储油罐表示

2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：参赛队员(打印并签名)：1.2.3.指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：日期：年月日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：1储油罐的变位识别与罐容表标定摘要本文主要运用积分微元方法，对小椭圆型储油罐和实际储油罐变位后对罐容表的影响建立了数学模型，给出了变位后罐容表标定值并与实际数据做了比较。针对问题一，先对附件1中的数据进行了详细的分析，观察油位高度的变化规律，并对特殊数据做出分析。然后，在无变位时，根据微元法，得到油高与油量的关系为：bhbdyybbaLV221，通过与附件1中数据比较，得到最大误差为3.5538%，在纵向变位时，分四种情况，根据微元法分别建立模型（见正文(4)-(6)式），其中一个模型为：dyybbaVbhb22tan4.032*45.2，根据这四种情况，当探针指示为0m时，罐内已有1.48L的油。当探针指示1.2m时，油罐储油量为4105.5L。模型计算得到的无变位进油时的罐容表及模型相对误差如下表所示（结果详见正文中表1－表4）：罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值见下表。（结果详见正文中表5）：油位高度(mm)储油量(L)油位高度(mm)储油量(L)油位高度(mm)储油量(L)04.2150157.818352711803975.698432107.9160180.259096111903995.548524﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍140136.911503910.33153812004105.556545针对问题二，为了方便研究罐内储油量与油位高度及变位参数之间的关系，根据微元法，分别建立了油罐无变位、纵向变位、横向变位、纵向变位角度同时横向变位四个数学模型，利用试探法得到最优解8.3，2.4。罐体变位后油位高度间隔10cm的罐容表标定值如下表所示（结果详见正文中表7）：油位高度(mm)储油量(L)油位高度(mm)储油量(L)油位高度(mm)储油量(L)0428.9100021329.3200049215.31001568.5110024077.2210051809.3﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍90018639.7190046543.7300070568.9通过对附件2中的实际检测数据检验模型，可以得到模型的最大误差为9%。关键词：积分微元；相对误差；试探法；储油罐流水号模型结果实验数据相对误差流水号模型结果实际数据相对误差11322.93120.0349363113121823.50.03490912374.63620.0348073213621875.20.034875﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍693589.93468.910.03489884107.33968.910.0348692一、问题重述通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。典型的储油罐，其主体为圆柱体，两端为球冠体。罐体可能发生纵向倾斜变位以及横向偏转变位。请用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。（1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为=4.10的纵向变位两种情况做了实验。请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。（2）对于实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度和横向偏转角度）之间的一般关系。请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据，根据所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。进一步利用实际检测数据来分析检验模型的正确性与方法的可靠性。3二、模型假设与符号说明2.1模型假设1．注油管，出油管及油位探针的体积对于实际油量容积的大小的影响忽略不计；2．油位高度是油面平稳后的测量值；3．管壁厚度忽略不计；4．储油罐可能左端上翘或下翘，这里只考虑油罐左端下翘；5．同时发生纵向变位，横向变位时两者之间相互独立。2.2符号说明h油位高度L小椭圆型储油罐长度l油面长度1进油时，模型计算的储油量与实验数据的相对误差2出油时，模型计算的储油量与实验数据的相对误差R实际储油罐中，两端球罐体的半径纵向变位倾斜角度横向变位偏转角度V小椭圆型储油罐容积1V小椭圆型储油罐无变位情况下，油罐中油量容积kV小椭圆型储油罐纵向变位，第k种液面情况下，油罐中油量容积，32，ka小椭圆型储油罐平头（椭圆面）的长轴b小椭圆型储油罐平头（椭圆面）的短轴1V实际储油罐无变位情况下，油罐中油量容积nV小椭圆型储油罐纵向变位，第n种液面情况下，油罐中油量容积，32，n4三、模型的初步分析3.1问题1中实验数据的分析在问题一中分析了卧式小椭圆形储油罐（两端平头的椭圆柱体），当油罐卧式放置时，根据轴对称性，油罐的上部和下部体积变化较大，而在中间部分变化较缓。由此可知，当在进油与出油速度一定的情况下，油位高度的变化应该呈快，慢，快的变化趋势，下面通过描述油位高度差的变化趋势分析实验数据的特点，程序见附录Model1。1．罐体无变位进油情况，高度差变化趋势及储油量随高度变化的曲线如下图：0102030405060708005101520253035404505001000150020002500300035004000020040060080010001200图1高度差变化曲线1图2储油量随高度变化曲线1从图2中可以观察出曲线单调递增且两端的曲线要比中间部分的陡，为进一步分析数据变化可以通过高度差的变化来分析。因为油罐在初始状态时有262L油，所以在刚开始进油时，液面已经接近油罐中间部分，而在最后的实验数据部分，液面到达油罐顶部体积变化较大所以造成高度差变化较快的趋势。每个流水号的进油速度大致是每分钟进50L油，从图中很容易观察出，有4个点对应的高度差非常小，在表中找到相应数据，造成这种变化的原因是第52，54，61，72流水号是一分钟内分别进油3.83L，1.23L，2.05L，0.08L，远小于50L，所以高度差非常小。2．罐体无变位出油情况，高度差变化趋势如下图：01020304050607080-28-26-24-22-20-18-16-14-12-10图3高度差变化曲线2很明显在刚开始出油时，高度差变化较快，因为油罐在刚开始时已接近油罐容积，所以在以大致相同速度出油时，刚开始探针示数变化较快，而当出油达到一定量时，油罐中的油已经达不到出油口，所以不能再出油，所以在出油末期高度差不会出现特别陡5的情况并且整个出油过程中探针都会有示数。3．罐体纵向变位1.4进油的情况，高度差变化趋势及储油量随高度变化如下图：0102030405060024681012141605001000150020002500300035004000020040060080010001200图4高度差变化趋势3图5储油量随高度变化曲线2从图5中可以观察出曲线单调递增且两端的要比中间部分的陡，但图像显示并不明显，为进一步分析数据变化可以通过高度差的变化来分析。在罐体纵向变位的情况下，液面可能出现四种情况，而且只有当储油量达到一定体积时油位探针才会出现示数，这就会造成油罐中有油而探针无示数的情况。因为油罐在初始状态时有215L油，足可以没过探针使探针有示数，虽然罐体变位使得高度差变化不均匀，但大体上变化趋势仍满足快，慢，快，并且在这种情况下油罐不会满，因为在油罐满之前，油位探针示数就会显示油罐已满而停止进油。4．罐体纵向变位o1.4出油的情况，高度差变化趋势如下图：05101520253035404550-20-18-16-14-12-10-8图6高度差变化曲线4罐体发生纵向变位，若是出油端上偏，油罐就会出现“提前”不能出油的情况，这样会造成油罐中剩油量要比预想得多的状态下而开始进油，若是探位针一端偏离地面，油罐就会出现出油“过多”的情况，工作人员从探位针读到油罐内储油量的状况，这样会造成进油比应该的进油量少，所以一旦出现罐体变位，应该及时对罐容表进行重新标定。3.1问题2中实验数据的分析在题目所给附件2中，给出了每个流水号出油量，油面高度以及出油量的对应关系，在检验数据合理性时，发现相邻两次采集数据时，油量容积之差与出油量相差较大，，例如：流水号201时油量容积为60448.88L，流水号202时为60311.43L，则出水量应该等于137.45L，而实际出油量为149.09L。说明，在标定油量容积时可能存在较大误差，6所以在计算参数和时，不应该用油量容积和油面高度的关系计算，而应该通过出油量与油量容积之差的对应关系求解，这样由附件中所给数据可以求出150组和的值，最后用最小二乘的思想求得和的最优解。四、模型的建立与求解3.1问题一模型的建立与求解3.1.1模型的建立针对罐体无变位及纵向变位（倾斜角为）两种情况，采用二重积分[1]，得到油位高度及油量的关系，计算比较罐体变位后对罐容表的影响。在纵向变位的模型中当参数=0时，即为罐体无变位的情况，然后利用题目中所给实验数据对模型进行验证。1．罐体无变位情况：图7小椭圆油罐截面示意图如图所示，截面为长轴为a，短径为b的椭圆，形如图1所示，h为液面高度，因为罐体无变位，在同一油面高度下，油面截面均为如图示椭圆。图中所示椭圆方程为：12222byax根据不定积分可求出高度为H时，油罐截面面积为：bhbdyybbaS222设油罐长度为L，所以油罐中储油量为：bhbdyybbaLLSV221﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍(1)计算(1)式积分得：]21arcsin)()[(22221bbbhbbhbbhLbaV﹍﹍﹍﹍﹍﹍(2)式(2)即为储油量与油位高度的关系，下面计算罐体纵向变位时二者的关系。2．罐体纵向变位情况以沿油罐方向（即与水平成角的方向）为y方向，以椭圆长轴方向为z轴方向，以短径方向为x轴方向，建立三维直角坐标系。考虑yoz平面，当液面高度为y时，该点所对应的z轴坐标可以用相似三角形的知识求得：-bx0Shyba7zhhyhtan4.0tan所以当液面高度为y时，该点所对应的z轴坐标为：hzytan)4.0(﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍(3)当罐体发生纵向变位时，液面可能会发生五种情况：（1）设油面长度为l，45.24.0l时：图8罐体纵向变位情况1在这种情