《平面向量复习小结》 课件

一、向量的基本概念向量、零向量、单位向量、共线向量（平行向量）、相等向量、相反向量等.1.向量:既有大小又有方向的量叫做向量.向量的大小又叫向量的模(也就是用来表示向量的有向线段的长度).2、向量的表示AB1、字母表示：AB或a2、坐标表示：xyaiO(x,y)jAaxyjyixa），（yx），（yxOA3.相等向量:长度相等且方向相同的向量.向量可以自由平移,平移前后的向量相等.两向量a与b相等,记为ab.注:向量不能比较大小,因为方向没有大小.4.零向量:长度为零的向量叫零向量.零向量只有一个,其方向是任意的.5.单位向量:长度等于1个单位的向量.单位向量有无数个,每一个方向都有一个单位向量.6.共线向量:方向相同或相反的非零向量,叫共线向量.任一组共线向量都可以移到同一直线上.规定:0与任一向量共线.注:共线向量又称为平行向量.7.相反向量:长度相等且方向相反的向量.二、向量的运算（一）向量的加法ABC三角形法则：ABCD平行四边形法则：ab2、坐标运算：），（，），（设2211yxbyxaba则），（2121yyxx1、作图（二）向量的减法DBADAB2、坐标运算：），（，），（设2211yxbyxaba则），（2121yyxx1、作图平行四边形法则：abab+ab+ACBCABaλa（1）长度：（2）方向：时，当0异向与aa，时当0同向与aa时，当00aa（三）数乘向量baba）（aaa）（aa、数乘向量的运算律：3：、数乘向量的坐标运算2的大小和方向：、a1），（），（yxyxa5、平面向量基本定理22112121eeaaee使，，有且只有一对实数这一平面内的任一向量不共线向量，那么对于是同一个平面内的两个，如果向量与非零向量共线有且只有一个实数，使得=。baba4、共线向量基本定理1、平面向量数量积的定义：bacos||||ba2、数量积的几何意义：.cos||||的乘积方向上的投影在与的长度等于babaaOABθB1(四)数量积abba）（1）（）（））（（bababa2cbcacba））（（34、运算律:2121yyxxba3、数量积的坐标运算每一种运算的刻划有三种表现形式：图形、符号、坐标语言。主要内容列表如下：运算图形语言符号语言坐标语言平行四边形法则OAOBOCOBOAAB记OA=(x1,y1),OB=(x1,y2)则OAOB=(x1+x2,y1+y2)OBOA=（x2-x1,y2-y1）加法与减法三角形法则OAABOB实数与向量的乘积AB=λaλ∈R记a=(x,y)则a=(λx,λy)两个向量的数量积cos,ababab记1122(,),(,)axybxy则a·b=x1x2+y1y2五、向量垂直的判定01baba）（022121yyxxba）（六、向量平行的判定(共线向量的判定)）（）（0//1aabba），（），，（，其中）（221112210//2yxbyxayxyxab||32211AByxByxA），则，（），，（）若（||a22yx221221）（）（yyxx），则，（）设（yxa2七、向量的长度，）（2||1aaa2||aa八、向量的夹角||||cosbaba向量表示坐标表示向量表示坐标表示222221212121yxyxyyxx1.下面五个命题：⑴所有的单位向量相等；⑵长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量；⑶若ab，满足||||ab且ab，同向，则ab；⑷由于零向量的方向不确定，故0与任何向量不平行；⑸对于任何向量ab，，必有||ab≤||||ab．其中正确命题的序号为()（A）⑴,⑵,⑶（B）⑸（C）⑶,⑸（D）⑴,⑸B2．已知ABCD的顶点(1,2)A,(3,1)B,(5,6)C,求顶点D的坐标.3．已知梯形ABCD中，||2||ABDC，M，N分别是DC、AB的中点，若AB1e，2ADe，用1e，2e表示DC、BC、MN．AMDCNB4：设12,ee是不共线的向量,已知向量122ABeek,123CBee,122CDee,若A、B、D三点共线，求k的值.解:∵A、B、D三点共线,∴ABBD(是待定系数)∵123CBee,122CDee,∴124BDCDCBee∴124ABee又∵122ABeek∴24k=∴8k=1.已知(1,3),(,1),abx且a∥b,则x等于()(A)3(B)3(C)31(D)132.已知(1,3),(,1),abx且a⊥b,则x=____.3.已知(1,3),(,1),abx,且2ab与2ab平行,则x等于（）C-3412321323abkkababkabab、已知（，），（，），当为何值时，（）与垂直？（）与平行？平行时它们是同向还是反向？法二:发现22222()ababab代入求得.例：已知向量,ab满足1,2,3abab,则ab_____.法一:由2222abaabb代入求得ab=-2.∴2222abaabb得ab1例：已知a、b是非零向量且满足(2)aba，bab)2(，则a与b的夹角是()（A）30（B）60（C）120（D）150分析:∵(2)0aba,∴22aab即22aab①∵(2)0bab,∴22bab即22bab②∴由①②可得2abab∴1cos,2ababab,∴选(B)122121,602,32.oeeaeebeeab例：设为两个单位向量，且夹角为，若，求与的夹角解：∵22212122122124422eeeeeeeea71211141460cos44212221eeee∴7a同理可得7b27262322221212121eeeeeeeeba217727cosbaba∴θ=120°例：平面直角坐标系有点)cos,1(xP，(cos,1)xQ，x[4,4]求向量OP和OQ的夹角的余弦用x表示的函数);(xf解:2cosOPOxQ,21cosOPOxQ,22coscos1cosOPOxxOPOQQ,∴22cos()(,)1cos44xfxxx2122211121PPPPyxPyxPPPyxP即），（），，（，其中所成定比为）分有向线段，（点112121yyyxxx2212121yyyxxx时，当定比分点P的坐标中点坐标九、线段的定比分点十、平移公式kyyhxx''khayxPyxP,,','',,平移向量新坐标旧坐标知二求一重心坐标练习:1.点)4,3(关于点)5,6(B的对称点是（）(A))5,3((B))29,0((C))6,9((D))21,3(2.已知两点(4,9)P，(2,3)Q，则直线PQ与y轴的交点分PQ所成的比为（）(A)13(B)12(C)2(D)33.把一个函数图像按向量)2,3(a平移后，得到的图象的表达式为2)6sin(xy，则原函数的解析式为___．CCcosyx4sin2`3`yxFaFF、函数的图象按（，）平移得到，求的函数解析式。十一、正弦余弦定理CcBbAasinsinsin（R为外接圆半径）2R两边一对角两角任一边两边一夹角三边1、正弦定理：2、余弦定理：c2=a2＋b2－2abcosCb2=c2＋a2－2cacosB;a2=b2＋c2－2bccosA;bcacb2222cabac2222abcba2222cosC=cosB=cosA=内角和定理：A+B+C=180°，sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,cos2C=sin2BAsin2C=cos2BA面积公式：S=absinC=bcsinA=casinB212121基础练习:(解斜三角形的四种类型举例练习)⑴已知三边可利用余弦定理;练习1.在ABC中,3,5,7abc,则此三角形最大角大小为__.⑵已知两角及一边可利用正弦定理;练习2.在ABC中,105A,45B,22b,则c____.用余弦定理：222925491cos22352abcCab,∴0.12C120.∵C=18018010545AB=30∴由正弦定理得22sin30sin45c,∴2c.2基础练习:(解斜三角形的四种类型举例练习)⑶已知两边及其夹角可利用余弦定理;练习3.在△ABC中,2,45,1ABCSBa，则△ABC外接圆的直径为_____.⑷已知两边及一边的对角,可利用正弦定理或利用余弦定理;(注意解的情况,可能出现一解、两解、或无解.)练习4.在△ABC中,若∠A＝120°，AB=5，BC＝7，则AC＝．练习5.在△ABC中，已知AB=3，AC=1，∠B=30°，则△ABC的面积为_________.∵1sin211sin4522SacBc△ABC,∴42c由余弦定理得222222cos1(42)2142cos45bacacB=25∴5b,∴2sin455R,∴252R.52.基础练习:(解斜三角形的四种类型举例练习)⑷已知两边及一边的对角,可利用正弦定理或利用余弦定理;(注意解的情况,可能出现一解、两解、或无解.)练习4.在△ABC中,若∠A＝120°，AB=5，BC＝7，则AC＝．练习5.在△ABC中，已知AB=3，AC=1，∠B=30°，则△ABC的面积为_________.设ACx0,则2227525cos120xx即25240xx,解得83x或∴3x3练习5.在△ABC中，已知AB=3，AC=1，∠B=30°，则△ABC的面积为3324或.∵由正弦定理得sinsinACABBC,∴13sinsin30C,∴3sin2C,∴60120C或,∴9030A或∴1111sin311312222SACABA△ABC或∴3324S△ABC或