3.2简单的三角恒等变换(改)

3.2简单的三角恒等变换例1.2tan,2cos,2sincos222表示试用解2是的二倍角2cos212sin,2,,2在公式中以代替以代替2cos12sin2①2cos12sin2　　　　　　　得②①cos1cos12tan2.2,cos1cos12tan2cos12cos2cos12sin:所在象限决定由符号称为半角公式可表示为2cos22cos1,2,,2在公式中以代替以代替2cos2cos12②2cos12cos2　　　　　半角公式小结例2求证.2cos2sin2sinsin2;sinsin21cossin1解(1)sin(+)＝sincos+cossinsin(-)＝sincos-cossin两式相加,得sin(+)+sin(-)＝2sincos1sincossinsin2(2)由(1)可得sin(+)+sin(-)＝2sincos①设+=,-=,22把,的值代入①,即得sinsin2sincos22例２证明中用到换元思想，①式是积化和差的形式，②式是和差化积的形式；在后面的练习当中还有六个关于积化和差、和差化积的公式．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)半角公式对任意角都适用．()(2)tanα2＝sinα1＋cosα，只需满足α≠2kπ＋π(k∈Z)．()√×2．若cosα＝13，且α∈(0，π)，则cosα2的值为()A.63B．－63C．±63D.33答案：A3．已知cosα＝45，α∈3π2，2π，则sinα2等于()A．－1010B.1010C.3310D．－35答案：B4．已知cosα＝－35，且180°α270°，则tanα2＝________.答案：－2.sin3cosyxx例3求函数的周期，最大值和最小值分析：利用三角恒等变换，先把函数式化简，再求相应的值.例4.?ABCD,,COP.31并求出最大面积的面积最大矩形取何值时当角求记扇形的内接矩形，，，是弧上的动点是扇形的扇形圆心角为是半径为如图，已知ABCDCOPQ分析:要求当角取何值时,矩形ABCD的面积S最大,可分二步进行.①找出S与之间的函数关系;②由得出的函数关系,求S的最大值.解在Rt△OBC中,OB=cos,BC=sin在Rt△OAD中,tan603DAOA333sin333OADABC3cossin3ABOBOA设矩形ABCD的面积为S,则BCABS3cossinsin323sincossin313sin21cos2261313sin2cos2226313sin26630,2,636,2由于所以当即时133S-663最大通过三角变换把形如y=asinx+bcosx的函数转化为形如y=Asin(+)的函数,从而使问题得到简化4422sincossincos()2sin2xxxxfxx1.函数的最小正周期为____最大值_______最小值________分析：欲求最小正周期主最大最小值，首先要将函数式化为单一函数．练习3414422422sin2sincoscossincos()22sincosxxxxxxfxxx221sin1(1sincos)2(1sincos)2xcoxxxxxx212sin41x的最小正周期为π，最大值为，最小值为。)x(f4341[典例]已知sinα＝－45，πα3π2，求sinα2，cosα2，tanα2的值．求值问题[解]∵πα3π2，sinα＝－45，∴cosα＝－35，且π2α23π4，∴sinα2＝1－cosα2＝255，cosα2＝－1＋cosα2＝－55，tanα2＝sinα2cosα2＝－2.解决给值求值问题的思路方法已知三角函数式的值，求其他三角函数式的值，一般思路为：(1)先化简已知或所求式子；(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)；(3)将已知条件代入所求式子，化简求值．[活学活用]已知sinα2－cosα2＝－15，450°α540°，求tanα2的值．解：由题意得sinα2－cosα22＝15，即1－sinα＝15，得sinα＝45.∵450°α540°，∴cosα＝－35，∴tanα2＝1－cosαsinα＝1－－3545＝2.[典例]化简：1＋sinα＋cosαsinα2－cosα22＋2cosα(πα2π)．三角函数式的化简[解]原式＝2cos2α2＋2sinα2cosα2sinα2－cosα22·2cos2α2＝2cosα2cosα2＋sinα2sinα2－cosα22cosα2＝cosα2－cosαcosα2.又∵πα2π，∴π2α2π，∴cosα20，∴原式＝cosα2·－cosα－cosα2＝cosα.[一题多变]1．[变条件]若本例中式子变为：1－sinα－cosαsinα2＋cosα22－2cosα(－πα0)，求化简后的式子．解：原式＝2sin2α2－2sinα2cosα2sinα2＋cosα22×2sin2α2＝2sinα2sinα2－cosα2sinα2＋cosα22sinα2＝sinα2sin2α2－cos2α2sinα2＝－sinα2cosαsinα2.因为－πα0，所以－π2α20，所以sinα20，所以原式＝－sinα2cosα－sinα2＝cosα.2．[变条件]若本例中的式子变为：1＋sinα1＋cosα－1－cosα＋1－sinα1＋cosα＋1－cosα，πα3π2，求化简后的式子．解：原式＝sinα2＋cosα222cosα2－2sinα2＋sinα2－cosα222cosα2＋2sinα2，∵πα3π2，∴π2α23π4.∴cosα20，sinα20.∴原式＝sinα2＋cosα22－2sinα2＋cosα2＋sinα2－cosα222sinα2－cosα2＝－sinα2＋cosα22＋sinα2－cosα22＝－2cosα2.化简问题中的“三变”(1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式．(2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切．(3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径．如升幂、降幂、配方、开方等．题点一：与三角函数性质综合应用1．(浙江高考)函数f(x)＝sin2x＋sinxcosx＋1的最小正周期是________，单调递减区间是________．解析：由题意知，f(x)＝12sin2x＋12(1－cos2x)＋1＝22sin2x－π4＋32，所以最小正周期T＝π.令π2＋2kπ≤2x－π4≤3π2＋2kπ(k∈Z)，得kπ＋3π8≤x≤kπ＋7π8(k∈Z)，故单调递减区间为3π8＋kπ，7π8＋kπ(k∈Z)．答案：π3π8＋kπ，7π8＋kπ(k∈Z)三角恒等变换的综合应用题点二：与平面向量综合应用2．已知向量a＝(1＋sin2x，sinx－cosx)，b＝(1，sinx＋cosx)，函数f(x)＝a·b.求f(x)的最大值及相应的x值．解：因为a＝(1＋sin2x，sinx－cosx)，b＝(1，sinx＋cosx)，所以f(x)＝1＋sin2x＋sin2x－cos2x＝1＋sin2x－cos2x＝2sin2x－π4＋1.因此，当2x－π4＝2kπ＋π2，即x＝kπ＋3π8(k∈Z)时，f(x)取得最大值2＋1.题点三：三角变换在实际生活中的应用3.某高校专家楼前现有一块矩形草坪ABCD，已知草坪长AB＝100米，宽BC＝503米，为了便于专家平时工作、起居，该高校计划在这块草坪内铺设三条小路HE、HF和EF，并要求H是CD的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且∠EHF为直角，如图所示．(1)设∠CHE＝x(弧度)，试将三条路的全长(即△HEF的周长)L表示成x的函数，并求出此函数的定义域；(2)这三条路，每米铺设预算费用均为400元，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？并求出最低总费用(结果保留整数)(可能用到的参考值：3取1.732，2取1.414)．解：(1)∵在Rt△CHE中，CH＝50，∠C＝90°，∠CHE＝x，∴HE＝50cosx.在Rt△HDF中，HD＝50，∠D＝90°，∠DFH＝x，∴HF＝50sinx.又∠EHF＝90°，∴EF＝50sinxcosx，∴三条路的全长(即△HEF的周长)L＝50sinx＋cosx＋1sinxcosx.当点F在A点时，这时角x最小，求得此时x＝π6；当点E在B点时，这时角x最大，求得此时x＝π3.故此函数的定义域为π6，π3.(2)由题意知，要求铺路总费用最低，只要求△HEF的周长L的最小值即可．由(1)得L＝50sinx＋cosx＋1sinxcosx，x∈π6，π3，设sinx＋cosx＝t，则sinxcosx＝t2－12，∴L＝50t＋1t2－12＝100t－1.由t＝sinx＋cosx＝2sinx＋π4，x∈π6，π3，得3＋12≤t≤2，从而2＋1≤1t－1≤3＋1，当x＝π4，即CE＝50时，Lmin＝100(2＋1)，所以当CE＝DF＝50米时，铺路总费用最低，最低总费用为96560元．应用公式解决三角函数综合问题的三个步骤(1)运用和、差、倍角公式化简；(2)统一化成f(x)＝asinωx＋bcosωx＋k的形式；(3)利用辅助角公式化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，研究其性质．A．0D．-1B．23C．210000cos40cos60cos80cos160()的值是13.(0,),(,),cos,2237sin()sin()9设且则271A．2723D．31C．275B．36D．334A．34B．34C．22sin124.(),()()122sincos22fxf若则215.tan(),tan(),544tan()4已知则322α6．化简：23cos21cos2sin2121sin对变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法加深认识，学会灵活运用小结