35二阶常系数齐次线性微分方程

第五节二阶常系数齐次线性微分方程一、定义二、线性微分方程的解的结构三、二阶常系数齐次线性方程的解法四、n阶常系数齐次线性方程解法五、小结一、定义0qyypy二阶常系数齐次线性方程)(xfqyypy二阶常系数非齐次线性方程其中p、q为常数二、线性微分方程的解的结构1.二阶齐次方程解的结构:定理1如果函数)(1xy与)(2xy是方程(1)的两个解,那末2211ycycy也是(1)的解.（21,cc是任意常数）问题:一定是通解吗？2211ycycy0(1)ypyqy定理2：如果)(1xy与)(2xy是方程(1)的两个特解,且常数，)()(21xyxy12cc、是任意常数，那么2211ycycy就是方程(1)的通解.例如,0yy,sin,cos21xyxy,tan12常数且xyy.sincos21xcxcy三、二阶常系数齐次线性方程解法-----特征方程法,rxey设将其代入方程,得0)(2rxeqprr,0rxe故有02qprr特征方程,2422,1qppr特征根特征根有两个相等的实根,11xrey,221prr)0(一特解为得齐次方程的通解为1111212=();rxrxrxyCeCxeCCxe代入原方程并化简，，，将222yyy,0)()2(1211uqprrupru,0u知,)(xxu取,12xrxey则,)(12xrexuy设有两个不相等的实根,2421qppr,2422qppr,11xrey,22xrey两个线性无关的特解得齐次方程的通解为;2121xrxreCeCy)0(有一对共轭复根1,ri2,ri()1,ixye()2,ixye)0(由欧拉公式cossiniei()1cossin,ixxixxyeeeexix()2cossin,ixxixxyeeeexix重新组合)(21211yyy,cosxex2121()2yyyi,sinxex得齐次方程的通解为).sincos(21xcxceyx1122(1)cotyyyxCy、仍是方程的解，且定义由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法..044的通解求方程yyy解特征方程为,0442rr解得特征根,221rr故所求通解为.)(221xexccy例1.052的通解求方程yyy解特征方程为,0522rr解得特征根,2121jr，故所求通解为).2sin2cos(21xcxceyx例2四、n阶常系数齐次线性方程解法01)1(1)(yPyPyPynnnn特征方程为0111nnnnPrPrPr特征方程的根通解中的对应项kr若是重根rxkkexcxcc)(1110jk复根重共轭若是xkkkkexxDxDDxxcxcc]sin)(cos)[(11101110注意n次代数方程有n个根,而特征方程的每一个根都对应着通解中的一项,且每一项各一个任意常数.nnycycycy2211特征根为,,,154321jrrjrrr故所求通解为.sin)(cos)(54321xxccxxccecyx解,01222345rrrrr特征方程为,0)1)(1(22rr.022)3()4()5(的通解求方程yyyyyy例3五、小结二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:（1）写出相应的特征方程;（2）求出特征根;（3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解.(见下表)02qprr0qyypy特征根的情况通解的表达式实根21rr实根21rr复根ir2,1xrxreCeCy2121xrexCCy2)(21)sincos(21xCxCeyx一、求下列微分方程的通解:1、04yy；2、02520422xdtdxdtxd；3、0136yyy；4、0365)4(yyy.二、下列微分方程满足所给初始条件的特解:1、0,2,04400xxyyyyy；2、3,0,013400xxyyyyy.三、求作一个二阶常系数齐次线性微分方程,使3,2,,1xxxeee都是它的解.练习题练习题答案一、1、xeCCy421；2、tetCCx2521)(；3、)2sin2cos(213xCxCeyx；4、xCxCeCeCyxx3sin3cos432221.二、1、)2(2xeyx；2、xeyx3sin2.三、0yy.(提示:为两个xe,1线性无关的解)