【三维设计】(新课标)2016届高考数学大一轮复习 第三章 第五节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式

第五节两角和与差的正弦、余弦和正切公式基础盘查一两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)循纲忆知1．会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．2．能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．3．能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．(二)小题查验1．判断正误(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的()(2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sinα＋sinβ成立()(3)在锐角△ABC中，sinAsinB和cosAcosB大小不确定()(4)公式tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ可以变形为tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，且对任意角α，β都成立()√√××2．(人教A版教材例题改编)已知sinα＝－35，α是第四象限角，则cosα＋π4＝______.72103．计算cos42°cos18°－cos48°cos72°的值为____．124．(北师大版教材例题改编)若tan(α＋β)＝25，tanβ－π4＝14，则tanα＋π4的值为____．322基础盘查二二倍角的正弦、余弦、正切公式(一)循纲忆知能利用两角差的余弦公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．(二)小题查验1．判断正误(1)cosθ＝2cos2θ2－1＝1－2sin2θ2()(2)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角()(3)存在角α，使得sin2α＝2sinα成立()2．(人教A版教材习题改编)已知sin(α－π)＝35，则cos2α＝____.3．计算：tan7.5°1－tan27.5°＝________.√×√7252－32考点一三角函数公式的基本应用(基础送分型考点——自主练透)[必备知识]1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ；cos(α∓β)＝cosαcosβ±sinαsinβ；tan(α±β)＝tanα±tanβ1∓tanαtanβ.sin2α＝2sinαcosα；cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；tan2α＝2tanα1－tan2α.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式[题组练透]1．已知sinα＝35，α∈π2，π，则cos2α2sinα＋π4＝_____.解析：cos2α2sinα＋π4＝cos2α－sin2α222sinα＋22cosα＝cosα－sinα，∵sinα＝35，α∈π2，π，∴cosα＝－45.∴原式＝－75.－752．设sin2α＝－sinα，α∈π2，π，则tan2α的值是____．解析：∵sin2α＝2sinαcosα＝－sinα，∴cosα＝－12，又α∈π2，π，∴sinα＝32，tanα＝－3，∴tan2α＝2tanα1－tan2α＝－231－－32＝3.33．(2014·江苏高考)已知α∈π2，π，sinα＝55.(1)求sinπ4＋α的值；(2)求cos5π6－2α的值．解：(1)因为α∈π2，π，sinα＝55，所以cosα＝－1－sin2α＝－255.故sinπ4＋α＝sinπ4cosα+cosπ4sinα＝22×－255＋22×55＝－1010.(2)由(1)知sin2α＝2sinαcosα＝2×55×－255＝－45，cos2α＝1－2sin2α＝1－2×552＝35，所以cos5π6－2α＝cos5π6cos2α＋sin5π6sin2α＝－32×35＋12×－45＝－4＋3310.[类题通法]两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α、β的三角函数表示α±β的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的．考点二三角函数公式的逆用与变形应用(重点保分型考点——师生共研)[必备知识]1．公式的常用变形(1)tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)；(2)cos2α＝1＋cos2α2，sin2α＝1－cos2α2；(3)1±sin2α＝(sinα±cosα)2，sinα±cosα＝2sinα±π4.[典题例析]1．(2015·东北三校第二次联考)已知sinα＋cosα＝13，则sin2π4－α＝()A．118B．1718C．89D．29解析：∵sinα＋cosα＝13，∴(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα＝19，∴sin2α＝－89，∴sin2π4－α＝1－cosπ2－2α2＝1－sin2α2＝1718．答案：B2．计算sin110°sin20°cos2155°－sin2155°的值为()A．－12B．12C．32D．－32解析：sin110°sin20°cos2155°－sin2155°＝sin70°sin20°cos310°＝cos20°sin20°cos50°＝12sin40°sin40°＝12.[类题通法]运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tanα＋tanβ＝tan(α＋β)·(1－tanαtanβ)和二倍角的余弦公式的多种变形等．[演练冲关]1．(2015·赣州模拟)已知sinα＋π6＋cosα＝435，则sinα＋π3的值为()A．45B．35C．32D．35解析：由条件得32sinα＋32cosα＝435，即12sinα＋32cosα＝45.∴sinα＋π3＝45.2．在△ABC中，若tanAtanB＝tanA＋tanB＋1,则cosC的值为()A．－22B．22C．12D．－12解析：由tanAtanB＝tanA＋tanB＋1，可得tanA＋tanB1－tanAtanB＝－1，即tan(A＋B)＝－1，所以A＋B＝3π4，则C＝π4，cosC＝22.考点三角的变换(题点多变型考点——全面发掘)[必备知识]角的变换技巧α＝(α＋β)－β；α＝β－(β－α)；α＝12[(α＋β)＋(α－β)]；β＝12[(α＋β)－(α－β)]；π4＋α＝π2－π4－α.[一题多变][典型母题](2015·常州一模)已知α，β均为锐角，且sinα＝35，tan(α－β)＝－13.(1)求sin(α－β)的值；(2)求cosβ的值．[解](1)∵α，β∈0，π2，从而－π2α－βπ2.又∵tan(α－β)＝－130，∴－π2α－β0.∴sin(α－β)＝－1010.(2)由(1)可得，cos(α－β)＝31010.∵α为锐角，且sinα＝35，∴cosα＝45.∴cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝45×31010＋35×－1010＝91050.[题点发散1]已知α，β均为锐角，且sinα＝35，tan(α－β)＝－13.求sin(α－2β)的值．解：∵sin(α－β)＝－1010，cos(α－β)＝31010，cosβ＝91050，sinβ＝131050.∴sin(α－2β)＝sin[(α－β)－β]＝sin(α－β)cosβ－cos(α－β)sinβ＝－2425.[题点发散2](2015·常州一模)已知α，β均为锐角，且，tan(α－β)＝－13．求tan(2α－β)的值．sinα＝35tanα＝35解：∵tanα＝35，tan(α－β)＝－13，∴tan(2α－β)＝tanα＋α－β＝tanα＋tanα－β1－tanαtanα－β＝35－131＋35×13＝29.[题点发散3]若本例条件变为：已知cosα－β2＝－19，sinα2－β＝23，且π2＜α＜π，0＜β＜π2，求cos(α＋β)的值．解：∵π2＜α＜π，0＜β＜π2，cosα－β2＝－19，sinα2－β＝23，∴π2＜α－β2＜π，0＜α2－β＜π2，∴sinα－β2＝459，cosα2－β＝53，∴cosα＋β2＝cosα－β2－α2－β＝cosα－β2cosα2－β＋sinα－β2sinα2－β＝－19×53＋459×23＝7527.则cos(α＋β)＝2cos2α＋β2－1＝－239729.[类题通法]1．当“已知角”有两个时，一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式；2．当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”；3．注意角的变换技巧．