旋度 散度 梯度

§0-5二阶微分算符格林定理Second-orderDifferenceOperator,Green’sTheorem1、一阶微分运算(First-orderDifferenceCalculation)将算符直接作用于标量场和矢量场，即分别得到梯度、散度和旋度，即这些都叫一阶微分运算。举例：a)设为源点与场之间的距离，r的方向规定为源点指向场点，试分别对场点和源点求r的梯度。AA,,222)()()(zzyyxxrxx第一步：源点固定，r是场点的函数，对场点求梯度用r表示，则有而场点（观察点）源点坐标原点oxxrzreyrexrerzyxrxxxxzzyyxxxr)()(2)()()(2121222同理可得：故得到：)(,)(rzzzrryyyrrrrzzeyyexxerrzzeryyerxxezreyrexrerzyxzyxzyxˆ)()()(1)()()(第二步：场点固定，r是源点的函数，对源点求梯度用表示。而同理可得：rzreyrexrerzyxrxxxxzzyyxxxr)()1()(2)()()(2121222rzzzrryyyr)(,)(所以得到：作业:b)设u是空间坐标x,y,z的函数，证明rrrrrzzeryyerxxezreyrexrerzyxzyxˆ)()()(ududfuf)(?13rrr和求证：这是求复合函数的导数（梯度），按复合函数微分法则，有证毕)()()()()()()()()()(uduudfzueyuexueduudfzuduudfeyuduudfexuduudfezufeyufexufeufzyxzyxzyxc)设求解：而同理可得xxzzeyyexxerzyx)()()(rr和zryrxrrererezeyexerzyxzzyyxxzyx)()(1)(xxxxrx故有.1zryrzy那么这里同理可得故有.3111zryrxrrzyxzryrxrrzyx1)(xxxxrx.1zryrzy.3111zryrxrrzyx由此可见：d)设u是空间坐标x,y,z的函数，证明证：rrduAduuA)(.)()()()()()()()()(证毕duuAduuduuAdzuduudAyuduudAxuduudAzuAyuAxuAuAzyxzyxe)设u是空间坐标x,y,z的函数，证明证：duuAduuA)()(xuduudAzuduudAezuduudAyuduudAeyuAxuAexuAzuAezuAyuAeuAzxyyzxxyzzxyyzx)()()()()()()()()()()(2、二阶微分运算(CalculationofTwo-orderDifference)将算符作用于梯度、散度和旋度，则称为二阶微分运算，设为标量场，为矢量场。.)()()()()()(证毕duuAduduudAduudAduudAzuyuxueeeyuduudAxuduudAezyxzyxxyz)(x,)(xg)(xf并假设的分量具有所需要的阶的连续微商，则不难得到：（1）标量场的梯度必为无旋场（2）矢量场的旋度必为无散场（3）无旋场可表示一个标量场的梯度（4）无散场可表示一个矢量场的旋度fg,和0)(0)(ggg则若,0fgg则若,0（5）标量场的梯度的散度为（6）矢量场的旋度的旋度为3、运算于乘积(CalculationofMultiplicationwith)（1）)()()()(2222222zyxzzyyxxggg2)()(0)(0)(222222xyyxezxxzeyzzyezyxzyxeeezyxzyx（2）0)(g0)(222222yzgxzgxzgzygzxgyxgygxgzxgzgyzgygxgggzyxeeezeyexegxyzxyzxyzxyzzyxzyxzyx（3）)()()()()()()()()()(zeyexezeyexezzeyyexxezeyexezyxzyxzyxzyx（4）（5）ggg)(ggggggggggg)()()()()(ggg)(ggggggggggg)()()()()((6)根据常矢运算法则则有：)()()(fggffg)()()()()(fgfgfgfgfgfg)()()(bacacbcba)()()()()()()(fgfggffggfgffgfffgg故有：(7)根据常矢运算法则：则有fgfggfgffg)()()()()()()()(fggffg)()()()()(fgfgfgfgfgfgcbabcacba)()()(fggfgffgfggfgffgfggffgffggfg)()()()()()()()()()()(（8）因为故有从而得到：fgfggfgffg)()()()()(fgfgfgfggfgfgfgffffggg)()()()()()()()()())(()()(gfgffggfgffgfgfggfgffgfggfgfgffg)()()()()()()()()(4、格林定理(Green’stheorem)由Gauss’stheorem得到:将上式交换位置，得到以上两式相减，得到svvdvdvsd)()(2与svdvsdI)()(2定理svdvsdII)()()(22定理5、常用几个公式设试求：a)而)()()(zzeyyexxexxrzyxrzeryerxerrzyx1111132322221222)()(2)()()(21)()()(1rxxxxzzyyxxzzyyxxxrx同理：b)2333333ˆ)()()(1)(1,)(1rrrrrzzeryyerxxerrzzrzryyryzyx)(4111223xxrrrrr而3rr从而可见：c).41,,0.01,,022rxxrrxxr故此时即表示时当的值故此时即表示时当)0()0(403rrrr0)1()1(33rrrrrrd)0)()()()()()(yxxxyyexzzzxxezyyyzzeyrxrezyxxyxxrzrezryrerrrzyxeeerzxxyzxzyxzyxre).)(为常矢araaeaeaeazzeyyexxezazzeyyexxeyazzeyyexxexazrayraxrarzayaxarazzyyxxzyxzzyxyzyxxzyxzyx)()()()()()()()()()(f).)(为常矢arazreayreaxrearzeyexearzeyexearzeyexearararararararazzzyyyxxxzzyxzyzyxyxzyxxzzyyxxzzyyxx)()()()()(g)aeaeaeazzzeayyyeaxxxeazzyyxxzzyyxx)()()(为常矢kErkE,)sin(00)cos()cos()()cos()sin()(sin)()sin(000000rkEkkrkErkrkErkErkErkEh))