2016年中考数学模拟试题分类汇编专题25：矩形菱形与正方形(含答案)资料

-1-矩形菱形与正方形一、选择题1．(2016·浙江杭州萧山区·模拟)下列命题中，正确的是（）A．菱形的对角线相等B．平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形C．正方形的对角线相等且互相垂直D．矩形的对角线不能相等【考点】命题与定理．【分析】根据菱形的性质对A进行判断；根据平行四边形的性质和轴对称的定义对B进行判断；根据正方形的性质对C进行判断；根据矩形的性质对D进行判断．【解答】解：A、菱形的对角线相互垂直平分，所以A选项错误；B、平行四边形不是轴对称图形，只是中心对称图形，所以B选项错误；C、正方形的对角线相等且互相垂直，所以C选正确；D、矩形的对角线相等，所以D选项错误．故选C．【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．2.（2016·绍兴市浣纱初中等六校·5月联考模拟）如图，矩形ABCD，点E在AD边上，过点E作AB的平行线，交BC于点F，将矩形ABFE绕着点E逆时针旋转60°，如果点F的对应点M落在边CD上，点B的对应点N落在边BC上，则BCAB（▲）A．13B．325C．431D．3323．（2016·天津南开区·二模）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC，BEMNEDABCF-2-相交于点F，则∠BFC为（）A．45°B．55°C．60°D．75°考点：正方形的性质与判定答案：C试题解析：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，又∵△ADE是等边三角形，∴AE=AD=DE，∠DAE=60°，∴AB=AE，∴∠ABE=∠AEB，∠BAE=90°+60°=150°，∴∠ABE=（180°﹣150°）÷2=15°，又∵∠BAC=45°，∴∠BFC=45°+15°=60°．故选：C．4．（2016·天津五区县·一模）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AC=8，BD=6，过点O作OH⊥AB，垂足为H，则点O到边AB的距离OH等于（）A．2B．C．D．【考点】菱形的性质．【分析】因为菱形的对角线互相垂直平分，菱形的四边相等，根据面积相等，可求出OH的长．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC=8，BD=6，∴BO=3，AO=4，AO⊥BO，∴AB==5．∵OH⊥AB，∴AO•BO=AB•OH，∴OH=，故选D．-3-【点评】本题考查菱形的基本性质，菱形的对角线互相垂直平分，菱形的四边相等，根据面积相等，可求出AB边上的高OH．答案：B5．(2016·山西大同·一模）如图，正方形AEFG的边AE放置在正方形ABCD的对角线AC上，EF与CD交于点M，得四边形AEMD，且两正方形的边长均为2，则两正方形重合部分（阴影部分）的面积为（）A．442B．424C．842D．21答案：A6．(2016·山西大同·一模）如图：正方形ABCD的对角线BD长为22。若直线l满足：①点D到直线l的距离为3，②A、C两点到直线l的距离相等，则符合题意的直线l的条数为（）A．1B．2C．3D．4答案：C7．(2016·云南省曲靖市罗平县·二模)如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB于H，则DH=（）A．B．C．12D．24【考点】菱形的性质．第5题图-4-【分析】设对角线相交于点O，根据菱形的对角线互相垂直平分求出AO、BO，再利用勾股定理列式求出AB，然后根据菱形的面积等对角线乘积的一半和底乘以高列出方程求解即可．【解答】解：如图，设对角线相交于点O，∵AC=8，DB=6，∴AO=AC=×8=4，BO=BD=×6=3，由勾股定理的，AB===5，∵DH⊥AB，∴S菱形ABCD=AB•DH=AC•BD，即5DH=×8×6，解得DH=．故选A．【点评】本题考查了菱形的性质，勾股定理，主要利用了菱形的对角线互相垂直平分的性质，难点在于利用菱形的面积的两种表示方法列出方程．8．(2016·山东枣庄·模拟)如图，在半径为6cm的⊙O中，点A是劣弧的中点，点D是优弧上一点，且∠D=30°，下列四个结论：①OA⊥BC；②BC=6；③sin∠AOB=；④四边形ABOC是菱形．其中正确结论的序号是（）A．①③B．①②③④C．②③④D．①③④【考点】垂径定理；菱形的判定；圆周角定理；解直角三角形．【专题】几何图形问题．-5-【分析】分别根据垂径定理、菱形的判定定理、锐角三角函数的定义对各选项进行逐一判断即可．【解答】解：∵点A是劣弧的中点，OA过圆心，∴OA⊥BC，故①正确；∵∠D=30°，∴∠ABC=∠D=30°，∴∠AOB=60°，∵点A是劣弧的中点，∴BC=2CE，∵OA=OB，∴OA=OB=AB=6cm，∴BE=AB•cos30°=6×=3cm，∴BC=2BE=6cm，故②正确；∵∠AOB=60°，∴sin∠AOB=sin60°=，故③正确；∵∠AOB=60°，∴AB=OB，∵点A是劣弧的中点，∴AC=AB，∴AB=BO=OC=CA，∴四边形ABOC是菱形，故④正确．故选：B．-6-BACD第9题图【点评】本题考查了垂径定理、菱形的判定、圆周角定理、解直角三角形，综合性较强，是一道好题．9.(2016·陕西师大附中·模拟)如图，在菱形ABCD中，AB=5，∠BCD=120°，则对角线AC等于（）A.20B.15C.10D.5【答案】D10．（2016·河南洛阳·一模）如图4，正方形ABCD的边长为4，点P、Q分别是CD、AD的中点，动点E从点A向点B运动，到点B时停止运动；同时，动点F从点P出发，沿P→D→Q运动，点E、F的运动速度相同．设点E的运动路程为x，△AEF的面积为y，能大致刻画y与x的函数关系的图象是【】答案：B11.（2016·辽宁丹东七中·一模）下列说法不正确．．．的是（）A．一组邻边相等的矩形是正方形B．对角线相等的菱形是正方形C．对角线互相垂直的矩形是正方形D．有一个角是直角的平行四边形是正方形答案：D12.（2016·河大附中·一模）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，按如下步骤作图：第一步，分别以点A.D为圆心，以大于21AD的长为半径在AD两侧作弧，交于两点M、N;第二步，-7-连接MN分别交AB、AC于点E、F;第三步，连接DE、DF.若BE=8，ED=4，CD=3，则BD的长是()A．4B．6C．8D．12第12题答案：B13.（2016·黑龙江大庆·一模）下列命题：①等腰三角形的角平分线平分对边；②对角线垂直且相等的四边形是正方形；③正六边形的边心距等于它的边长；④过圆外一点作圆的两条切线，其切线长相等．其中真命题有（）个．A．1个B．2个C．3个D．4个答案：A14.（2016·湖北襄阳·一模）如图，已知菱形ABCD的对角线AC．BD的长分别为6cm、8cm，AE⊥BC于点E，则AE的长是（）A．B．C．D．第14题答案：D15.（2016·广东东莞·联考）为增加绿化面积，某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正-8-八边形植草砖，更换后，图中阴影部分为植草区域，设正八边形与其内部小正方形的边长都为a，则阴影部分的面积为（）A．2a2B．3a2C．4a2D．5a2【考点】正多边形和圆；等腰直角三角形；正方形的性质．【分析】根据正八边形的性质得出∠CAB=∠CBA=45°，进而得出AC=BC=a，再利用正八边形周围四个三角形的特殊性得出阴影部分面积即可．【解答】解：∵某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖，设正八边形与其内部小正方形的边长都为a，∴AB=a，且∠CAB=∠CBA=45°，∴sin45°===，∴AC=BC=a，∴S△ABC=×a×a=，∴正八边形周围是四个全等三角形，面积和为：×4=a2．正八边形中间是边长为a的正方形，∴阴影部分的面积为：a2+a2=2a2，故选：A．【点评】此题主要考查了正八边形的性质以及等腰直角三角形的性质，根据已知得出S△ABC的值是解题关键．16.（2016·广东深圳·一模）下列命题中是假命题的是（）A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形B．一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形C．一组邻边相等的平行四边形是菱形D．一组邻边相等的矩形是正方形【考点】正方形的判定；平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定．【专题】证明题．【分析】做题时首先熟悉各种四边形的判定方法，然后作答．【解答】解：A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（平行四边形判定定理）；故A不符合题意．-9-B、一组对边相等且有一个角是直角的四边形，不一定是矩形，还可能是不规则四边形，故B符合题意．C、一组邻边相等的平行四边形是菱形，故C不符合题意；D、一组邻边相等的矩形是正方形，故D不符合题意．故选：B．【点评】本题主要考查各种四边形的判定，基础题要细心．17.（2016·广东深圳·联考）正方形ABCD的一条对角线长为8，则这个正方形的面积是A．24B．32C．64D．128答案：B18.（2016·广东深圳·联考）如图，矩形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于E，∠CAE=15°，则下列结论：①△ODC是等边三角形；②BC=2AB；③∠AOE=135°；④S△AOE=S△COE，其中正确的结论的个数有A．1B．2C．3D．4答案：C19.（2016·河南三门峡·二模）如图，小明在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A和B为圆心，大于AB21的长为半径画弧，两弧相交于C、D两点，直线CD即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是（）A．矩形B．菱形C．正方形D．无法确定答案：B20.（2016·河南三门峡·一模）菱形的边长是10，一条对角线长是12，则此菱形的另一条对角线是()A.10B.24C.8D.16答案：DCBAD-10-二、填空题1．（2016·天津市和平区·一模）长为1，宽为a的矩形纸片（＜a＜1），如图那样折一下，剪下一个边长等于矩形宽度的正方形（称为第一次操作）；再把剩下的矩形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形（称为第二次操作）；如此反复操作下去，若在第n次操作后，剩下的矩形为正方形，则操作终止．（I）第二次操作时，剪下的正方形的边长为1﹣a；（Ⅱ）当n=3时，a的值为或．（用含a的式子表示）【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】根据操作步骤，可知每一次操作时所得正方形的边长都等于原矩形的宽．所以首先需要判断矩形相邻的两边中，哪一条边是矩形的宽．当＜a＜1时，矩形的长为1，宽为a，所以第一次操作时所得正方形的边长为a，剩下的矩形相邻的两边分别为1﹣a，a．由1﹣a＜a可知，第二次操作时所得正方形的边长为1﹣a，剩下的矩形相邻的两边分别为1﹣a，a﹣（1﹣a）=2a﹣1．由于（1﹣a）﹣（2a﹣1）=2﹣3a，所以（1﹣a）与（2a﹣1）的大小关系不能确定，需要分情况进行讨论．又因为可以进行三次操作，故分两种情况：①1﹣a＞2a﹣1；②1﹣a＜2a﹣1．对于每一种情况，分别求出操作后剩下的矩形的两边，根据剩下的矩形为正方形，列出方程，求出a的值．【解答】解：由题意，可知当＜a＜1时，第一次操作后剩下的矩形的长为a，宽为1﹣a，所以第二次操作时正方形的边长为1﹣a，第二次操作以后剩下的矩形的两边分别为1﹣a，2a﹣1．故答案为：1﹣a；此时，分两种情况：（第1题）PEDABC-11-①如果1﹣a＞2a﹣1，即a＜，那么第三次操作时正方形的边长为2a﹣1．∵经过第三次操作后所得的矩形是正方形，∴矩形的宽等于1﹣a，即2a﹣1=（1﹣a）﹣（2a﹣1），解得a=；②如果1﹣a＜2a﹣1，即a＞，那么第三次操作时正方形的边长为1﹣a．则1﹣a=（2a﹣1）﹣（1﹣a），解得a=．故答案为：或．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是分两种情况：①1﹣a＞2a﹣1；②1﹣a＜2a﹣1．分别求出操作后剩下的矩形的两边．2．（2016·天津市南开区·一模）如图，在正方形ABC