4-3函数单调性、极值、最大最小值

§4.3函数的单调性、极值、最大最小值问题•一、函数单调性的判别•二、函数的极值及其判别法•三、最大最小值问题一、单调性的判别法xyo)(xfyxyo)(xfyabAB0)(xf0)(xf定理1.0)(0)(),(],[)(.),(],[)(）（内充要条件是在上单调增加（减少）的在则函数导内可上连续，在在设函数xfxfbabaxfybabaxfyabBA?],[)(上单调增加”在什么叫“函数baxfy证：充分性],,[,21baxx,21xx且应用拉氏定理,得)())(()()(211212xxxxfxfxf,012xx,0)(),(xfba内，若在,0)(f则).()(12xfxf.],[)(上单调增加在baxfy),(),,(baxxxbax足够小，使0)()(xxfxxf必要性,],[)(上单调增加在baxfy0)()(lim)('0xxfxxfxfx.0),()(')2);0)('(0)(')1],[)(),(],[)(2等于的任一部分区间内不恒在是：）的充要条件上严格单调增加（减少在则内可导，上连续，在在区间函数baxfxfxfbaxfbabaxf定理.0)(')1,],[)(成立上严格单调增加在必要性xfbaxf证明如果2)不成立，则在某一部分区间f(x)为一常数，矛盾.],,[,21baxx,21xx且充分性),()(12xfxf由1)和定理1，有],,[21xxx),()()(12xfxfxf上恒为常数，在则如果],[)(),()(2112xxxfxfxf),,(,0)('21xxxxf即矛盾.例1解.1的单调性讨论函数xeyx.1xey,)0,(内在,0y函数单调减少；,),0(内在,0y.函数单调增加注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性．).,(:D又看书：P.111:定理4.9单调区间求法问题:如上例，函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调．定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间.导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点．方法:.,)()(0)(数的符号然后判断区间内导的定义区间来划分函数不存在的点的根及用方程xfxfxf例2解.31292)(23的单调区间确定函数xxxxf).,(:D12186)(2xxxf)2)(1(6xx得，解方程0)(xf.2,121xx时，当1x,0)(xf上单调增加；在]1,(时，当21x,0)(xf上单调减少；在]2,1[时，当x2,0)(xf上单调增加；在),2[单调区间为，]1,(，]2,1[).,2[例3解.)(32的单调区间确定函数xxf).,(:D)0(,32)(3xxxf.,0导数不存在时当x时，当0x,0)(xf上单调增加；在),0[时，当x0,0)(xf上单调减少；在]0,(单调区间为，]0,().,0[32xy例4证.)1ln(,0成立试证时当xxx),1ln()(xxxf设.1)(xxxf则,0)(),0(,),0[)(xfxf可导，且上连续在上单调增加；在),0[,0)0(f时，当0x,0)1ln(xx).1ln(xx即注意:区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性.例如,,3xy,00xy.),(上单调增加但在,0)0()(fxf看书：P.112:例1，例2，例3小结单调性的判别是拉格朗日中值定理定理的重要应用.定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然成立.应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式.思考题若0)0(f，是否能断定)(xf在原点的充分小的邻域内单调递增？思考题解答不能断定.例0,00,1sin2)(2xxxxxxf)0(f)1sin21(lim0xxx01但0,1cos21sin41)(xxxxxf)212(1kx当时，0)212(41)(kxfkx21当时，01)(xf注意可以任意大，故在点的任何邻域内，都不单调递增．k00x)(xf一、填空题：1、函数7186223xxxy单调区间为_____________________.2、函数212xxy在区间[-1,1]上单调________，在_________上单调减.3、函数22lnxxy的单调区间为____________，单减区间为_____________.二、确定下列函数的单调区间：1、xxxy6941023；2、32))(2(xaaxy(0a)；3、xxy2sin.练习题三、证明下列不等式：1、当0x时，221)1ln(1xxxx；2、当4x时，22xx；3、若0x，则361sinxxx.四、方程)0(lnaaxx有几个实根.五、设)(xf在[ba,]上连续，在(ba,)内)(xf,试证明：对于[ba,]上任意两1x，2x有2)()()2(2121xfxfxxf[提示：方法（1）0)(xf，)(xf单增；方法（2）0)(xf，利用泰勒公式]一、1、),3[],1,(单调增加,]3,1[单调减少；2、增加,),1[],1,(3、]1,(,),1[；]1,0(],1,(];1,0(),0,1[.二、1、在),1[],21,0(),0,(内单调减少,在]1,21[上单调增加；2、在),[],32,(aa内单调增加,在],32[aa上单调减少；练习题答案3、在]32,2[kk上单调增加,在]22,32[kk上单调减少,),2,1,0(k.四、(1)ea1时没有实根；(2)ea10时有两个实根；(3)ea1时只有ex一个实根.二、函数的极值oxyab)(xfy1x2x3x4x5x6xoxyoxy0x0x函数极值的定义.)()(,)()(,,,;)()(,)()(,,,,),(,),()(000000000的一个极小值是函数就称均成立外除了点任何点对于这邻域内的的一个邻域如果存在着点的一个极大值是函数就称均成立外除了点任何点对于这邻域内的的一个邻域如果存在着点内的一个点是内有定义在区间设函数xfxfxfxfxxxxfxfxfxfxxxbaxbaxf定义函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.函数极值的求法设)(xf在点0x处具有导数,且在0x处取得极值,那末必定0)(0'xf.定理1(必要条件)定义.)()0)((的驻点做函数叫的实根即方程使导数为零的点xfxf注意:.,)(是极值点但函数的驻点却不一定点的极值点必定是它的驻可导函数xf例如,,3xy,00xy.0不是极值点但x由极值的定义，用费马定理即可证明此定理.(1)如果),,(00xxx有;0)('xf而),(00xxx,有0)('xf，则)(xf在0x处取得极大值.(2)如果),,(00xxx有;0)('xf而),(00xxx有0)('xf，则)(xf在0x处取得极小值.(3)如果当),(00xxx及),(00xxx时,)('xf符号相同,则)(xf在0x处无极值.定理2(第一充分条件)xyoxyo0x0x(是极值点情形)xyoxyo0x0x求极值的步骤:);()1(xf求导数;0)()2(的根求驻点，即方程xf;,)()3(判断极值点在驻点左右的正负号检查xf.)4(求极值(不是极值点情形)例1解.593)(23的极值求出函数xxxxf963)(2xxxf，令0)(xf.3,121xx得驻点列表讨论x)1,(),3()3,1(13)(xf)(xf00极大值极小值)3(f极小值.22)1(f极大值,10)3)(1(3xx593)(23xxxxfMm图形如下设)(xf在0x处具有二阶导数,且0)(0'xf,0)(0''xf,那末(1)当0)(0''xf时,函数)(xf在0x处取得极大值;(2)当0)(0''xf时,函数)(xf在0x处取得极小值.定理3(第二充分条件)证)1(xxfxxfxfx)()(lim)(0000,0异号，与故xxfxxf)()(00时，当0x)()(00xfxxf有,0时，当0x)()(00xfxxf有,0所以,函数)(xf在0x处取得极大值例2解.20243)(23的极值求出函数xxxxf2463)(2xxxf，令0)(xf.2,421xx得驻点)2)(4(3xx,66)(xxf)4(f,018)4(f故极大值,60)2(f,018)2(f故极小值.4820243)(23xxxxf图形如下Mm注意:.2,)(,0)(00仍用定理处不一定取极值在点时xxfxf例3解.)2(1)(32的极值求出函数xxf)2()2(32)(31xxxf.)(,2不存在时当xfx时，当2x;0)(xf时，当2x.0)(xf.)(1)2(的极大值为xff.)(在该点连续但函数xf注意:函数的不可导点,也可能是函数的极值点.M看书：P.114-116:例4－例7练习：P.141:14(2)(7)22)4()2(14xy)4(4'2xxy)2()2(4xxx16122xy03222xxyy0160xy;0,022xxyy函数的极小值.160xy函数的极大值312)1()7(14xy),(D322)1(32xx)2()1(31'322xxyx-101y’y//0)1,()0,1()1,0(),1(0极小0极小1极大三、最大、最小值的问题oxyoxybaoxyabab.],[.],[)(点上也可能在导数不存在的也可能在函数的驻点，的端点，间最大、最小值可能在区最大、最小值必存在上连续，则在该区间上在若函数babaxf步骤:1.求驻点和不可导点;2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,哪个最大哪个就是最大值,哪个最小哪个就是最小值;注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值.(最大值或最小值)应用举例例1解)1)(2(6)(xxxf.]4,3[14123223上的最大值与最小值的在求函数xxxy得解方程,0)(xf.1,221xx计算)3(f;23)2(f;34)1(f;7;142)4(f，最大值142)4(f比较得.7)1(f最小值14123223xxxy点击图片任意处播放\暂停例2敌人乘汽车从河的北岸A处以1千米/分钟的速度向正北逃窜，同时我军摩托车从河的南岸B处向正东追击，速度为2千米/分钟．问我军摩托车何时射击最好（相距最近射击最好）？解公里5.0(1)建立敌我相距函数关系).(分追击至射击的时间处发起为我军从设Bt敌我相距函数22)24()5.0()(ttts公里4BA)(ts)(ts.)()2(的最小值点求tss)(ts.)24()5.0(5.7522ttt,0)(ts令得唯一