等差数列与等比数列的综合应用12012-12-12

始终带着一颗骄傲的心前进！第2讲等差数列的性质及应用（必修五）告诉我，我会忘记；做给我看，我会记住；让我自主参与，我会完全理解。————苏娜丹戴克（美国教育家）始终带着一颗骄傲的心前进！要点回顾等差数列常用性质已知数列是等差数列，是的前项和，为公差.}{nans}{nand),()()1(*Nmndmnaamn通项公式推广：),,,(,)2(*Nqpmnaaaaqpnmqpnm则若)(2}){3(*2Nndan也为等差数列，公差为.),(,,,*2的等差数列组成公差为推广：dNmkaaamkmkk.,}{p}){4(为常数）也为等差数列（则为等差数列，qpqbabnnn始终带着一颗骄傲的心前进！要点回顾等差数列各项和常用性质已知数列是等差数列，是的前项和，为公差.}{nans}{nand.21,}{)1(1dansn公差为也为等差数列，首项为)(,,)2(*232Nmsssssmmmmm成等差数列项与偶数项的性质关于非零等差数列奇数)3(.,21nnaassndssn偶奇奇偶，则若项数为.}{)4(1212nnnnnnTSbaTnb则，项和为为等差数列前若.1,,)1(,12nnssassnasansnnnn偶奇偶奇奇偶，则若项数为始终带着一颗骄傲的心前进！课前演练2.设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＋a3＋a5＝3，则S5＝()A.5B.7C.9D.111始终带着一颗骄傲的心前进！解析∵{an}为等差数列，∴a1＋a5＝2a3，得3a3＝3，则a3＝1，∴S5＝5（a1＋a5）2＝5a3＝5，故选A.答案A课前演练2.设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＋a3＋a5＝3，则S5＝()A.5B.7C.9D.111始终带着一颗骄傲的心前进！在等比数列{an}(n∈N*)中,a11,公比q0,设bn＝2logna,且b1＋b3＋b5＝6，b1b3b5＝0.(1)求证：数列{bn}是等差数列；(2)求{bn}的前n项和Sn及{an}的通项an；(3)试比较an与Sn的大小．例1分析：(1)证明用“定义”.(2)先求{bn}的首项和公差,再求{an}.(1)证明:∵bn＝log2an,∴bn＋1－bn＝log2an＋1an＝log2q为常数，∴数列{bn}为等差数列且公差d＝log2q.(1)证明:∵bn＝log2an,∴bn＋1－bn＝log2an＋1an＝log2q为常数，∴数列{bn}为等差数列且公差d＝log2q.(1)证明:∵bn＝log2an,∴bn＋1－bn＝log2an＋1an＝log2q为常数，∴数列{bn}为等差数列且公差d＝log2q.始终带着一颗骄傲的心前进！(2)解:∵b1＋b3＋b5＝6，∴b3＝2，∵a11，∴b1＝log2a10，∵b1b3b5＝0，∴b5＝0.∴b1＋2d＝2，b1＋4d＝0，解得b1＝4，d＝－1，∴Sn＝4n＋nn－12×(－1)＝9n－n22.∵log2q＝－1，log2a1＝4，∴q＝12，a1＝16，∴an＝25－n(n∈N*)．(2)解:∵b1＋b3＋b5＝6，∴b3＝2，∵a11，∴b1＝log2a10，∵b1b3b5＝0，∴b5＝0.∴b1＋2d＝2，b1＋4d＝0，解得b1＝4，d＝－1，∴Sn＝4n＋nn－12×(－1)＝9n－n22.∵log2q＝－1，log2a1＝4，∴q＝12，a1＝16，∴an＝25－n(n∈N*)．(2)解:∵b1＋b3＋b5＝6，∴b3＝2，∵a11，∴b1＝log2a10，∵b1b3b5＝0，∴b5＝0.∴b1＋2d＝2，b1＋4d＝0，解得b1＝4，d＝－1，∴Sn＝4n＋nn－12×(－1)＝9n－n22.∵log2q＝－1，log2a1＝4，∴q＝12，a1＝16，∴an＝25－n(n∈N*)．(2)解:∵b1＋b3＋b5＝6，∴b3＝2，∵a11，∴b1＝log2a10，∵b1b3b5＝0，∴b5＝0.∴b1＋2d＝2，b1＋4d＝0，解得b1＝4，d＝－1，∴Sn＝4n＋nn－12×(－1)＝9n－n22.∵log2q＝－1，log2a1＝4，∴q＝12，a1＝16，∴an＝25－n(n∈N*)．(2)解:∵b1＋b3＋b5＝6，∴b3＝2，∵a11，∴b1＝log2a10，∵b1b3b5＝0，∴b5＝0.∴b1＋2d＝2，b1＋4d＝0，解得b1＝4，d＝－1，∴Sn＝4n＋nn－12×(－1)＝9n－n22.∵log2q＝－1，log2a1＝4，∴q＝12，a1＝16，∴an＝25－n(n∈N*)．(2)解:∵b1＋b3＋b5＝6，∴b3＝2，∵a11，∴b1＝log2a10，∵b1b3b5＝0，∴b5＝0.∴b1＋2d＝2，b1＋4d＝0，解得b1＝4，d＝－1，∴Sn＝4n＋nn－12×(－1)＝9n－n22.∵log2q＝－1，log2a1＝4，∴q＝12，a1＝16，∴an＝25－n(n∈N*)．(2)解:∵b1＋b3＋b5＝6，∴b3＝2，∵a11，∴b1＝log2a10，∵b1b3b5＝0，∴b5＝0.∴b1＋2d＝2，b1＋4d＝0，解得b1＝4，d＝－1，∴Sn＝4n＋nn－12×(－1)＝9n－n22.∵log2q＝－1，log2a1＝4，∴q＝12，a1＝16，∴an＝25－n(n∈N*)．始终带着一颗骄傲的心前进！(3)显然an＝25－n0，当n≥9时，Sn＝n9－n2≤0，∴n≥9时，anSn.∵a1＝16，a2＝8，a3＝4，a4＝2，a5＝1，a6＝12，a7＝14，a8＝18，S1＝4，S2＝7，S3＝9，S4＝10，S5＝10，S6＝9，S7＝7，S8＝4，∴当n＝3,4,5,6,7,8时，anSn；当n＝1,2或n≥9时，anSn.(3)显然an＝25－n0，当n≥9时，Sn＝n9－n2≤0，∴n≥9时，anSn.∵a1＝16，a2＝8，a3＝4，a4＝2，a5＝1，a6＝12，a7＝14，a8＝18，S1＝4，S2＝7，S3＝9，S4＝10，S5＝10，S6＝9，S7＝7，S8＝4，∴当n＝3,4,5,6,7,8时，anSn；当n＝1,2或n≥9时，anSn.(3)显然an＝25－n0，当n≥9时，Sn＝n9－n2≤0，∴n≥9时，anSn.∵a1＝16，a2＝8，a3＝4，a4＝2，a5＝1，a6＝12，a7＝14，a8＝18，S1＝4，S2＝7，S3＝9，S4＝10，S5＝10，S6＝9，S7＝7，S8＝4，∴当n＝3,4,5,6,7,8时，anSn；当n＝1,2或n≥9时，anSn.(3)显然an＝25－n0，当n≥9时，Sn＝n9－n2≤0，∴n≥9时，anSn.∵a1＝16，a2＝8，a3＝4，a4＝2，a5＝1，a6＝12，a7＝14，a8＝18，S1＝4，S2＝7，S3＝9，S4＝10，S5＝10，S6＝9，S7＝7，S8＝4，∴当n＝3,4,5,6,7,8时，anSn；当n＝1,2或n≥9时，anSn.(3)显然an＝25－n0，当n≥9时，Sn＝n9－n2≤0，∴n≥9时，anSn.∵a1＝16，a2＝8，a3＝4，a4＝2，a5＝1，a6＝12，a7＝14，a8＝18，S1＝4，S2＝7，S3＝9，S4＝10，S5＝10，S6＝9，S7＝7，S8＝4，∴当n＝3,4,5,6,7,8时，anSn；当n＝1,2或n≥9时，anSn.(3)显然an＝25－n0，当n≥9时，Sn＝n9－n2≤0，∴n≥9时，anSn.∵a1＝16，a2＝8，a3＝4，a4＝2，a5＝1，a6＝12，a7＝14，a8＝18，S1＝4，S2＝7，S3＝9，S4＝10，S5＝10，S6＝9，S7＝7，S8＝4，∴当n＝3,4,5,6,7,8时，anSn；当n＝1,2或n≥9时，anSn.(3)显然an＝25－n0，当n≥9时，Sn＝n9－n2≤0，∴n≥9时，anSn.∵a1＝16，a2＝8，a3＝4，a4＝2，a5＝1，a6＝12，a7＝14，a8＝18，S1＝4，S2＝7，S3＝9，S4＝10，S5＝10，S6＝9，S7＝7，S8＝4，∴当n＝3,4,5,6,7,8时，anSn；当n＝1,2或n≥9时，anSn.(3)显然an＝25－n0，当n≥9时，Sn＝n9－n2≤0，∴n≥9时，anSn.∵a1＝16，a2＝8，a3＝4，a4＝2，a5＝1，a6＝12，a7＝14，a8＝18，S1＝4，S2＝7，S3＝9，S4＝10，S5＝10，S6＝9，S7＝7，S8＝4，∴当n＝3,4,5,6,7,8时，anSn；当n＝1,2或n≥9时，anSn.始终带着一颗骄傲的心前进！29如图：8始终带着一颗骄傲的心前进！(1)正项等差数列为等比数列；}{lognaa}{na点评：(1)证明用“定义”；(2)巧用性质简化计算；推广：}{na(2)等差数列为等比数列.}{nab始终带着一颗骄傲的心前进！已知数列{an}中,a1＝1,a2＝2,且an＋1＝(1＋q)an－qan－1(n≥2,q≠0)．(1)设bn＝an＋1－an(n∈N*)，证明：{bn}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式；(3)若a3是a6与a9的等差中项，求q的值，并证明：对任意的n∈N*，an是an＋3与an＋6的等差中项．例2分析：(1)证明用“定义”.)(1非零常数qaann(2)利用为等比数列,用累加求和求通项}{1nnaa始终带着一颗骄傲的心前进！已知数列{an}中,a1＝1,a2＝2,且an＋1＝(1＋q)an－qan－1(n≥2,q≠0)．(1)设bn＝an＋1－an(n∈N*)，证明：{bn}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式；(3)若a3是a6与a9的等差中项，求q的值，并证明：对任意的n∈N*，an是an＋3与an＋6的等差中项．(1)证明:由题设an＋1＝(1＋q)an－qan－1(n≥2)，得an＋1－an＝q(an－an－1)，即bn＝qbn－1，n≥2.由b1＝a2－a1＝1，q≠0，所以{bn}是首项为1，公比为q的等比数列．(1)证明:由题设an＋1＝(1＋q)an－qan－1(n≥2)，得an＋1－an＝q(an－an－1)，即bn＝qbn－1，n≥2.由b1＝a2－a1＝1，q≠0，所以{bn}是首项为1，公比为q的等比数列．(1)证明:由题设an＋1＝(1＋q)an－qan－1(n≥2)，得an＋1－an＝q(an－an－1)，即bn＝qbn－1，n≥2.由b1＝a2－a1＝1，q≠0，所以{bn}是首项为1，公比为q的等比数列．(1)证明:由题设an＋1＝(1＋q)an－qan－1(n≥2)，得an＋1－an＝q(an－an－1)，即bn＝qbn－1，n≥2.由b1＝a2－a1＝1，q≠0，所以{bn}是首项为1，公比为q的等比数列．(1)证明:由题设an＋1＝(1＋q)an－qan－1(n≥2)，得an＋1－an＝q(an－an－1)，即bn＝qbn－1，n≥2.由b1＝a2－a1＝1，q≠0，所以{bn}是首项为1，公比为q的等比数列．例2始终带着一颗骄傲的心前进！已知数列{an}中,a1＝1,a2＝2,且an＋1＝(1＋q)an－qan－1(n≥2,q≠0)．(1)设bn＝an＋1－an(n∈N*)，证明：{bn}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式；例2注意对公比进行q讨论(2)解:由(1)，a2－a1＝1，a3－a2＝q，…an－