分类讨论思想

引例:已知a、b、c均为非零实数，且满足则k的值为（）A1B-2C1或-2D1或2kaacbbcbaccba选A1kc)bk(acbaakacbbk,bcack,cba实数且a、b、c均为非零kaacbbbcaccba解选C21或kk2ccckcb则a0,cb若a1则k0,cb若ac)bk(acbaakacbbk,cback,cba实数且a、b、c均为非零kaacbbcbaccba解根据研究对象的本质属性的差异，将所研究的问题分为不同种类，然后对划分的每一类分别进行研究和求解的方法叫做分类讨论．1.有些数学概念是分类进行定义的.如|a|的定义分a0、a＝0、a0三种情况.这种分类称为概念型分类.1yx1yx2y3x2y3x0xy＜2y2y3x3x或或解：　，则且例如：已知yx0y＜x,2y,3x2.讨论一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ（k≠0）的增减性，要分k＜0和k＞0两种情况.这种分类称为性质型分类.例如：已知一次函数y=kx+b，当－３≤ｘ≤１时，对应ｙ的值为１≤ｙ≤９.则ｋ·ｂ的值（）（Ａ）１４（Ｂ）－６（Ｃ）－６或２１（Ｄ）－６或１４D6bk3b2kbk39bk1,0k＜14bk7b2kbk9bk310k＞选时时，解：3.解含有字母系数（参数）的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论.这种分类称为含参数型分类.例如：A＝a＋2，C＝a2＋5a－19，其中a＞2．指出A与C哪个大？说明理由．∵a＞2，∴a＋7＞0∴当2＜a＜3时，A＞C当a＝3时，A＝C当a＞3时，A＜C解：C－A＝a2+4a-21=（a＋7）(a－3)4.问题中有不确定的数量、不确定图形形状或位置、不确定的结论等，都要通过分类讨论，保证其完整性，使之具有确定性.例如：1.在Rt△ABC中,AB=6,BC=8,则这个三角形的外接圆直径是（）A5B10C5或4D10或8【简解】本题对谁是斜边进行讨论,答案:D2.已知关于x的方程(k－1)x2－(2k＋1)x＋k+1＝0有实数根，求k的取值范围______【简解】本题分方程是一元二次方程和一元一次方程两种情况讨论.3.如图，线段OD的一个端点O在直线a上，以OD为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在直线a上，这样的等腰三角形能画多少个?ＯＤＣaＥＦＨ例1.(07无锡)（1）已知△ABC中，∠A=90°,∠B=67.5°请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形．（请你选用下面给出的备用图，把所有不同的分割方法都画出来．只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数）分析：本题是对图形的分割，分割线的位置可以不同，形成的图形也不同，所以需要分类讨论.解：（1）如图，共有2种不同的分割法备用图①CAB67.567.522.522.5（2）已知△ABC中,∠C是其最小的内角，过顶点B的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请探求∠ABC与∠C之间的关系．ACBCABCyxxyyxABDAyxAxxCDBDBCADB＞C①DBCDACBxCyABC43135,54043)2190(180,.180,219018021,90,1,.,,2即即此时只能有则如图是顶角若中在于点的直线交边过点设ACBD图1图2C3ABC,x3yxyx2ADAB.a.xyABD,x2ADBABDxDBCDCDB2C②即此时，，得由中，时，则当，第一种情况：如图。是底角，则有两种情况若ABCD的任意角为小于即此时，，得由即此时，，得由45C,90ABC,90yxyyx180BDAD.cC3180ABC,180yx3x2yx180BDAB.bADBC图3.BCBDCCCC＜21ABDABDAD90x＞180ADBxBDCBCBD3不成立是底角时，当是最小的角矛盾这与题设，从而，，此时只能有，时，，当第二种情况，如图综上所述——ABCD习题一．如图1，已知正方形ABCD的边长为2，O为BC边的中点，若P为DC上一动点，连结BP，过点O作直线l⊥BP交AB（或AD）于点Q．（图1）（1）设DP＝t（0＜t＜2），直线l截正方形所得左侧部分图形的面积为S，试求S关于t的函数关系式．（图1）（2）当点Q落在AD（不含端点）上时，问：以O、P、Q为顶点的三角形能否是等腰三角形？若能，请指出此时点P的位置；若不能，请说明理由．分析：在有关动点的几何问题中，由于图形的不确定性，我们常常需要针对各种可能出现的图形对每一种可能的情形都分别进行研究和求解．t21t22121BQOB21S,t22BQ.t212BQ,PCOBCBBQ,PCBOBQ)2ABQ1＜t0①1求得即故易证上（如图点落在边时，当解：∽图2t211t21ABBOAQ21S1tt)(21OEOBBEAQt,2PCOEΔBPC.≌易证ΔQOEBC于点E,过点Q作QEQ的面积,此时S表示梯形ABO3）点落在边AD上（如图②当1＜t＜2时，QEQP图3为等腰三角形为顶点的三角形不可能、、以（不含端点）上时落在当点舍去不合题意重合与即此时解得则若且易得）（如图、连结（不含端点）上时，落在当点QPOADQAQAQttttPQOQPQOPOQOPPQOPADQ,.,,,0,11222,,.422222ABCDOPQ图4习题二.设抛物线与x轴交于两个不同的点A(一1，0)、B(m，0)，与y轴交于点C.且∠ACB=90°．(1)求m的值和抛物线的解析式；(2)已知点D(1，n)在抛物线上，过点A的直线y=x+1交抛物线于另一点E．若点P在x轴上，以点P、B、D为顶点的三角形与△AEB相似，求点P的坐标．2bxaxy2＝E分析：本题中以点P、B、D为顶点的三角形与△AEB相似，由于没有指明对应点，所以需要分类说明.解：（1）令x＝0，得y＝－2∴C（0，－2）∵∠ACB＝90°，CO⊥AB∴△AOC∽△COB∴OA·OB＝OC2∴OB＝∴m＝4将A（－1，0），B（4，0）代入得∴抛物线的解析式为412OAOC22＝＝2bxaxy2＝23b21a2x23x21y2＝（2）D（1,n）代入,得n＝－3由得∴E（6,7）分别过E、D作EH、DF垂直于x轴于H、F，则H（6,0）、F（1，0）∴AH＝EH＝7∴∠EAH＝45°∵BF＝DF＝3∴∠DBF＝45°∴∠EAH=∠DBF=45°∴∠DBH=135°90°∠EBA135°则点P只能在点B的左侧，有以下两种情况：2x23x21y2＝0y1x11＝＝7y6x22＝＝2x23x21y1xy20713P7137154OP71527235AEBDABBPAEBDDBP1111，，则若ABBP∽△EAB△①10522P0713PP①②0522P5224542OP54252327ABBDAEBPABBDDBP2122222，或，的坐标得点综合，，则若AEBP∽△BAE△②分类讨论实施方法和步骤是：（1）首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；（2）确定分类标准，即标准统一、不漏不重、分类互斥（没有重复）；（3）再对所分类逐步进行讨论，获取阶段性结果；（4）最后进行归纳，综合得出结论.祝同学们学习进步更上一层楼！