基本不等式及应用

第1页共7页基本不等式及应用一、考纲要求：1.了解基本不等式的证明过程．2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．3．了解证明不等式的基本方法——综合法．二、基本不等式基本不等式不等式成立的条件等号成立的条件ab≤a＋b2a0，b0a＝b三、常用的几个重要不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)(2)ab≤(a＋b2)2(a，b∈R)(3)a2＋b22≥(a＋b2)2(a，b∈R)(4)ba＋ab≥2(a，b同号且不为零)上述四个不等式等号成立的条件都是a＝b.四、算术平均数与几何平均数设a0，b0，则a，b的算术平均数为a＋b2，几何平均数为ab，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．四个“平均数”的大小关系；a，b∈R+：当且仅当a＝b时取等号.五、利用基本不等式求最值：设x，y都是正数．(1)如果积xy是定值P，那么当x＝y时和x＋y有最小值2P.(2)如果和x＋y是定值S，那么当x＝y时积xy有最大值14S2.强调：1、在使用“和为常数，积有最大值”和“积为常数，和有最小值”这两个结论时，应把握三点：“一正、二定、三相等、四最值”.当条件不完全具备时，应创造条件.正：两项必须都是正数；定：求两项和的最小值，它们的积应为定值；求两项积的最大值，它们的和应为定值。等：等号成立的条件必须存在.2、当利用基本不等式求最大(小)值等号取不到时，如何处理？（若最值取不到可考虑函数的单调性．）想一想:错在哪里？2222abab2ababab１．已知函数，求函数的最小值和此时x的取值．xxxf1)(１．已知函数，求函数的最小值和此时x的取值．xxxf1)(11:()22112.fxxxxxxxx解当且仅当即时函数取到最小值２．已知函数，求函数的最小值．)2(23)(xxxxf２．已知函数，求函数的最小值．)2(23)(xxxxf33()22223326fxxxxxxxxx解：当且仅当即时，函数的最小值是。23x大家把代入看一看，会有什么发现？用什么方法求该函数的最小值？第2页共7页3、已知两正数x，y满足x＋y＝1，则z＝(x＋1x)(y＋1y)的最小值为________．解一：因为对a0，恒有a＋1a≥2，从而z＝(x＋1x)(y＋1y)≥4，所以z的最小值是4.解二：z＝2＋x2y2－2xyxy＝(2xy＋xy)－2≥22xy·xy－2＝2(2－1)，所以z的最小值是2(2－1)．【错因分析】错解一和错解二的错误原因是等号成立的条件不具备，因此使用基本不等式一定要验证等号成立的条件，只有等号成立时，所求出的最值才是正确的．【正确解答】z＝(x＋1x)(y＋1y)＝xy＋1xy＋yx＋xy＝xy＋1xy＋x＋y2－2xyxy＝2xy＋xy－2，令t＝xy，则0t＝xy≤(x＋y2)2＝14，由f(t)＝t＋2t在(0，14]上单调递减，故当t＝14时，f(t)＝t＋2t有最小值334，所以当x＝y＝12时z有最小值254.误区警示：(1)在利用基本不等式求最值(值域)时，过多地关注形式上的满足，极容易忽视符号和等号成立条件的满足，这是造成解题失误的重要原因．如函数y＝1＋2x＋3x(x0)有最大值1－26而不是有最小值1＋26.(2)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否都能保证等号成立，并且要注意取等号条件的一致性，否则就会出错．课堂纠错补练：若0x≤π2，则f(x)＝sinx＋4sinx的最小值为________．解析：令sinx＝t,0t≤π2时，t∈(0,1]，此时y＝t＋4t在(0,1]单调递减，∴t＝1时ymin＝5.答案：5考点1利用基本不等式证明不等式1.利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，其实质就是从已知的不等式入手，借助不等式性质和基本不等式，经过逐步的逻辑推理，最后推得所证问题，其特征是“由因导果”．2．证明不等式时要注意灵活变形，多次利用基本不等式时，注意每次等号是否都成立．同时也要注意应用基本不等式的变形形式．例1：（1）已知cba,,均为正数，求证：)(222222cbaabcaccbba（2）已知cba,,为不全相等的正数，求证：abcacaccbbcbaab6)()()(第3页共7页（3）已知a0，b0，a＋b＝1，求证：1a＋1b≥4.【证明】(1)∵a0，b0，a＋b＝1，∴1a＋1b＝a＋ba＋a＋bb＝2＋ba＋ab≥2＋2ba·ab＝4(当且仅当a＝b＝12时等号成立)．∴1a＋1b≥4.∴原不等式成立．练习：已知a、b、c为正实数，且a＋b＋c＝1，求证：(1a－1)(1b－1)(1c－1)≥8.证明：∵a、b、c均为正实数，且a＋b＋c＝1，∴(1a－1)(1b－1)(1c－1)＝1－a1－b1－cabc＝b＋ca＋ca＋babc≥2bc·2ac·2ababc＝8.当且仅当a＝b＝c＝13时取等号．考点2利用基本不等式求最值(1)合理拆分项或配凑因式是常用的技巧，而拆与凑的目标在于使等号成立，且每项为正值，必要时需出现积为定值或和为定值．(2)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，而且也是检验转换是否有误的一种方法．例4：(1)设0x2，求函数)2(2xxy的最大值．【分析】由和或积为定值从而利用基本不等式求最值，然后确定取得最值的条件【解】(1)∵0x2，∴2－x0，∴y＝x4－2x＝2·x2－x≤2·x＋2－x2＝2，当且仅当x＝2－x即x＝1时取等号，∴当x＝1时，函数y＝x4－2x的最大值是2.(2)x0，求f(x)＝12x＋3x的最小值；（3）已知:x0,y0.且2x+5y=20,求xy的最大值.（4）已知y4a－2＋a，求y的取值范围．显然a≠2，当a2时，a－20，∴4a－2＋a＝4a－2＋(a－2)＋2≥24a－2a－2＋2＝6，第4页共7页当且仅当4a－2＝a－2，即a＝4时取等号，当a2时，a－20，∴4a－2＋a＝4a－2＋(a－2)＋2＝－[42－a＋(2－a)]＋2≤－242－a2－a＋2＝－2，当且仅当42－a＝2－a，即a＝0时取等号，∴4a－2＋a的取值范围是(－∞，－2]∪[6，＋∞)．(5)已知x0，y0，且x＋y＝1，求3x＋4y的最小值．∵x0，y0，且x＋y＝1，∴3x＋4y＝(3x＋4y)(x＋y)＝7＋3yx＋4xy≥7＋23yx·4xy＝7＋43，当且仅当3yx＝4xy，即2x＝3y时等号成立，∴3x＋4y的最小值为7＋43.练习：求下列各题的最值．(1)已知x0，y0，lgx＋lgy＝1，求z＝2x＋5y的最小值；解：(1)由x0，y0，lgx＋lgy＝1，可得xy＝10.则2x＋5y＝2y＋5x10≥210xy10＝2.∴zmin＝2.当且仅当2y＝5x，即x＝2，y＝5时等号成立．(2)x0，求f(x)＝12x＋3x的最大值；∵x0，∴f(x)＝12x＋3x≥212x·3x＝12，等号成立的条件是12x＝3x，即x＝2，∴f(x)的最小值是12.(3)x3，求f(x)＝4x－3＋x的最大值．∵x3，∴x－30，∴3－x0，∴f(x)＝4x－3＋x＝4x－3＋(x－3)＋3＝－[43－x＋(3－x)]＋3≤－243－x3－x＋3＝－1，第5页共7页当且仅当43－x＝3－x，即x＝1时，等号成立．故f(x)的最大值为－1.（4）14,0,0baba，求ab的最大值。考点3利用基本不等式求最值的解题技巧1.代换：化复杂为简单，易于拼凑成定值形式。2．拆、拼、凑，目的只有一个，出现定值．例3：（1）已知Rba,,abba3，求ab的最小值。（2）已知)10(122xxxy，求y的最大值。（3）已知Rba,，1222ba，求21ba的最大值。（4）求函数xxy2512的最大值。（5）设abc0，求2a2＋1ab＋1aa－b－10ac＋25c2的最小值。A．2B．4C．25D．5【分析】通过拆、拼、凑创造条件，利用基本不等式求最值，但要注意等号成立时的条件．【解析】原式＝(a2－10ac＋25c2)＋1ab＋ab＋1aa－b＋a(a－b)＋a2－ab－a(a－b)＝(a－5c)2＋1ab＋ab＋1aa－b＋a(a－b)≥0＋21ab·ab＋21aa－b·aa－b＝4，当且仅当ab＝1aa－b1a＝5c，即a＝2，b＝22，c＝25时，等号成立．【答案】B练习：（1）(2011年浙江)设x，y为实数，若4x2＋y2＋xy＝1，则2x＋y的最大值是________．解析：4x2＋y2＋xy＝1，∴4x2＋4xy＋y2－3xy＝1∴(2x＋y)2－1＝3xy＝32·2x·y≤32·(2x＋y2)2∵(2x＋y)2－1≤38(2x＋y)2∴(2x＋y)2≤85第6页共7页即－2105≤2x＋y≤2105当且仅当2x＝y时取等号，∴(2x＋y)最大值＝2510.（2）已知45x，求54124xxy的最大值。（3）已知0yx，1xy，求yxyx22的最小值及相应的yx,的值。考点4基本不等式的实际应用应用基本不等式解决实际问题的步骤是：(1)仔细阅读题目，透彻理解题意；(2)分析实际问题中的数量关系，引入未知数，并用它表示其他的变量，把要求最值的变量设为函数；(3)应用基本不等式求出函数的最值；(4)还原实际问题，作出解答．例4围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示．已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元)．(1)将y表示为x的函数；(2)试确定x使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．【分析】(1)首先明确总费用y＝旧墙维修费＋建新墙费，其次，列出y与x的函数关系式；(2)利用基本不等式求最值，最后确定取得最值的条件，作出问题结论．【解】(1)如图，设矩形的另一边长为am.则y＝45x＋180(x－2)＋180×2a＝225x＋360a－360.由已知xa＝360，得a＝360x，所以y＝225x＋3602x－360(x2)．(2)∵x2，∴225x＋3602x≥2225×3602＝10800.∴y＝225x＋3602x－360≥10440.当且仅当225x＝3602x时，等号成立．即当x＝24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元．方法归纳：(1)利用基本不等式解决实际问题时，应先仔细阅读题目信息，理解题意，明确其中的数量关系，并引入变量，依题意列出相应的函数关系式，然后用基本不等式求解．(2)在求所列函数的最值时，若用基本不等式时，等号取不到，可利用函数单调性求解．练习：1、有一座大桥既是交通拥挤地段，又是事故多发地段，为了保证安全，交通部门规定：大桥上的车距d(m)第7页共7页与车速v(km/h)和车长l(m)的关系满足：d＝kv2l＋12l(k为正常数)，假定车身长都为4m，当车速为60km/h时，车距为2.66个车身长．(1)写出车距d关于车速v的函数关系式；(2)应规定怎样的车速，才能使大桥上每小时通过的车辆最多？解：(1)∵当v＝60km/h时，d＝2.66l，∴k＝2.66l－12l602l＝2.16602＝0.0006，∴d＝0.0024v2＋2.(2)设每小时通过的车辆为Q，则Q＝1000vd＋4，即Q＝1000v0.0024v2＋6＝10000.0024v＋6v.∵0.0024v＋6v≥20.0024v·6v＝0.24，