科斯定理的数学阐述及思考2

科斯定理的数学证明—兼谈科学研究的方法主讲人：叶泽2009年5月19日•科斯定理的数学证明•产权界定对收入分配的影响•双方谈判力量对经济产出的影响1、案例：农夫与牛•科斯在《社会成本问题》一文中设想了一个“走失的牛损坏邻近土地谷物生产”的案例。•假定农夫和养牛者在毗邻的土地经营,土地之间没有栅栏。牛群规模的扩大会增加农夫的谷物损失,即养牛者的生产活动对于农夫的生产活动存在外部影响。•2种产权界定情况：即养牛者对损害负有责任的定价制度和养牛者对损害不负责任的定价制度,并假设这2种情况下交易费用为零。•在这些前提下，科斯通过分析说明了在两种产权界定情况下，牛群的规模都是一样的。这就得出了科斯第一定理。2、科斯第一定理•科斯第一定理：如果定价制度的运行毫无成本，最终的结果（产值最大化）是不受法律状况影响的。•科斯第一定理的几种不同的表述：a.法定权利的最初分配从效率角度看是无关紧要的,只要交换的交易成本为零。b.只要财产权是明确的,并且其交易成本为零或者很小,则无论在开始时将财产权赋予谁,市场均衡的最终结果都是有效率的。c.在完全竞争条件下，私人成本等于社会成本。3、科斯第一定理的数学证明•Q1、Q2分别表示谷物的产出量、牛的产量;•C1(Q1,Q2)：农夫的成本函数,它包含了养牛者的变量Q2,说明存在生产的外部性即牛群规模扩大会损害谷物的事实;•C2(Q2)：养牛者的成本函数;•P1、P2：分别表示谷物和牛的价格。•农夫和养牛者的利润函数分别为：3.1养牛者对损害负有责任的产权界定•令线性齐次函数q（Q2)表示牛群规模在（Q2）时相应的损害价值。•农夫和养牛者面临的利润函数分别为:•农夫和养牛者分别追求自身利润最大化,其求解方程为:（1）•一阶条件为：0),(1211111QQQCPQ0)(q),(22221121QQQQQCQ0)(q)(22222222QQQQCPQ•满足二阶条件，整理得：•（2）•（3）•(2)式反映了农夫种植谷物的边际成本等于边际收益,符合生产者利润最大化原则。(3)式也反映了这一原则，不过（3）式等号右边的边际成本包含两部分，即养牛者给农夫带来的成本，以及养牛者自身的边际成本。•可见，在养牛者对损害负有责任的情况下，他只能将牛群规模确定在其边际收益等于边际内外部成本之和的条件下，才能使产值最大化。3.2养牛者对损害不负责任的产权界定•在这种情况下，养牛者拥有牛群损害谷物的权利，农夫想要避免损害，就必须向养牛者支付赔偿。•用线性齐次函数r（Q2）表示养牛者把牛群规模维持在Q2时从农夫那里得到的赔偿。•此种情况下,农夫和养牛者面临的利润函数为：•农夫和养牛者分别追求自身利润最大化,其求解方程为:•（4）式的一阶条件为：•满足二阶条件,整理得••结论：比较（5）式和（6）式与(2)式和（3）式可知，二者完全相同，说明了在对损害负有责任和对损害不负有责任的产权界定下，产值最大化的资源配置结果完全相同：产出（Q1*，Q2*)4、科斯第二定理的证明•在科斯第一定理的基础上，科斯引入了正交易费用假设进一步分析了更现实的情况，得出：在市场交易费用为正的情况下，“合法权利的初始界定会对经济制度运行的效率产生影响。”•仍以“农夫与养牛者”的案例为基础，设t（Q2)是交易费用函数，假定交易费用由赔偿者承担。4.1对损害负有责任的产权界定•在这种情况下，养牛者不仅要赔偿损害，而且还要承担交易费用t2（Q2)。所以，农夫和养牛者的利润函数分别为：•此时二者通过市场交易的结果可表示为求解如下数学模型：•（10）式的一阶条件为：•二阶条件总是满足的，整理后得：4.2对损害不负责任的产权界定•在这种情况下，由农夫进行赔偿并承担交易费用t1（Q2)。这时农夫和养牛者的利润函数变为：•二者通过市场交易的结果可表示为求解如下数学模型：•（13）式的一阶条件为：•二阶条件总是满足的，整理后得：•结果分析：在交易费用为正的情况下，两种产权界定方式所产生的资源最优配置的条件已不再相同，主要体现在（12）式和（15）式的不同上。由于农夫与养牛者之间信息的不对等不完全，他们的交易费用的分布情况也是不同的，t1（Q2)不等于t2（Q2)，两种产权界定下的资源配置结果是不同的。5、产权界定对利润分配的影响•不同的产权界定极大地影响了经济个体之间的利润分配，比较养牛者在2种不同产权界定下的收入(正常利润)函数。•无交易费用时：（1）对损害负有责任时养牛者的利润：（2）对损害不负责任时养牛者的利润：*)(*)(**2222221QqQCQP*)(*)(**2222222QrQCQP•（3）•结论：虽然均衡产量没有变化，但是利润却发生了变化。*)(*)(**222122QqQr有交易费用的情况•（1）对损害负有责任时养牛者利润为：•（2）对损害不负有责任时养牛者利润为：•（3）•结论：有交易费用时，不同产权界定对利润分配的影响更大。*)(*)(*)(**222222221QtQqQCQP*)(*)(**2222222QrQCQP*)(*)(*)(**22222122QtQqQr6、双方谈判力量对均衡产出的影响•分析在养牛者对损害负有责任的产权界定的情况下。•养牛者的赔偿函数由双方事前谈判商定，在此引进一个变动系数,赔偿函数为×D(△Q1),越大，说明农夫的谈判能力越强。在损失量不变的条件下获得的赔偿额愈多,而养牛者的谈判能力愈弱。•建立模型如下：•上式的一阶条件为：)()()(),(2222222211111,max21QqQCQPQqQQCQPQQ0),(1211111QQQCPQ0)(),(2222121QQqQQQCQ0)()(22222222QQqQQCPQ•对上式整理得：•对比上面两式可知，最后的产出完全一致，系数的变动对均衡产出没有影响。即谈判力量对最优产出没有影响。221222212111),()(*)*,(QQQQQCPQQQCP