【优化方案】2012高中数学 第1章1.1.1第一课时正弦定理课件 新人教B版必修5

1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理学习目标1.掌握正弦定理，能初步运用正弦定理解一些斜三角形．2．能够运用正弦定理解决某些与测量和几何计算有关的实际问题．第一课时课堂互动讲练知能优化训练第一课时课前自主学案课前自主学案温故夯基1．三角形内角和定理：△ABC中，____________.2．三角形中大边对大角：△ABC中，___________.3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，边与角的关系为：_________________.A＋B＋C＝πa＞b⇔A＞Bac＝sinA，bc＝sinB知新益能1．正弦定理在一个三角形中，各边的长和它所对角的正弦的比_____，即asinA＝bsinB＝csinC＝___.(R为三角形的外接圆的半径)相等2R思考感悟1．设asinA＝bsinB＝csinC＝2R，R为什么为三角形的外接圆的半径？提示：如图所示，设△ABC的外接圆圆心为O，半径为R，BD为圆O的直径，则D＝A或D＝π－A，∠BCD＝π2.在Rt△BDC中，BC＝BDsinD＝2RsinA.即a＝2RsinA.同理，可得b＝2Rsin∠ABC，c＝2Rsin∠ACB.∴asinA＝bsin∠ABC＝csin∠ACB＝2R.2．利用正弦定理解三角形(1)解三角形：一般地，我们把三角形的三个角A、B、C和它们的对边a，b，c叫做三角形的_____．已知三角形的几个元素，求其他元素的过程叫做_________．元素解三角形(2)用正弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题：①已知两角和任一边，求_______________；②已知两边和其中一边对角，求______________________________．其他两边和一角另一边的对角，及其他的边、角思考感悟2．作三角形使得a＝14，b＝16，A＝45°，你能作出几个？提示：如图，作45°角为A，在A的一边上取一点C，使AC＝16，以点C为圆心，以14为半径画弧，因为16sin45°＝82＜14，所以能作出两个三角形．课堂互动讲练已知两角和一边解三角形例1(1)在△ABC中，c＝10，A＝45°，C＝30°，求a，b和B；(2)在△ABC中，A＝45°，B＝30°，a＝2，解三角形．【分析】应用正弦定理、三角形内角和定理求解．【解】(1)∵asinA＝csinC，∴a＝csinAsinC＝10×sin45°sin30°＝102.B＝180°－(A＋C)＝180°－(45°＋30°)＝105°.又∵bsinB＝csinC，∴b＝csinBsinC＝10×sin105°sin30°＝20×6＋24＝5(6＋2)．(2)根据三角形内角和定理，C＝180°－(A＋B)＝180°－(45°＋30°)＝105°，根据正弦定理，b＝asinBsinA＝2sin30°sin45°＝2×1222＝2，c＝asinCsinA＝2sin105°sin45°＝2sin75°sin45°＝2×6＋2422＝3＋1.【点评】(1)运算过程中，要用到三角函数中的公式，此题中对105°角作了“拆角”变换．(2)由于在已知两角的情况下，第三个角确定，因此，解的情况唯一．自我挑战1在△ABC中，B＝30°，C＝45°,c＝1，求边b的长及三角形的外接圆半径．解：已知B＝30°，C＝45°，c＝1.由正弦定理得：bsinB＝csinC＝2R，所以b＝csinBsinC＝1·sin30°sin45°＝22，2R＝csinC＝1sin45°＝122＝2，R＝22.已知两边及其中一边的对角解三角形例2在△ABC中，已知下列条件解三角形(角度精确到1°，边长精确到1cm)：(1)a＝49cm，b＝26cm，A＝107°；(2)a＝2cm，b＝6cm，A＝30°；(3)a＝3cm，b＝6cm，A＝30°；(4)a＝1cm，b＝3cm，A＝30°.【分析】我们可先确定满足条件的三角形的个数，然后再求解．【解】(1)∵A＝107°是钝角，且a＞b，∴这样的三角形有且只有一个．∵sinB＝26sin107°49≈0.507，∴B≈30°，∴C≈43°.又∵asinA＝csinC，∴49sin107°＝csin43°，∴c＝49sin43°sin107°≈35(cm)．故B≈30°，C≈43°，c≈35cm.(2)∵a＝2，bsinA＝3，∴a＜bsinA，这样的三角形不存在．(3)∵a＝3，bsinA＝3，∴a＝bsinA，这样的三角形唯一存在．此时sinB＝bsinAa＝6sin30°3＝1，∴B＝90°，C＝60°，c＝62－32＝5(cm)．故B＝90°，C＝60°，c＝5cm.(4)∵a＝1，bsinA＝32，∴bsinA＜a＜b，这样的三角形有两个．此时sinB＝bsinAa＝3sin30°1＝32，则B＝60°或120°.当B＝60°时，C＝90°，c＝1＋3＝2(cm)；当B＝120°时，C＝30°，c＝a＝1(cm)．【点评】在解三角形时，同学们不能盲目地拿到题目就用正弦定理来求解，最好是先根据上述结论，找出其解的存在情况，然后再来解．这样，既可以减少错解、漏解的可能性，同时还能减少计算量．自我挑战2在△ABC中，(1)a＝1，b＝2，∠B＝45°，求∠A、∠C及c；(2)a＝4，b＝2，∠B＝45°，求∠A、∠C及c.解：(1)由正弦定理得sinA＝asinBb＝1×sin45°2＝12.∵b＞a，∴∠B＞∠A，∴∠A＝30°，∠C＝180°－(45°＋30°)＝105°，∴c＝bsinCsinB＝2sin105°sin45°＝6＋22.(2)由正弦定理得sinA＝asinBb＝4×sin45°2＝2＞1，∴这样的三角形不存在．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠DAB.求证：BCCD＝sinDsinB.正弦定理的简单应用例3【分析】将要证明的边和角放在两个三角形中，用正弦定理实现边与角的转化．【证明】在△ABC中，由正弦定理得：BCsin∠1＝ACsinB.在△ACD中，由正弦定理得：CDsin∠2＝ACsinD.由于AC平分∠DAB，所以∠1＝∠2.将两式相除得：BCCD＝sinDsinB.【点评】证明边与角的恒等式时，可用正弦定理实现边与角的转化．此题利用AC平分∠DAB，将问题转化到两个有公共边AC的三角形内，在两个三角形中分别应用正弦定理，实现角与边的转化．解：由正弦定理BCsinA＝2R，得sinA＝32.∵BC是最长边，且三角形为非等边三角形，∴A＝23π.自我挑战3非等边三角形ABC的外接圆半径为2，最长的边BC＝23，求sinB＋sinC的取值范围．∴sinB＋sinC＝sinB＋sin(π3－B)＝12sinB＋32cosB＝sin(B＋π3)．又0＜B＜π3，∴π3＜B＋π3＜2π3.∴32＜sin(B＋π3)≤1.故sinB＋sinC的取值范围是(32，1]．正弦定理的实际应用例4如图测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s,并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB.【分析】在△BDC中，利用正弦定理可求出BC，在Rt△ABC中，AB＝BC·tan∠ACB＝BC·tanθ.【解】在△BCD中，∠CBD＝π－α－β.由正弦定理得BCsin∠BDC＝CDsin∠CBD，∴BC＝CDsin∠BDCsin∠CBD＝s·sinβsinα＋β.在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝s·tanθsinβsinα＋β.【点评】首先建立数学模型，在三角形中使用正弦定理解题．自我挑战4如图，海中小岛A周围20海里内有暗礁，船沿正南方向航行，在B处测得小岛A在船南偏东30°；航行30海里到达C，在C处测得小岛A在船的南偏东60°.如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险？解：过点A作直线BC的垂线，垂足为D.因为∠B＝30°，∠ACD＝60°，所以∠BAC＝30°，∠BCA＝180°－60°＝120°.在△ABC中，由正弦定理，得ABsin120°＝BCsin30°，所以AB＝30×sin120°sin30°＝303(海里)．在Rt△BDA中，∠B＝30°，AD＝12AB＝153≈26(海里)．因为AD20海里，所以继续航行，船没有触礁的危险．