《抛物线及其标准方程》

小结：抛物线极其标准方程画抛物线抛物线的定义：定点F叫做抛物线的焦点；定直线L叫做抛物线的准线．平面内到定点F与到定直线L的距离相等的点的轨迹叫抛物线.LFKMNF在l上时，轨迹是过点F垂直于L的一条直线。注意平面上与一个定点F和一条定直线l（F不在l上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。F在l上时，轨迹是过点F垂直于L的一条直线。方程y2=2px（p＞0）叫做抛物线的标准方程其中p为正常数，它的几何意义是:焦点到准线的距离抛物线及其标准方程一.定义:平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。定点F叫做抛物线的焦点定直线l叫做抛物线的准线。二.标准方程:yox··FMlNKyxo﹒﹒yxoyxo﹒yxo﹒图形焦点准线标准方程根据上表中抛物线的标准方程的不同形式与图形、焦点坐标、准线方程对应关系，如何判断抛物线的焦点位置，开口方向？想一想:第一：一次项的变量为抛物线的对称轴，焦点就在对称轴上;第二：一次项系数的正负决定了抛物线的开口方向.例1（1）已知抛物线的标准方程是y2=6x，求它的焦点坐标和准线方程；（2）已知抛物线的方程是y=－6x2，求它的焦点坐标和准线方程；（3）已知抛物线的焦点坐标是F（0，-2），求它的标准方程。解：因为ｐ＝３，故焦点坐标为（－,０）准线方程为x=-－.3232112解:方程可化为:x=-－y,故p=－,焦点坐标为(0,-－),准线方程为y=－.161241242解:因焦点在y轴的负半轴上,且p=4,故其标准方程为:x=-8y2练习：1、根据下列条件，写出抛物线的标准方程：（1）焦点是F（3，0）；（2）准线方程是x=；41（3）焦点到准线的距离是2。y2=12xy2=xy2=4x、y2=-4x、x2=4y或x2=-4y2、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：（1）y2=20x（2）x2=y（3）x2+8y=021焦点坐标准线方程（1）（2）（3）（5，0）x=-5（0，—）18y=-—18y=2(0,-2)例2、求过点A（-3，2）的抛物线的标准方程。．AOyx解：当抛物线的焦点在y轴的正半轴上时，把A（-3，2）代入x2=2py，得p=49当焦点在x轴的负半轴上时，把A（-3，2）代入y2=-2px，得p=32∴抛物线的标准方程为x2=y或y2=x。2934思考题、M是抛物线y2=2px（P＞0）上一点，若点M的横坐标为X0，则点M到焦点的距离是————————————X0+—2pOyx．FM．小结：1、抛物线的定义,标准方程类型与图象的对应关系以及判断方法2、抛物线的定义、标准方程和它的焦点、准线、方程3、求标准方程（1）用定义；（2）用待定系数法P71思考：二次函数的图像为什么是抛物线？2(0)yaxa221(0)yaxaxya110)44aa焦点（，准线y=-当a0时与当a0时，结论都为：12pa范围1、yox)0,2(pF由抛物线y2=2px（p0）220pxy有0p0x所以抛物线的范围为0x二、探索新知如何研究抛物线y2=2px（p0）的几何性质?Ry对称性2、yox)0,2(pF(,)xy关于x轴对称(,)xy即点(x,-y)也在抛物线上,故抛物线y2=2px(p0)关于x轴对称.则(-y)2=2px若点(x,y)在抛物线上,即满足y2=2px，顶点3、yox)0,2(pF定义：抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点。y2=2px(p0)中，令y=0,则x=0.即：抛物线y2=2px(p0)的顶点（0，0）.注:这与椭圆有四个顶点,双曲线有两个顶点不同。离心率4、yox)0,2(pFP(x,y)抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离之比，叫做抛物线的离心率。由定义知，抛物线y2=2px(p0)的离心率为e=1.下面请大家得出其余三种标准方程抛物线的几何性质。（二）归纳：抛物线的几何性质图形方程焦点准线范围顶点对称轴elFyxOlFyxOlFyxOlFyxOy2=2px（p0）y2=-2px（p0）x2=2py（p0）x2=-2py（p0）)0,2(pF)0,2(pF)2,0(pF)2,0(pF2px2px2py2pyx≥0y∈Rx≤0y∈Ry≥0x∈Ry≤0x∈R(0,0)x轴y轴1特点：1.抛物线只位于半个坐标平面内;2.抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线;4.抛物线的离心率是确定的,为1;yox)0,2(pFP(x,y)补充（1）通径：通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的通径。|PF|=x0+p/2xOyFP通径的长度：2P（2）焦半径：连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径。焦半径公式：),(00yxBA)(20轴上注：焦点在xpxPF)(20轴上注：焦点在ypyPF法一:直接求两点坐标,计算弦长(运算量一般较大);法二:设而不求,运用韦达定理,计算弦长(运算量一般);例1、斜率为1的直线经过抛物线的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长。l24yxAA`B`BFOxy三、典例精析1lyx的方程为：2216104yxxxyx22[]=116418AB22121214kxxxx解法2F1(1,0),1212⇒x+x=6,xx=1例1、斜率为1的直线经过抛物线的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长。l24yx),(),,(2211yxByxA1lyx的方程为：2216104yxxxyx解法3F1(1,0),1212⇒x+x=6,xx=1|AB|=|AF|+|BF|=|AA1|+|BB1|=(x1+1)+(x2+1)=x1+x2+2=812345678-1-2123456xyOABFA1B1pxxAB21例1、斜率为1的直线经过抛物线的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长。l24yx),(),,(2211yxByxA21px22px法一:直接求两点坐标,计算弦长(运算量一般较大);法二:设而不求,运用韦达定理,计算弦长(运算量一般);法三:设而不求,数形结合,活用定义,运用韦达定理,计算弦长.例1、斜率为1的直线经过抛物线的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长。l24yxAA`B`BFOxy小结：变式1：过（2，0）点作斜率为1的直线l，交抛物线于A,B两点，求．xy42AB过点M（2，0）作斜率为1的直线L为:y=x-2xyxxy422由方程组0482xx可得：4,82121xxxx由韦达定理可知：2122124)(1xxxxkAB644824481122),(),,(2211yxByxA解：设FAB例2,已知抛物线的方程为24yx,直线l过定点(2,1)P,斜率为k,k为何值时,直线l与抛物线24yx:⑴只有一个公共点;⑵有两个公共点;⑶没有公共点?1(2).lykx解：直线的方程为xyxky4)2(12由方程组244(21)0kyyk可得⑴只有一个公共点200,16(21)0kkkk或△11,0,2kk或或k=⑵有两个公共点2016(21)0kkk△110,02kk或⑶没有公共点2016(21)0kkk△11,2kk或11,0,2kkk综上所述当或或时,直线与抛物线只有一个公共点;11002kk当或时,直线与抛物线有两个公共点;112kk当或时,直线与抛物线没有公共点。变式2:过点(0,1)M且和抛物线C:24yx仅有一个公共点的直线的方程是__________________________.k联立214ykxyx消去x得2440kyy101yxyx或或k≠0k=0,或△=16-16k=0k=0,或k=1101yxyx或或例3,已知抛物线的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(1，5),求的最小值，并求出取最小值时P点的坐标。xy22PFPAA(1,5)FlQOPP例3,已知抛物线的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点求的最小值，并求出取最小值时P点的坐标。解：将x=3代入抛物线方程y2=2x，得∴A在抛物线内部，设抛物线上点P到准线l：的距离为d，由定义知|PA|+|PF|=|PA|+d．由图可知，当AP⊥l时，|PA|+d最小，最小值为，即|PA|+|PF|的最小值为，此时点P的纵坐标为2，代入y2=2x，得x=2，∴点P的坐标为(2，2)．xy22PFPAA(3,2)FlQOPA(3，2),PB1．过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，如果，那么=（）（A）10（B）8（C）6（D）42．已知M为抛物线上一动点，F为抛物线的焦点，定点，则的最小值为（）（A）3（B）4（C）5（D）6★3．过抛物线的焦点F作直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF、QF的长分别是p、q，则=（）（A）（B）（C）（D）xy4211,yxA22,yxB621xx||ABBxy421,3P||||MFMPB02aaxyqp11Ca2a4a4a21随堂练习：