解直角三角形超经典例题讲解

课题解直角三角形授课时间：备课时间：教学目标1.了解勾股定理2.了解三角函数的概念3.学会解直角三角形重点、难点三角函数的应用及解直角三角形考点及考试要求各考点教学方法：讲授法教学内容（一）知识点（概念）梳理考点一、直角三角形的性质1、直角三角形的两个锐角互余可表示如下：∠C=90°∠A+∠B=90°2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。∠A=30°可表示如下：BC=21AB∠C=90°3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半∠ACB=90°可表示如下：CD=21AB=BD=ADD为AB的中点4、勾股定理直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即222cba5、摄影定理在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项∠ACB=90°BDADCD2ABADAC2CD⊥ABABBDBC26、常用关系式由三角形面积公式可得：ABCD=ACBC7.图中角可以看作是点A的角也可看作是点B的角；（1）9、（1）坡度（或坡比）是坡面的铅直高度（h）和水平长度（l）的比。记作i,即i=lh；（2）坡角——坡面与水平面的夹角。记作α，有i＝lh=tanα（3）坡度与坡角的关系：坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡考点二、直角三角形的判定1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。3、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a，b，c有关系222cba，那么这个三角形是直角三角形。考点三、锐角三角函数的概念1、如图，在△ABC中，∠C=90°①锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记为sinA，即casin斜边的对边AA②锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记为cosA，即cbcos斜边的邻边AA③锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记为tanA，即batan的邻边的对边AAA④锐角A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记为cotA，即abcot的对边的邻边AAA2、锐角三角函数的概念锐角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的锐角三角函数3、一些特殊角的三角函数值三角函数0°30°45°60°90°sinα02122231cosα12322210tanα03313不存在cotα不存在313304、各锐角三角函数之间的关系（1）互余关系sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A)tanA=cot(90°—A)，cotA=tan(90°—A)（2）平方关系1cossin22AA（3）倒数关系tanAtan(90°—A)=1（4）弦切关系tanA=AAcossin5、锐角三角函数的增减性当角度在0°~90°之间变化时，（1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）（2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）（3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）（4）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）考点四、解直角三角形1、解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。2、解直角三角形的理论依据在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c（1）三边之间的关系：222cba（勾股定理）（2）锐角之间的关系：∠A+∠B=90°（3）边角之间的关系：baBabBcaBcbBabAbaAcbAcaAcot,tan,cos,sin;cot,tan,cos,sin（二）例题讲解（1）、三角函数的定义及性质1、在△ABC中,,900C13,5ABAC,则cosB的值为2、在Rt⊿ABC中，∠C＝90°，BC＝10，AC＝4，则______tan_____,cosAB；3、Rt△ABC中,若,900C2,4BCAC,则tan______B4、在△ABC中，∠C＝90°，1,2ba，则Acos5、已知Rt△ABC中,若,900Ccos24,135BCA,则._______AC6、Rt△ABC中,,900C35tan,3BBC，那么.________AC7、已知32sinm，且a为锐角，则m的取值范围是；8、已知：∠是锐角，36cossin，则的度数是9、当角度在0到90之间变化时，函数值随着角度的增大反而减小的三角函是（）A．正弦和正切B．余弦和余切C．正弦和余切D．余弦和正切10、当锐角A的22cosA时，∠A的值为（）A小于45B小于30C大于45D大于6011、在Rt⊿ABC中，若各边的长度同时都扩大2倍，则锐角A的正弦址与余弦值的情况（）A都扩大2倍B都缩小2倍C都不变D不确定12、已知为锐角，若030cossin，tan＝；若1tan70tan0，则_______；13、在△ABC中,,900Csin23A,则cosB等于()A、1B、23C、22D、21（2）、特殊角的三角函数值1、在Rt△ABC中，已知∠C＝900，∠A=450则Asin=2、已知：是锐角，221cos，tan=______；3、已知∠A是锐角，且______2sin,3tanAA则；4、在平面直角坐标系内P点的坐标（30cos，45tan），则P点关于x轴对称点P／的坐标为（）A．)1,23(B．)23,1(C．)1,23(D．)1,23(5、下列不等式成立的是（）A．45cos60sin45tanB．45tan60sin45cotC．45tan30cot45cosD．30cot60sin45cos6、若1)10tan(30，则锐角的度数为（）A．200B．300C．400D．5007、计算（1）_______60cot45tan_______,60cos30sin0000；（2）30sin30cos30tan4145sin60cos22(3)000045tan30tan145tan30tan(4))60sin45(cos30sin60cos2330cos45sin000000（3）、解直角三角形1、在△ABC中,,900C如果4,3ba，求A的四个三角函数值.解：（1）∵a2+b2＝c2∴c=∴sinA=cosA=∴tanA=cotA=2、在Rt△ABC中，∠C＝90°，由下列条件解直角三角形：（1）已知a＝43，b＝23，则c=；（2）已知a＝10，c＝102，则∠B=；（3）已知c＝20，∠A＝60°，则a=；（4）已知b＝35，∠A＝45°，则a=；3、若∠A=30，10c，则___________,ba；4、在下列图中填写各直角三角形中字母的值．7、设Rt△ABC中，∠C＝90゜，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，根据下列所给条件求∠B的四个三角函数值.（1）a=3,b=4;（2）a=6,c=10.8、在Rt△ABC中，∠C＝90゜，BC：AC＝3：4，求∠A的四个三角函数值.9、△ABC中,已知0045,60,22CBAC，求AB的长ABC9题（4）、实例分析1、斜坡的坡度是3:1，则坡角.____________2、一个斜坡的坡度为︰3，那么坡角的余切值为；3、一个物体A点出发，在坡度为7:1的斜坡上直线向上运动到B，当30ABm时，物体升高（）A730mB830mC23mD不同于以上的答案4、某水库大坝的横断面是梯形，坝内斜坡的坡度3:1i，坝外斜坡的坡度1:1i，则两个坡角的和为（）A90B60C75D1055、电视塔高为350m，一个人站在地面，离塔底O一定的距离A处望塔顶B，测得仰角为060，若某人的身高忽略不计时，__________OAm.6、如图沿AC方向修隧道,为了加快施工进度,要在小山的另一边同时进行.已知∠ABD=1500,BD=520m,∠B=600,那么开挖点E到D的距离DE=____m时,才能使A,C,E成一直线.7、一船向东航行，上午8时到达B处，看到有一灯塔在它的南偏东060，距离为72海里的A处，上午10时到达C处，看到灯塔在它的正南方向，则这艘船航行的速度为（）A18海里/小时B318海里/小时C36海里/小时D336海里/小时8、如图，河对岸有铁塔AB，在C处测得塔顶A的仰角为30°，向塔前进14米到达D，在D处测得A的仰角为45°，求铁塔AB的高。ACDB9、如图，一铁路路基横断面为等腰梯形ABCD，斜坡BC的坡度为3:2，路基高AE为3m，底CD宽12m，求路基顶AB的宽BADCE10、如图，已知两座高度相等的建筑物AB、CD的水平距离BC＝60米，在建筑物CD上有一铁塔PD，在塔顶P处观察建筑物的底部B和顶部A，分别测行俯角0030,45，求建筑物AB的高。（计算过程和结果一律不取近似值）11、如图，A城气象台测得台风中心在A城的正西方300千米处，以每小时107千米的速度向北偏东60º的BF方向移动，距台风中心200千米的范围内是受这次台风影响的区域。问A城是否会受到这次台风的影响？为什么？若A城受到这次台风的影响，那么A城遭受这次台风影响的时间有多长？（三）小结60ºFBA解直角三角形总复习答案二、巩固练习（1）三角函数的定义和性质1、13122、29295、253、24、555、106、57、25.1m8、5409、B10、A11、C12、313、B（2）特殊角的三角函数值1、222、13、214、A5、D6、A7、（1）1、333（2）12523或12536（3）32(4)23（3）解直角三角形1、5c53sinA54cosA43tanA34cotA2、（1）152（2）10（3）310（4）353、5、254、10a35b5、310c10d6、33343317f7、（1）5c54sinB53cosB34tanB43cotB（2）8b54sinB53cosB34tanB43cotB8、解：设BC=3k，AC=k90CkAB554cos,53sinAA34cot,43tanAA9、解：过A作ADBC，垂足为D。90ADBADC22,45ACA2AD2,60ADB3AB（4）实例分析1、302、33、C4、C5、333506、7、B8、解：设铁塔AB高x米30B314cotABBDABBCC在ABDRT中45ADB即314xx解得：x=)737(m答：铁塔AB高)737(m。9、解：过B作BFCD，垂足为FBFAE在等腰梯形ABCD中AD=BCDC3:2iBCAE=3mDE=4.5mAD=BC，DC,90DEACFBBCFADECF=DE=4.5mEF=3m90AEFBFEBF//CD四边形ABFE为平行四边形AB=EF=3m10、解：4545BPC在RTBPC中mCPmBC6060在矩形ABCD中AD=BC=60m6030APD在RTAPD中AD=60m,60APDmABCDPD)32060(320答：AB高)32060(米。11、（1）过A作ACBF，垂足为C30601ABC在RTABC中AB=300km响城会受到这次台风的影AkmACABC15030(2)hhkmkmthkmvkmDEkmCDkmadkmACADAEE，BFkmADD，BF1071071007107100750200,150200