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一、公因式最大公式二、最大公因式的存在性与求法三、互素四、多个多项式的最大公因式提供网站:§1.4最大公因式i)()(),()();dxfxdxgx1.公因式:()()[],fxgxPx、()xPx[],若满足:()(),xgx()()xfx且2.最大公因式:()()[],fxgxPx、()[]dxPx若满足:ii)若,且,则()[]xPx()()xfx()()xgx()().xdx则称为的最大公因式.()dx()()、fxgx则称为的公因式.()()fxgx、()x一、公因式最大公因式§1.4最大公因式说明:是.()fx④,与零多项式0的最大公因式()[]fxPx()fx①的首项系数为1的最大公因式记作:()()、fxgx(())).(fxgx、②若,则的最大公式为零。()=()0fxgx(),()fxgx若不全为零,则(),()fxgx((),())0.fxgx③§1.4最大公因式⑤最大公因式不是唯一的,但首项系数为1的最大公因式是唯一的.c为非零常数.12()c()dxdx=若为12()()dxdx、()()、fxgx的最大公因式,则说明:提供网站:§1.4最大公因式二、最大公因式的存在性与求法若等式成立,则与有相同的公因式,从而.()()()()fxqxgxrx()()、fxgx()()、gxrx(()())(()()),,fxgxgxrx引理:提供网站:§1.4最大公因式定理2对,在中存在一个最大公因式,且可表成的一个组合,即,使.()()[]fxgxPx、[]Px()dx()dx()()、fxgx()()[]uxvxPx、()()()()().dxuxfxvxgx=§1.4最大公因式若有一为0,如,则()()、fxgx()0gx()fx就是一个最大公因式.且()1()0().fxfxgx考虑一般情形:()0,()0,fxgx用除得:()gx()fx11()()()()fxqxgxrx其中或.1(())(())rxgx1()0rx212()()()()gxqxrxrx若,用除,得:1()rx()gx1()0rx证:§1.4最大公因式若,用除,得2()0rx2()rx1()rx1323()()()(),rxqxrxrx如此辗转下去,显然,所得余式的次数不断降低,因此,有限次后,必然有余式为0.设1()0.srx其中或.21(())(())rxrx2()0rx……12(())(())(())……gxrxrx即于是我们有一串等式§1.4最大公因式212()()()()gxqxrxrx1323()()()()rxqxrxrx………………………………i2ii-1i()()()()rxqxrxrxs3s1s2s1()()()()rxqxrxrxs2ss1s()()()()rxqxrxrxs1s1s()()()0rxqxrx11()()()()fxqxgxrx§1.4最大公因式1(()())=(()())fxgxgxrx,,s1s=(()())rxrx,s()()()()().rxuxfxvxgx=从而有12=(()())rxrx,=…s=(()0)rx,再由上面倒数第二个式子开始往回迭代,逐个消去s11(),,()rxrx再并项就得到说明:定理2中用来求最大公因式的方法,通常称为辗转相除法.§1.4最大公因式注意:①定理2中最大公因式()=()()+()()dxuxfxvxgx中的不唯一.()()、uxvx②对于,使,但是未必是的最大公因式.(),()()[]()()[]dxfxgxPxuxvxPx,,,()()()()()=dxuxfxvxgx()dx()(),fxgx§1.4最大公因式如:,则2()=1,()=1fxxgx(()())=1.fxgx、取,有2()=1,()=uxvxx()()+()()=1,uxfxvxgx取,也有()=0,()=1uxvx()()+()()=1,uxfxvxgx取,也有2()=2,()=21uxvxx()()+()()=1.uxfxvxgx成立.[()()g()]()[()+()()]g()=()uxhxxfxvxhxfxxdx事实上,若则对,()hx()()+()()=(),uxfxvxgxdx§1.4最大公因式③若,且()()()()()dxuxfxvxgx=()(),()()dxfxdxgx则为的最公因式.()dx()()、fxgx设为的任一公因式,则()x()()、fxgx()(),()(),xfxxgx证:()(()()()(),xuxfxvxgx从而()().xdx即∴为的最大公因式.()dx()()、fxgx§1.4最大公因式例1432()242,fxxxxx-432()2,gxxxxx-2求,并求使(()())、fxgx(),()uxvx(()())()()()().fxgxuxfxvxgx、§1.4最大公因式432242xxxx-43222xxxx-()fx()gx43222xxxx-11()qx32xx1()rx1x422xx3222xxx32xx22x2()rx2()qxx3()qx32xx02((),())2fxgxx-22(1)()(2)().xxfxxgx解:且由112()()(),()(1)()()fxgxrxgxxrxrx得§1.4最大公因式例2.设432()343fxxxxx32()31023gxxxx求,并求使(()())、fxgx(),()uxvx(()())()()()().fxgxuxfxvxgx、§1.4最大公因式因式,即就可以),这是因为和具有完全相同的()fx()cfx若仅求,为了避免辗转相除时出现(()())、fxgx注1:分数运算,可用一个数乘以除式或被除式(从一开始1((),())((),())fxgxcfxgx212((),())((),()),fxcgxcfxcgx为非零常数.12,cc§1.4最大公因式但是,在不同数域内公因子可能有变化。注2:最大公因式的存在性不因数域扩大而改变,24()(1)(1),()(1)(2)fxxxgxxx例如§1.4最大公因式(),()[],fxgxPx则称为互素的(或互质的).(),()fxgx1.定义:三、互素((),())1,fxgx若互素()(),fxgx((),())1fxgx(),()fxgx除去零次多项式外无说明:由定义,其它公因式.§1.4最大公因式定理3互素,使(),()[],fxgxPx(),()fxgx()()()()1uxfxvxgx(),()[]uxvxPx2.互素的判定与性质证:显然.设为的任一公因式,则()(),()xfxgx()(),()(),xfxxgx从而()1,x又1(),x(),0.xcc故((),())1.fxgx§1.4最大公因式定理4若,且,则(),()1fxgx()|()()fxgxhx()|().fxhx(),()1,fxgx(),()[],uxvxPx证:使()()()()1uxfxvxgx()()()()()()()uxfxhxvxgxhxhx于是有又()|()(),fxgxhx()|()()fxfxhx()|().fxhx§1.4最大公因式1()|()fxgx推论若,且12()|()()|(),fxgxfxgx又2()|(),fxgx211()|()().fxfxhx12((),())1fxfx12()()|().fxfxgx,则证:11()()(),gxfxhx,使1()hx于是,使2()hx122()()(),hxfxhx12()()|()fxfxgx12((),())1,fxfx而21()|()fxhx由定理4有122()()()()gxfxfxhx从而§1.4最大公因式证明:若,(),()1(),()1,fxgx=fxhx(),()()1.fxgxhx则练习:§1.4最大公因式12(),(),,()[](2)sfxfxfxPxs若满足:()[]dxPx定义i)()(),1,2,,…idxfxis则称为的最大公因式.()dx12(),(),,()sfxfxfx()[],xPxii)()(),1,2,,…ixfxis若()().xdx则四、多个多项式的最大公因式§1.4最大公因式注:12(),(),,()sfxfxfx表示首1最大公因式.1211,.sssfffufuf,=②,使12,[]suuuPx12121,,,,,sssfffffff=,③11,,,,,,11kksffffks=①的最大公因式一定存在.12(),(),,()sfxfxfx111.ssufuf④互素使12,,,sfff12,,,[],suuuPx§1.4最大公因式作业P455.1)6.1)9.13.14.§1.4最大公因式a0121nnaaaaa0121nnabababab+)00121nbabbbr附1:综合除法的商式101()nnqxbxb和余式r可按下列计算格式求得:这里,若1(),nn-10nfxax+ax++a则xa()fx除110221,,,baabbaab1.nnraab112,nnnbaab§1.4最大公因式去除①求一次多项式xafx的商式及余式.②把fx表成xa的方幂和,即表成2012()()()fxccxacxa的形式.说明:综合除法一般用于提供网站:§1.4最大公因式32,12fxxxxgxxi例1.求除的商式和余式gxfx解:由+)12i1-1-1012i42i98i98i52i2i1有2()()25298.fxgxxixii§1.4最大公因式141解:∵100000例2.把5()fxx表成1x的方幂和.111111111111=0c1232345=1c11113613614141110=2c5=4c10=3c55432(1)5(1)10(1)10(1)xxxxx5(1)1x§1.4最大公因式附2:最小公倍式设,若(),(),()[]mxfxgxPxi)()|()()|();fxmxgxmx,ii)对的任一公倍式,都有(),()fxgx()x()|().mxx则称为的最小公倍式.()mx(),()fxgx(),().fxgx注:的首项系数为1的最小公倍式记作:()()、fxgx
本文标题:最大公因式(高等代数)
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