小升初 几何专项

小升初几何专题几何（一）平面图形一、知识地图平行线间等积变形三角形——等底等高底边与面积关系过一点引平行线，构成四个小矩形“一个思想”等积变形矩形?—两个结论过一点构成四个三角形共边定理其它共角定理三角形底边与面积关系蝴蝶定理“五个模型”梯形蝴蝶定理相似三角形燕尾定理二、基础知识小学奥数的平面几何问题，是以等积变形为主导思想，结合五大模型的变化应用，交织而成。攻克奥数平面几何，一定要从等积变形开始。1、等积变形。等积变形，它的特点是利用面积相等而进行相互转换，面积相等的两个图形我们就称之为等积形。我们所研究的等积变形，更多的是三角形的等积变形，三角形等积变形的中心思想是等底等高，因为三角形的面积=底×高÷2，所以说等底等高的两个三角形面积相等。另外，等底等高的平行四边形、梯形（梯形等底应理解为两底和相等）的面积也相等。在实际中，我们经常用到的与等积变形相关的性质主要有以下几点：﹙1﹚直线AB平行于CD，可知BCDACDSS；反之，如果BCDACDSS，则可知直线AB平行于CD。DCBA（因为平行线间的距离是处处相等的哦！，聪明的你想到了吗？）﹙2﹚两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；特别地，我们有等腰三角形底边上的高线平分三角形面积三角形一边上的中线平分这个三角形的面积。平行四边形的对角线平分它的面积﹙3﹚共边定理：若△PAB和△QAB的公共边AB所在直线与直线PQ交于M，则QMPMSSQABPAB::；MQPBA﹙4﹚共角定理：在△ABC和△CBA中，若AA或180AA，则CABAACABSSCBAABC。﹙5﹚过矩形内部的一点引两条直线分别与两组边平行，所分得的四个小矩形，其面积满足：3241SSSS。S4S3S2S1﹙6﹚E为矩形ABCD内部的任意一点，则ABCDBCEADECDEABESSSSS21；当E落在矩形的某条边上时，也成立。EDCBA特别地，（5）（6）两条性质对于平行四边形同样成立。2、五大模型。我们把学习中经常遇到的问题归纳为五个基本的模型，总的来说，这五个基本模型都是用来解决三角形边与面积之间关系互相转换的问题。让我们一起来感受一下模型的魅力吧！模型一：在同一三角形中，相应面积与底成正比关系：即：两个三角形高相等，面积之比等于对应底边之比。或：两个三角形底相等，面积之比等于对应的高之比。bas2s1S1︰S2=a︰b；拓展：等分点结论（“鸟头定理”）如图，三角形AED占三角形ABC面积的23×14=16鸟头定理是对模型一的一个拓展，有兴趣的话，你可以试着证明一下哦！模型二：任意四边形中的比例关系（“蝴蝶定理”）S4S3s2s1ODCBA①S1︰S2=S4︰S3或者S1×S3=S2×S4②AO︰OC=（S1+S2）︰（S4+S3）蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。构造模型，一方面我们可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系，另一方面，我们也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。模型三：梯形中比例关系（“梯形蝴蝶定理”）①S1︰S3=a2︰b2②S1︰S3︰S2︰S4=a2︰b2︰ab︰ab；③S的对应份数为（a+b）2梯形蝴蝶定理，给我们提供了解决梯形面积与上下底之间关系互相转换的渠道。构造模型，直接应用结论，往往有事半功倍的效果。模型四：相似三角形性质①abchABCH；②S1︰S2=a2︰A2所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形，（只要其形状不改变，不论大小怎样改变他们都相似），与相似三角形相关，常用的性质及定理如下：﹙1﹚相似三角形的对应角相等，对应边成比例。﹙2﹚相似三角形的一切对应线段（对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于它们的相似比。﹙3﹚相似三角形周长的比等于它们的相似比。﹙4﹚相似三角形面积的比等于它们相似比的平方。﹙5﹚特别的，连接三角形两边中点的线段我们叫做三角形的中位线。关于三角形的中位线我们有这样一个结论：三角形中位线定理：三角形的中位线长等于他所对应的底边长的一半。对于梯形，我们也有类似的结论。连接梯形两腰得到的线段我们叫做梯形_h_h_H_c_b_a_C_B_A_a_c_b_H_C_B_AS4S3s2s1ba_h_h_H_c_b_a_C_B_A_a_c_b_H_C_B_A_S1_S2的中位线。梯形的中位线长等于它上下底边之和的一半。﹙6﹚那么如何判断三角形是不是相似呢？我们一般有三种方法：a：三个角对应相等的三角形相似，（事实上只要有两个角相等就可以了）。b：有两边对应成比例且其两条边的夹角相等的三角形相似。c：三边分别对应成比例的三角形相似。注意：在小学奥数里，最多出现的情况是因为两条平行线而出现相似三角形，如模型四。相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具。模型五：燕尾定理S△ABG：S△AGC＝S△BGE：S△EGC＝BE：EC；S△BGA：S△BGC＝S△AGF：S△FGC＝AF：FC；S△AGC：S△BCG＝S△ADG：S△DGB＝AD：DB；燕尾定理因为图形类似燕尾而得名，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径。3、计算过程中连接辅助线的四个原则。几何作为数形结合的学科，图形的运用往往在解题过程中起到至关重要的作用。在小学阶段的平面几何学习中，我们在运用图形连接辅助线时一般遵循以下四个原则：﹙1﹚把四边形或者多边形变为三角形，例如：DACB﹙2﹚连接等分点，例如：DCBA﹙3﹚构造模型，例如：ABCD﹙4﹚做高线，构造直角三角形DCBA三、经典透析【例1】（☆☆☆）如下左图。将三角形ABC的BA边延长1倍到D，CB边延长2倍到E，AC边延长3倍到F。如果三角形ABC的面积等于1，那么三角形DEF的面积是_____。FEDCBAFEDCBA审题要点：题目中给出的已知条件都是边的倍比关系，其余的条件中只有一个三角形ABC的面积是已知，要想办法使已知条件能够相互关联，使边的倍比关系可以转化为面积之比，可以选择模型一应用。详解过程：解：连结AE、BF、CD（如上右图）由EB=2BC，得S△ABE=2。同理可得S△AED=2S△BEF=2×S△CBF=6。S△CFD=3×S△ACD=3。所以S△DEF=1+2+3+1+2+6+3=18。专家点评：这是北京市第一届“迎春杯”刊赛第32题，非常经典。解题过程中通过连接AE、BF、CD，使题目中所给的边的倍比关系可以构造模型一相互关联，再通过共高三角形面积与相应底边之间的对应比例关系求解。【例2】（☆☆☆）设13ADAB，14BEBC，15FCAC，如果三角形DEF的面积为19平方厘米，那么三角形ABC的面积是_________平方厘米。ECFADB审题要点：和【例1】类似，题目已知条件中边的倍比关系比较多，可以考虑应用模型一。解：1443515ADFABCABCSSS121436BEDABCABCSSS3134520FECABCABCSSSS△ABC=(154+61+203)S△ABC+19∴45.6ABCS专家点评：这是2004年小学数学奥林匹克A卷的，其实竞赛题不一定都是很难，尤其是平面几何部分，但他们十之八九都是很巧妙的，拿这道题来说，图形长得很普通，而题目当中又给了那么多的倍比关系，那我们是不是可以考虑构造模型一呢？整体看，ABCADFBDEEFCDEFSSSSS，除了19DEFS，其余三个我们可以直接用“鸟头定理”。鸟头定理也是本题的一个中心考点。【例3】（☆☆☆）四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O（如图）所示。如果三角形ABD的面积等于三角形BCD的面积的13，且2AO，3DO，那么CO的长度是DO的长度的_________倍。审题要点：在本题中四边形ABCD为任意四边形，且出现S△ABD：S△BCD=1：3。联想模型二蝴蝶定理结论。详解过程：解法一：::1:3ABDBDCAOOCSS∴236OC∴:6:32OCOD解法二：∵13ABCBCDSS∴13AHCG∴13AODDOCSS∴13AOCO∴236OC∴:6:32OCOD专家点评：本题是2003北京市第十九届小学生“迎春杯”数学竞赛的试题。在本题中，三角形ABD和三角形BCD的面积之比如何转化是关键。方法一直接应用模型二蝴蝶定理的结论，而我们也可以不应用蝴蝶定理，那么观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，我们需要一个中介，于是做AH垂直BD于H，CGBD于G，面积比转化为高之比。再应用模型一的结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出AO=13CO。【例4】：（☆☆☆☆）如下图所示，AE︰EC＝1︰2，CD︰DB＝1︰4，BF︰FA＝1︰3，三角形ABC的面积等于1，那么四边形AFHG的面积是__________。GHDEFCBA审题要点：四边形AFHG的面积可以看作是三角形ABC的面积减去三角形BEC的面积再分别减去三角形BFH和三角形AGE的面积得到的。如何把三角形边的倍比关系和要求的面积相联系，是这道题的重点问题。详解过程：以下各图为了强调相关部分，暂去掉另外线条。解：如下图所示，我们分别求出BFH、AGE的面积问题也就解决。如上图，我们设BFH＝x，则AFH＝3x；设AHE＝y，则CEH＝2y；于是有ABE＝4x+y＝31ACF＝3y+3x＝43有43331312yxyx，则9x＝41，所以x＝361；如下图，我们设AEG＝a，则CEG＝2a；设CDG＝b，则BDG＝4b；于是有ACD＝3a+b＝51BCE＝2a+5b＝32有32521515baba，则13a＝31，所以a＝391；这样，AFHG＝ABE－BFH－AEG＝31－361－391＝468131。专家点评：求四边形AFHG，可由三角形ABC的面积减去三角形BEC的面积，再分别减去三角形BFH和三角形AGE的面积。而三角形BEC的面积可从三角形面积与底边的比例关系得到，于是问题转化为如何求BFHS及AGES。BFHS与AGES可由二元一次方程组分别解得。解法二：ABCDEFHBH：HE=S△BFC：S△EFC=14︰（34×23）=1︰2所以S△BFH=S△ABE×（14×13）=13×（14×13）=136同理：ABCDEFGAG︰GD=S△ABE︰S△BDE=13︰（23×45）=5︰8所以，S△AGE=S△ADC×（513×13）=15×（513×13）=139AG︰AD=5︰（5+8）=5︰13所以，S四边形AFHG＝S△ABE－S△BFH－S△AEG＝31－361－391=468131专家点评：本题解法二应用的考点比较多，基本解题思路和解法一差不多，都是由S△FHG=S△ABE-S△BFH-S△AEG得出，而解法二首先应用蝴蝶定理，先求线段BH与HE的比例关系，再利用鸟头定理解出BFHS及AGES，最后求出S四边形AFHG。比解法一略显简洁，而且计算上也比较方便。注意考点：鸟头定理和蝴蝶定理的应用【例5】（☆☆☆）设正方形的面积为1，下图中E、F分别为AB、BD的中点，GC=13FC。求阴影部分面积。ADFGCBE审题要点：阴影部分为三角形，知道底边为正方形边长的一半，只要求出高，便可解出面积。解：作FH垂直BC于H；GI垂直BC于I根据相似三角形定理CG︰CF=CI︰CH=1︰3又∵CH=HB∴CI︰CB=1︰6即BI︰CB=（6-1）︰6=5︰6S△BGE=12×12×56=524。专家点评：本题考查模型四，利用三角形相似的性质，求出三角形对