2012年湖南高考(理科)数学试卷及详细答案

2012高考数学帅歌机帅帅歌歌机机11558811885577332233552012年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设集合}1,0,1{M，}{2xxxN，则NMA．}0{B．}1,0{C．}1,1{D．}1,0,1{2．命题“若4，则1tan”的逆否命题是A．若4，则1tanB．若4，则1tanC．若1tan，则4D．若1tan，则43．某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能．．．是ABCD4．设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据),(iiyx),,2,1(ni，用最小二乘法建立的回归方程为71.8585.0ˆxy，则下列结论中不正确．．．的是A．y与x具有正的线性相关关系B．回归直线过样本点的中心),(yxC．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加85.0kgD．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重比为79.58kg5．已知双曲线1:2222byaxC的焦距为10，点)1,2(P在C的渐近线上，则C的方程为A．152022yxB．120522yxC．1208022yxD．1802022yx2012高考数学帅歌机帅帅歌歌机机11558811885577332233556．函数)6cos(sin)(xxxf的值域为A．]2,2[B．]3,3[C．]1,1[D．]23,23[7．在ABC中，2AB，3AC，1BCAB，则BCA．3B．7C．22D．238．已知两条直线myl:1和)0(128:2mmyl，1l与函数xy2log的图像从左至右相交于点BA,，2l与函数xy2log的图像从左至右相交于点DC,．记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为ba,．当m变化时，ba的最小值为A．162B．82C．348D．344二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡．．．中对应题号后的横线上．（一）选做题（请考生在第9，10，11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）9．在直角坐标系xOy中，已知曲线tytxC21,1:1（t为参数）与曲线cos3,sin:2yaxC（为参数，0a）有一个公共点在x轴上，则a．10．不等式01212xx的解集为．11．如图2，过点P的直线与⊙O相交于BA,两点．若1PA，2AB，3PO，则⊙O的半径等于．（二）必做题（12～16题）12．已知复数2)3(iz（i为虚数单位)，则z．13．6)12(xx的二项展开式中的常数项为．（用数字作答）2012高考数学帅歌机帅帅歌歌机机115588118855773322335514．如果执行如图3所示的程序框图，输入3,1nx，则输出的数S．15．函数)sin()(xxf的导函数)(xfy的部分图象如图4所示，其中，P为图象与y轴的交点，CA,为图象与x轴的两个交点，B为图象的最低点．（1）若6，点P的坐标为)233,0(，则；（2）若在曲线段ABC与x轴所围成的区域内随机取一点，则该点在ABC内的概率为．16．设*2(,)nNnNn2，将N个数12,,,Nxxx依次放入编号为1,2,,N的N个位置，得到排列012NPxxx．将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前2N和后2N个位置，得到排列113124NNPxxxxxx，将此操作称为C变换．将1P分成两段，每段2N个数，并对每段作C变换，得到2P；当22in时，将iP分成2i段，每段2iN个数，并对每段作C变换，得到1iP．例如，当8N时，215372648Pxxxxxxxx，此时7x位于2P中的第4个位置．（1）当16N时，7x位于2P中的第个位置；（2）当2()nNn8时，173x位于4P中的第个位置．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．2012高考数学帅歌机帅帅歌歌机机115588118855773322335517．（本小题满分12分）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数（人）x3025y10结算时间（分钟/人）11.522.53已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55％．（Ⅰ）确定,xy的值，并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望；（Ⅱ）若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过．．．2.5分钟的概率．（注：将频率视为概率）18．（本小题满分12分）如图5，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，4AB，3BC，5AD，90DABABC，E是CD的中点．（Ⅰ）证明：CD平面PAE；（Ⅱ）若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥PABCD的体积．2012高考数学帅歌机帅帅歌歌机机115588118855773322335519．（本小题满分12分）已知数列{}na的各项均为正数，记12()nAnaaa，231()nBnaaa，342()nCnaaa，1,2,.n（Ⅰ）若121,5aa，且对任意*nN，三个数(),(),()AnBnCn组成等差数列，求数列{}na的通项公式.（Ⅱ）证明：数列{}na是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意*nN，三个数(),(),()AnBnCn组成公比为q的等比数列.20．（本小题满分13分）某企业接到生产3000台某产品的A，B，C三种部件的订单，每台产品需要这三种部件的数量分别为2，2，1（单位：件）．已知每个工人每天可生产A部件6件，或B部件3件，或C部件2件．该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这三种部件，生产B部件的人数与生产A部件的人数成正比，比例系数为k（k为正整数）．（Ⅰ）设生产A部件的人数为x，分别写出完成A，B，C三种部件生产需要的时间；（Ⅱ）假设这三种部件的生产同时开工，试确定正整数k的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案．2012高考数学帅歌机帅帅歌歌机机115588118855773322335521．（本小题满分13分）在直角坐标系xOy中，曲线1C上的点均在圆222:(5)9Cxy外，且对1C上任意一点M，M到直线2x的距离等于该点与圆2C上点的距离的最小值.（Ⅰ）求曲线1C的方程；（Ⅱ）设000(,)(3)Pxyy为圆2C外一点，过P作圆2C的两条切线，分别与曲线1C相交于点,AB和,CD.证明：当P在直线4x上运动时，四点,AB,,CD的纵坐标之积为定值.22．（本小题满分13分）已知函数()axfxex，其中0a.（Ⅰ）若对一切xR，()1fx恒成立，求a的取值集合.（Ⅱ）在函数()fx的图像上取定两点112212(,()),(,())()AxfxBxfxxx，记直线AB的斜率为k.问：是否存在012(,)xxx，使()fxk成立？若存在，求0x的取值范围；若不存在，请说明理由.2012高考数学帅歌机帅帅歌歌机机11558811885577332233552012年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】B【解析】0,1NM={-1,0,1}M∩N={0,1}.【点评】本题考查了集合的基本运算，较简单，易得分.先求出0,1N,再利用交集定义得出M∩N.2.【答案】C【解析】因为“若p，则q”的逆否命题为“若p，则q”，所以“若α=4，则tanα=1”的逆否命题是“若tanα≠1，则α≠4”.【点评】本题考查了“若p，则q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，考查分析问题的能力.3.【答案】D【解析】本题是组合体的三视图问题，由几何体的正视图和侧视图均如图1所示知，原图下面图为圆柱或直四棱柱，上面是圆柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱，Ａ，Ｂ，Ｃ都可能是该几何体的俯视图，Ｄ不可能是该几何体的俯视图，因为它的正视图上面应为如图的矩形.【点评】本题主要考查空间几何体的三视图，考查空间想象能力.是近年高考中的热点题型.4.【答案】D【解析】【解析】由回归方程为y=0.85x-85.71知y随x的增大而增大，所以y与x具有正的线性相关关系，由最小二乘法建立的回归方程得过程知ˆ()ybxabxybxaybx，所以回归直线过样本点的中心（x，y），利用回归方程可以预测估计总体，所以D不正确.【点评】本题组要考查两个变量间的相关性、最小二乘法及正相关、负相关的概念，并且是找不正确的答案，易错.5.【答案】A【解析】设双曲线C：22xa-22yb=1的半焦距为c，则210,5cc.又C的渐近线为byxa，点P（2,1）在C的渐近线上，12ba，即2ab.2012高考数学帅歌机帅帅歌歌机机1155881188557733223355又222cab，25,5ab，C的方程为220x-25y=1.【点评】本题考查双曲线的方程、双曲线的渐近线方程等基础知识，考查了数形结合的思想和基本运算能力，是近年来常考题型.6.【答案】B【解析】f（x）=sinx-cos(x+6)31sincossin3sin()226xxxx，sin()1,16x，()fx值域为[-3,3].【点评】利用三角恒等变换把()fx化成sin()Ax的形式，利用sin()1,1x，求得()fx的值域.7.【答案】A【解析】由下图知ABBC=cos()2(cos)1ABBCBBCB.1cos2BBC.又由余弦定理知222cos2ABBCACBABBC，解得3BC.【点评】本题考查平面向量的数量积运算、余弦定理等知识.考查运算能力，考查数形结合思想、等价转化思想等数学思想方法.需要注意,ABBC的夹角为B的外角.8．【答案】B【解析】在同一坐标系中作出y=m，y=821m(m＞0)，2logyx图像如下图，由2logx=m，得122,2mmxx，2logx=821m，得821821342,2mmxx.依照题意得8218218218212222,22,22mmmmmmmmbaba821821222mmmm.8141114312122222mmmm，min()82ba.ABC2012高考数学帅歌机帅帅歌歌机机1155881188557733223355【点评】在同一坐标系中作出y=m，y=821m(m＞0)，2logyx图像，结合图像可解得.二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.（一）选做题（请考生在第9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）9.【答案】32【解析】曲线1C：1,12xtyt直角坐标方程为32yx，与x轴交点为3(,0)2；曲线2C：sin,3cosxay直角坐标方程为22219xya，其与x轴交点为(,0),(,0)aa，由0a，曲线1C与曲线2C有一个公共点在X轴上，知32a.【点评】本题考查直线的参数方程、椭圆