创新方案高考数学一轮复习第四章第三节平面向量的数量积及平面向量的应用突破热点题型文

第三节平面向量的数量积及平面向量的应用考点一平面向量数量积的概念及运算[例1](1)(2013·湖北高考)已知点A(－1,1)、B(1,2)、C(－2，－1)、D(3,4)，则向量AB在CD方向上的投影为()A.322B.3152C．－322D．－3152(2)如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若AB·AF＝2，则AE·BF的值是________．[自主解答](1)∵A(－1,1)，B(1，2)，C(－2，－1)，D(3,4)，∴AB＝(2,1)，CD＝(5,5)，因此cos〈AB，CD〉＝ABCDABCD＝31010，∴向量AB在CD方向上的投影为|AB|·cos〈AB，CD〉＝5×31010＝322.(2)以A为坐标原点，AB，AD所在的直线分别为x，y轴建立直角坐标系，则B(2，0)，E(2，1)，D(0,2)，C(2，2)．设F(x，2)(0≤x≤2)，由AB·AF＝2⇒2x＝2⇒x＝1，所以F(1,2)，AE·BF＝(2，1)·(1－2，2)＝2.[答案](1)A(2)2【互动探究】在本例(2)中，若四边形ABCD是边长为1的正方形，点E是AB上的动点，求DE·CB的值及DE·DC的最大值．解：以A点为原点，AB边所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，则正方形各顶点坐标分别为A(0,0)、B(1,0)、C(1,1)、D(0,1)，设E(a，0)，0≤a≤1.DE·CB＝(a，－1)·(0，－1)＝a×0＋(－1)×(－1)＝1.DE·DC＝(a，－1)·(1,0)＝a＋(－1)×0＝a≤1，故DE·DC的最大值为1.【方法规律】平面向量数量积的类型及求法(1)平面向量数量积有两种计算公式：一是夹角公式a·b＝|a||b|cosθ；二是坐标公式a·b＝x1x2＋y1y2.(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简．1．若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，满足条件(8a－b)·c＝30，则x＝________.解析：∵a＝(1,1)，b＝(2,5)，∴8a－b＝(8,8)－(2,5)＝(6,3)．又c＝(3，x)，∴(8a－b)·c＝18＋3x＝30，∴x＝4.答案：42．已知e1，e2是夹角为2π3的两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2，若a·b＝0，则实数k的值为________．解析：∵e1，e2的模为1，且其夹角θ＝2π3.∴a·b＝(e1－2e2)·(ke1＋e2)＝ke21＋e1·e2－2ke1·e2－2e22＝k＋(1－2k)cos2π3－2＝2k－52.又∵a·b＝0，∴2k－52＝0，即k＝54.答案：54高频考点考点二平面向量的夹角与模的问题1．平面向量的夹角与模的问题是高考中的常考内容，题型多为选择题、填空题，难度适中，属中档题．2．高考对平面向量的夹角与模的考查常有以下几个命题角度：(1)求两向量的夹角；(2)两向量垂直的应用；(3)已知数量积求模；(4)知模求模．[例2](1)(2013·湖南高考)已知a，b是单位向量，a·b＝0.若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的最大值为()A.2－1B.2C.2＋1D.2＋2(2)(2013·安徽高考)若非零向量a，b满足|a|＝3|b|＝|a＋2b|，则a与b夹角的余弦值为________．(3)(2013·山东高考)在平面直角坐标系xOy中，已知OA＝(－1，t)，OB＝(2,2)．若∠ABO＝90°，则实数t的值为________．(4)(2013·天津高考)在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若AC·BE＝1,则AB的长为________．[自主解答](1)建立如图所示的直角坐标系，由题意知a⊥b，且a与b是单位向量，∴可设OA＝a＝(1,0)，OB＝b＝(0,1)，OC＝c＝(x，y)．∴c－a－b＝(x－1，y－1)，∵|c－a－b|＝1，∴(x－1)2＋(y－1)2＝1，即点C(x，y)的轨迹是以M(1,1)为圆心，1为半径的圆．而|c|＝x2＋y2，∴|c|的最大值为|OM|＋1，即|c|max＝2＋1.(2)由|a|＝|a＋2b|，两边平方，得|a|2＝|a＋2b|2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b，所以a·b＝－|b|2.又|a|＝3|b|，所以cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝－|b|23|b|2＝－13.(3)AB＝AO＋OB＝(1，－t)＋(2,2)＝(3,2－t)．∵∠ABO＝90°，∴AB·OB＝0，即2×3＋2·(2－t)＝0，∴t＝5.(4)法一：由题意可知，AC＝AB＋AD，BE＝－12AB＋AD.因为AC·BE＝1，所以(AB＋AD)·12ABAD＝1，即AD2＋12AB·AD－12AB2＝1.因为|AD|＝1，∠BAD＝60°，所以|AB|＝12，即AB的长为12.法二：以A为原点，AB为x轴建立如图所示的直角坐标系，过D作DM⊥AB于点M.由AD＝1，∠BAD＝60°，可知AM＝12，DM＝32.设|AB|＝m(m0)，则B(m,0)，Cm＋12，32，D12，32.因为E是CD的中点，所以Em2＋12，32.所以BE＝12－12m，32，AC＝m＋12，32.由AC·BE＝1，可得m＋1212－12m＋34＝1，即2m2－m＝0，所以m＝0(舍去)或12.故AB的长为12.[答案](1)C(2)－13(3)5(4)12平面向量的夹角与模问题的常见类型及解题策略(1)求两向量的夹角．cosθ＝a·b|a|·|b|，要注意θ∈[0，π]．(2)两向量垂直的应用．两非零向量垂直的充要条件是：a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|.(3)求向量的模．利用数量积求解长度问题的处理方法有：①a2＝a·a＝|a|2或|a|＝a·a.②|a±b|＝a±b2＝a2±2a·b＋b2.③若a＝(x，y)，则|a|＝x2＋y2.1．若a＝(1,2)，b＝(1，－1)，则2a＋b与a－b的夹角等于()A．－π4B.π6C.π4D.3π4解析：选C2a＋b＝2(1,2)＋(1，－1)＝(3,3)，a－b＝(1,2)－(1，－1)＝(0,3)，(2a＋b)·(a－b)＝9，|2a＋b|＝32，|a－b|＝3.设所求两向量夹角为α，则cosα＝932×3＝22，又α∈[0，π]，故α＝π4.2．已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量a＋b与向量ka－b垂直，则k＝________.解析：∵a与b是不共线的单位向量，∴|a|＝|b|＝1.又ka－b与a＋b垂直，∴(a＋b)·(ka－b)＝0，即ka2＋ka·b－a·b－b2＝0.∴k－1＋ka·b－a·b＝0，即k－1＋kcosθ－cosθ＝0(θ为a与b的夹角)．∴(k－1)(1＋cosθ)＝0，又a与b不共线，∴cosθ≠－1，∴k＝1.答案：13．已知平面向量α，β，|α|＝1，β＝(2,0)，α⊥(α－2β)，则|2α＋β|的值为________．解析：∵β＝(2,0)，∴|β|＝2，又α⊥(α－2β)，∴α·(α－2β)＝α2－2α·β＝1－2α·β＝0.∴α·β＝12.∴(2α＋β)2＝4α2＋β2＋4α·β＝4＋4＋2＝10.∴|2α＋β|＝10.答案：10考点三平面向量数量积的应用[例3](2013·江苏高考)已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，0βαπ.(1)若|a－b|＝2，求证：a⊥b；(2)设c＝(0,1)，若a＋b＝c，求α，β的值．[自主解答](1)证明：由题意得|a－b|2＝2，即(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝2.又因为a2＝b2＝|a|2＝|b|2＝1，所以2－2a·b＝2，即a·b＝0，故a⊥b.(2)因为a＋b＝(cosα＋cosβ，sinα＋sinβ)＝(0,1)，所以cosα＋cosβ＝0，sinα＋sinβ＝1，由此得，cosα＝cos(π－β)，由0βπ，得0π－βπ，又0απ，故α＝π－β.代入sinα＋sinβ＝1，得sinα＝sinβ＝12，而αβ，所以α＝5π6，β＝π6.【方法规律】平面向量与三角函数的综合问题的命题形式与解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等.设向量a＝(4cosα，sinα)，b＝(sinβ，4cosβ)，c＝(cosβ，－4sinβ)．(1)若a与b－2c垂直，求tan(α＋β)的值；(2)求|b＋c|的最大值；(3)若tanαtanβ＝16，求证：a∥b.解：(1)由a与b－2c垂直，得a·(b－2c)＝a·b－2a·c＝0，即4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0，tan(α＋β)＝2.(2)b＋c＝(sinβ＋cosβ，4cosβ－4sinβ)，|b＋c|2＝sin2β＋2sinβcosβ＋cos2β＋16cos2β－32cosβsinβ＋16sin2β＝17－30sinβcosβ＝17－15sin2β，故最大值为32，所以|b＋c|的最大值为42.(3)证明：由tanαtanβ＝16，得sinαsinβ＝16cosαcosβ，即4cosα·4cosβ－sinαsinβ＝0，所以a∥b.——————————[课堂归纳——通法领悟]————————————————个条件——两个非零向量垂直的充要条件两个非零向量垂直的充要条件为：a⊥b⇔a·b＝0.个结论——与向量夹角有关的两个结论(1)若a·b0，则a与b的夹角为锐角或0°；(2)若a·b0，则a与b的夹角为钝角或180°.个注意点——向量运算中应注意的四个问题(1)在求△ABC的三边所对应向量的夹角时，要注意是三角形的内角还是外角．如在等边△ABC中，AB与BC的夹角应为120°而不是60°.(2)在平面向量数量积的运算中，不能从a·b＝0推出a＝0或b＝0成立．实际上由a·b＝0可推出以下四种结论：①a＝0，b＝0；②a＝0，b≠0；③a≠0，b＝0；④a≠0，b≠0，但a⊥b.(3)实数运算满足消去律：若bc＝ca，c≠0，则有b＝a.在向量数量积的运算中，若a·b＝a·c(a≠0)，则不一定得到b＝c.(4)实数运算满足乘法结合律，但平面向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a·b)·c不一定等于a·(b·c)，这是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量，而a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线．