【优化方案】2012高中数学 第1章1.2.1应用举例课件 新人教A版必修5

1．2应用举例1．2.1应用举例学习目标运用正弦定理、余弦定理等知识解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.课堂互动讲练知能优化训练1.2.1应用举例课前自主学案课前自主学案温故夯基1．正弦定理2．余弦定理a2＝________________；b2＝________________；c2＝________________.b2＋c2－2bccosAa2＋c2－2accosBa2＋b2－2abcosC1．仰角和俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角．目标视线在水平视线_____时叫仰角，目标视线在水平视线_____时叫俯角，如图所示．上方下方知新盖能2．方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图1所示)．3．方位角的其他表示——方向角(1)正南方向：指从原点O出发的经过目标的射线与正南的方向线重合，即目标在正南的方向线上．依此可类推正北方向、正东方向和正西方向．(2)东南方向：指经过目标的射线是正东和正南的夹角平分线(如图2所示)．课堂互动讲练考点突破测量距离问题测量不可到达的两点间的距离时，若是其中一点可以到达，利用一个三角形即可解决，一般用正弦定理；若是两点均不可到达，则需要用两个三角形才能解决，一般正、余弦定理都要用到．如图，某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°，距离为126nmile，在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°，距离为83nmile，货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在北偏东120°，求A与D间的距离．例1【思路点拨】要求AD的长，在△ABD中，AB＝126，B＝45°，可由正弦定理求解．【解】在△ABD中，∠ADB＝60°，∠DAB＝75°，∴B＝45°.∴AD＝ABsinBsin∠ADB＝126×2232＝24(nmile)．即A与D间的距离为24nmile.【名师点评】测量两个不可到达的点之间的距离问题，一般是把求距离问题转化为求三角形的边长问题．首先是明确题意，根据条件和图形特点寻找可解的三角形，然后利用正弦定理或余弦定理求解．互动探究在本题条件不变的情况下，求灯塔C与D间的距离．解：在△ADC中，由余弦定理得CD2＝AD2＋AC2－2AD·ACcos30°，代入数据，解得CD＝83(nmile)．即灯塔C与D间的距离为83nmile.测量高度问题测量高度是在与地面垂直的竖直平面内构造三角形，依条件结合正弦定理和余弦定理来解．解决测量高度的问题时，常出现仰角与俯角的问题，要清楚它们的区别及联系．测量底部不能到达的建筑物的高度问题，一般是转化为直角三角形模型，但在某些情况下，仍需根据正、余弦定理解决．如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C和D.现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB.例2【思路点拨】求∠CBD→利用正弦定理求BC→在△ABC中求AB【解】在△BCD中，∠BCD＝α，∠BDC＝β，∴∠CBD＝180°－(α＋β)，∴BCsinβ＝ssin[180°－α＋β]，即BCsinβ＝ssinα＋β.∴BC＝sinβsinα＋β·s.在△ABC中，由于∠ABC＝90°，∴ABBC＝tanθ，∴AB＝BC·tanθ＝sinβ·tanθsinα＋β·s.【名师点评】测量高度，一定要抽象出纯粹的数学图形，然后利用正、余弦定理或勾股定理求解．测量角度问题解决此类问题，首先应明确各个角的含义，然后分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，将图形中的已知量与未知量之间的关系转化为三角形的边与角的关系，运用正、余弦定理求解．某货船在索马里海域航行中遭海盗袭击，发出呼叫信号，如图，我海军护航舰在A处获悉后，立即测出该货船在方位角为45°，距离为10海里的C处，并测得货船正沿方位角为105°的方向，以10海里/小时的速度向前行驶，我海军护航舰立即以103海里/小时的速度前去营救，求护航舰的航向和靠近货船所需的时间．例3【思路点拨】根据示意图，明确货船和护航舰大体方向，用时间t把AB、CB表示出来，利用余弦定理求t.【解】设所需时间为t小时，则AB＝103t，CB＝10t，在△ABC中，根据余弦定理，则有AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos120°，可得(103t)2＝102＋(10t)2－2×10×10tcos120°，整理得2t2－t－1＝0，解得t＝1或t＝－12(舍去)．即护航舰需1小时靠近货船．此时AB＝103，BC＝10，在△ABC中，由正弦定理得BCsin∠CAB＝ABsin120°，所以sin∠CAB＝BCsin120°AB＝10×32103＝12，所以∠CAB＝30°，所以护航舰航行的方位角为75°.【名师点评】求角问题常涉及解三角形的知识，解题时应注意画出示意图，分析在△ABC中，∠ACB已知，边AC已知，另两边未知，但它们都是船航行的距离，由于船速已知，所以两边均与时间t有关，据余弦定理，列出关于t的方程，问题得到解决．变式训练某海上养殖基地A，接到气象部门预报，位于基地南偏东60°相距20(3＋1)海里的海面上有一台风中心，影响半径为20海里，正以每小时102海里的速度沿某一方向匀速直线前进，预计台风中心将从基地东北方向刮过且3＋1小时后开始持续影响基地2小时．求台风移动的方向．解：如图所示，设预报时台风中心为B，开始影响基地时台风中心为C，基地刚好不受影响时台风中心为D，则B、C、D在一直线上，且AD＝20、AC＝20.由题意AB＝20(3＋1)，DC＝202，BC＝(3＋1)·102.在△ADC中，∵DC2＝AD2＋AC2，∴∠DAC＝90°，∠ADC＝45°.在△ABC中，由余弦定理得cos∠BAC＝AC2＋AB2－BC22AC·AB＝32.∴∠BAC＝30°，又∵B位于A南偏东60°，60°＋30°＋90°＝180°，∴D位于A的正北方向，又∵∠ADC＝45°，∴台风移动的方向为向量CD→的方向，即北偏西45°方向．1．解与三角形有关的应用题的基本思路和步骤(1)解三角形应用题的基本思路方法感悟(2)解三角形应用题的步骤①准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解应用题中的有关名词和术语；②画出示意图，并将已知条件在图形中标出；③分析与所研究的问题有关的一个或几个三角形，通过合理运用正弦定理和余弦定理正确求解，并作答．2．解三角形应用题常见的情况(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个(或两个以上)三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求出其他三角形中的解．有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程，解方程得出所要求的解．