16.1二次根式

第十六章二次根式第1课时16.1二次根式一、回顾与思考1．4的平方根是_____；0的平方根是______.2．5的平方根是_______；5的算术平方根是____.3.什么叫平方根？什么叫算术平方根？5052二、创设情境，引入新知用带有根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点：S（1）面积为3的正方形的边长为，面积为S的正方形的边长为.（2）一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130m2,则它的宽为m.(3)一个物体从高处自由落下,落到地面所用的时间t（单位：s）与开始落下时离地面的高度h（单位：m）满足关系h=5t2.如果用含有h的式子表示t,那么t为_________.655h3（1）这些式子分别表示什么意义？（2）这些式子有什么共同特征？这些式子的共同特征是：都表示一个非负数（包括字母或式子表示的非负数）的算术平方根．我们知道，一个正数有两个平方根；0的平方根是0；在实数范围内，负数没有平方根。因此，在实数范围内，被开方数只能是正数或0。5h分别表示3，S，65，一些正数的算术平方根．上面问题中，得到的结果分别是：，，，．3S655h一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式“”称为二次根号．a3.形式上含有二次根号.2.可以是数,也可以是式.a5.既可表示开方运算,也可表示运算的结果.a4..0a1.表示的算术平方根.aa思考:1．-1有算术平方根吗？2．0的算术平方根是多少？3．当a0，有意义吗？a没有0没有1、下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式43123xx2x1-2x+yx0y0x+y、、、（＞0）、0、、、、（）分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0．2xx00-2x+yx0y0解：二次根式：，（＞），，≥≥313xx+y41不是二次根式：，2，，√√√初步应用巩固知识练习指出下列哪些是二次根式？（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．53-32121+x22-aa（　　）-abab（　）≥＜提高练习1、下列各式是二次根式的是（）2、下列各式不一定是二次根式的是（）223+x-a+ba+1A3B2CD、2220a-a+1-aAabB2C2DCD3、下列各式：中二次根式的个数（）A、3B、4C、5D、6222315a+1a-1y+4y+4-5xy，，，，A∴当x≥-2时，在实数范围内有意义．2+x2+x解：要使在实数范围有意义，必须x+2≥0，∴x≥-2．2+x例1当x是怎样的实数时，在实数范围内有意义？初步应用巩固知识分析二次根式有意义，被开方数大于等于0.巩固训练1、当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？1123aa23-a45-a提示：被开方数≥0110aaa-122a+3a-a-2a+3a解：由≥得≥1当≥1时在实数范围内有意义。3由≥0得≥23当≥时在实数范围内有意义。23-aaa-a45-aaa-a解：由≥0得0当0时在实数范围内有意义。由≥0得5当5时5在实数范围内有意义。例2当x是怎样的实数时，在实数范围内有意义？呢？2x3x思考？解：∵x2≥0；∴x取全体实数在实数范围内有意义。由于有意义∴x3≥0，x≥0.∴x≥0时在实数范围内有意义。2x3x3x（1）；（2）；（3）．解：（1）由a+1≥0，得a≥-1；12（2）由1-2a＞0，得a＜；（3）由≥0，得a为任何实数．21-a（）例3a取何值时，下列根式有意义？1+a112-a21a（）-（1）；（2）．(3)答案：（1）a为任何实数；（2）a=1．（3）1/2≤x≤2变式a取何值时，下列根式有意义？221-+aa21--a（）总结：被开方数不小于零．2xx2-1练习1判断下列各式哪些是二次根式：（1）；（2）；（3）；（4）．16-100+aa（　　）21+a0-xx（　　）＞≤×√√√综合应用深化提高一试身手21-m-4m、求二次根式中的取值范围？解：∵-（m-3）2≥0又∵（m-3）2≥0∴m-3=0m=3∴二次根式23mm=3m中的取值是解：∵-a2≥0∴a=0∴原式==2-3=-14-922aa+4-9-a+-a?、已知为实数，求的值例题精讲x-23xx-3例、已知取怎样的实数时，在实数范围内有意义。分析：式子有意义分母不等于0，被开方数是非负数。解：由x-2≥0x-3≠0得x≥2，x≠3所以当x≥2且x≠3时在实数范围内有意义。x-2x-3动手做一做1、求下列各式有意义的x的取值范围。1x1x-1x-1123x+21x-10x11x1x-1解：由≠得≠所以≠时在实数范围内有意义。解答2x0x-10x11x.x1x-1解由≥≠得≠所以当0≠时在实数范围内有意义。3x0x+20x-x解：由≥，≠得≠2x所以当≥0时，在x+2实数范围内有意义。14x2x+3+x+1例、当取多少时，在实数范围内有意义？分析要使在实数范围内有意义，必须满足2x+3≥0，x+1≠0。12x+3+x+1解：由2x+3≥0得，x≠-1x+1≠0所以当31x-x-12x+3+2x+1且≠时，在实数范围内有意义。3x-220152015x51y=2-x+x-2+5y2a+1+b-1=0a+b例、已知求的值？若求的值？12-x0x-20x=y=x2=y5解：∵∴2，5∴20152015201520152a+1=0b-1=0a=-1b=1a+b=-1+1=0解：∵∴，学完本节课你应该知道一般地把形如的式子叫二次根式。含有二次根号。二次根式的判定：被开方数是正数或0.二次根式的非负性：aa0（）“”a0动笔练一练221x-2y+y+2xy2aa+9-16-a+-a3xyy=x-4+4-x-3x-4x-4x-x-3x-3若求、的值？已知为实数求的值？、满足求的值？的值、，求⑴若yxyyx022动笔练一练21x=-4y=-22-a0a=0=9-16=-13x=4x-21==x+23答案：，∵∴原式由题意原式动手做一做当a＞0时，表示a的算数平方根，因此＞0；当a=0时表示0的算术平方根，因此=0这就是说当a≥0时，≥0探究：根据算术平方根的意义填空aaaaa2142221223403解：根据算术平方根的意义得214=222=42213=3240=130二次根式的性质观察上面计算过程思考有什么规律？归纳：很明显根据公式完成下列计算2a=aa0（≥）211.5==2225222mmm211.5=1.5225=25=ab45=2=ab0解：（回顾：）动脑想一想解：2115=-.===72计算2022335422222215=52-0.2=0.2223==55=25774、552、成立的条件是：3.在实数范围内分解因式：x4-9=2m+3=m+32x+3x+3x-3m-31.已知2＜x＜5，化简2.求式子22x-2+x-5223-x+2+x的值分析：1、∵2＜x＜5∴x-2＞0，x-5＜0221x-2+x-5=x-2-x-5=x-2-x+5=3解：（）2223-x+2+x=3-x+2+x=5提高练习1、利用a=（a≥0）把下列非负数写成一个非负数平方的形式（1）、9（2）、5（3）、0.25（4）、(5)、02a1229=9=.=.==22221、解1255113025025322500提高练习2.△ABC的三边长a，b，c且a，b满足，求c的取值范围？解：由题意得得b-2=0，a-1=0∴b=2，a=1又∵a，b，c是△ABC的三边∴b-a＜c＜b+a1＜c＜32b+a-1+4=4b2b-2+a-1=0动脑研一研224=2.===221、计算：41023420540.24520观察其结果与根号内幂底数的关系归纳得到：2a0a=a＞时观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：22-4=2-.=-=-=222、计算：41023420540.245202a0a=-a＜由1、2、3可得二次根式性质2230=0a=0a=0、由此可得时2aa0a=a=0a=0-aa0＞＜例题精讲例3化简2116---9253421644解:1222-5=5=5解：3-4-9=49=49=23=6解（3）解法2原式==636巩固训练222-10.3=-=7--==21、计算下列各式的值123410222-221113=3-=77113--=-10==1010解242.已知xy＞0，化简二次根式的正确结果是（）2yx-xy-y-yyA、BCD--、231a2a-2+1-a=0-a-a、当＜＜时，的值（）A、1B、1C、2-3D、32DB能力提升1ab、已知：实数、在数轴上的位置如图：........-101ab222abab化简a0ba-b0分析∵＜＜∴＜222=-a-b+a-b=-2babab解：2.实数a、b，在数轴上的位置如图所示，则的化简结果．2a+b+a0．a．b．-b2223a-5+2b+3=0ab=若，则352回顾已学过的式子如5，a，a+b，-ab,-x2,(a≥0)等都是用基本运算符号把数和式子连接起来的式子，叫代数式。1、用代数式表示（1）面积为S的圆的半径.（2）面积为S且两条邻边比为2:3的长方形长和宽.sss3266和能力提升2(2)2xxx1、如果，那么的取值范围221x2x-3+x-1、若＜＜则，的值344344()()yxxxyxyxyxyxyxy、已知，求代数式的值？2243+x+2+x-3x-2、求代数式的值（）x222222x-404-x0x=4y=3x-y+4xyx+y-4xyx+yx-y==x-yx+yx-yx+y=x+yx-y=+-=7解：3由题意得≥≥∴那么原式4343-x-+xx+2=3+x-2+x=3+x-2-x=1解：（4）∵3≤≤2∴3≥0，≤0原式5.已知a，b为一等腰三角形的两边之长，且满足等式，求此等腰三角形的周长？23a-6+32-a=b-4解：依题意得｛解得｛所以腰长=4，底边长=2（当a做腰时2+2=4不能构成三角形）周长：4+4+2=10（注意判断谁做底，谁做腰，要分类研究）3a-602-a0a=24b学完本节课你应该知道a0a0（≥）2a=aa0（）2a=aa0（）2a=a=(a0)0a=-aaa＞（0）（＜0）小结：二次函数的性质