABCRt中，31)22(BCABAC2222。又∵xAP，∴x3PC，∴3x31FC，∴3x3FC，∴3xFCBCBF。易证四边形PFCE是矩形，PFB~PEQ，∴PFPEBFEQ。又ABPFBCFC，∴ABBCPFFC，又FCPE，∴ABBCBFEQ，∴ABBF·BCEQ，∴x1223x·221EQ，∴x242x7223x3·x12221PE·EQ21S2。过点B作ACBK，垂足为K。在ABCRt中，由等积法可得：BC·AB21BK·AC21，∴122BK3，∴322BK，由题意得当Q与C重合时，P与K重合，即AKAP。由ACB~ABK，得BCBKABAK，即32222x，∴38x，∴x的取值范围是38x0。（2）PQE面积有最大值，由（1）可得722x242x722S22)23x(322，∴当23x即23AP时，S面积最大，即322S最大。评注本题是近几年来常见的质点在矩形上运动的问题。这类问题常把函数、方程、不等式联系起来，求解策略是：1.抓住图形中变量之间的关系，建立函数模型或不等式模型；2.利用图形中特殊位置关系和一些特殊值，建立方程模型求解。本题突出考查了学生几何、代数知识综合运用的能力，数形结合、分析概括推理的能力。四、矩形在平面直角坐标系中例4已知在矩形ABCD中，O,425BC,4AB为BC上的一点，27BO，如下图所示，以BC所在直线为x轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系，M为线段OC上的一点。（1）若点M的坐标为)0,1(，如下图①，以OM为一边作等腰OMP，使点P在矩形ABCD的一边上，则符合条件的等腰三角形有几个？请直接写出所有符合条件的点P的坐标；（2）若将（1）中的点M的坐标改为)0,4(，其它条件不变，如下图②，那么符合条件的等腰三角形有几个？求出所有符合条件的点P的坐标；（3）若将（1）中的点M的坐标改为)0,5(，其它条件不变，如下图③，请直接写出符合条件的等腰三角形有几个。（不必求出点P的坐标）简解：（1）符合条件的等腰OMP只有1个，点P的坐标为)4,21(。（2）符合条件的等腰OMP有4个，如下图④，在MOP1中，4OMOP1，在1OBPRt中，27BO，215)27(4OBOPBP222211，∴)215,27(P1。在2OMPRt中，4OMOP2，∴)4,0(P2；在3OMP中，33OPMP，∴点3P在OM的垂直平分线上，∵4OM，∴)4,2(P3；在4OMPRt中，4MPOM4，∴)4,4(P4。（3）若)0,5(M，则符合条件的等腰三角形有7个，点P的位置如下图⑤所示。评注本题是一道融几何、函数于一体的综合性试题，这类试题注重让学生从数量关系和几何图形的变化中去研究问题，近年来深受命题者的青睐。充分抓住等腰三角形的两腰相等，并借助矩形的内角是直角，运用分类讨论的思想是成功解决本题的关键。本题突出考查学生数学基础知识的掌握和对数学知识迁移整合的能力及创新意识和实践能力。解决此类问题要学会抓住图形之间的特殊位置关系，几何与代数之间的内在联系，多角度、多层面综合运用数学知识、数学思想方法去分析和解决问题。