三角形综合培优题

第1页（共23页）三角形综合培优题一．选择题（共3小题）1．如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P，则点P有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA=CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为（）A．B．C．D．不能确定3．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为（）A．B．C．D．二．填空题（共5小题）4．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=+1，点M，N分别是边BC，AB上的动点，沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点B′始终落在边AC上，若△MB′C为直角三角形，则BM的长为．5．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=5，D是AB边上的动点，E是AC边上的动点，则BE+ED的最小值为．6．如图，长方形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm．点E是BC边上一点，连接AE并将△AEB沿AE折叠，得到△AEB′，以C，E，B′为顶点的三角形是直角三角第2页（共23页）形时，BE的长为cm．7．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=8cm，BC=15cm，点M从A点出发沿A→C→B路径向终点运动，终点为B点，点N从B点出发沿B→C→A路径向终点运动，终点为A点，点M和N分别以每秒2m和3cm的运动速度同时开始运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动，分别过M和N作ME⊥l于E，NF⊥l于F．设运动时间为t秒，要使以点M，E，C为顶点的三角形与以点N，F，C为顶点的三角形全等，则t的值为．8．如图，在矩形纸片ABCD中，BC=40cm，AB=16cm，M点为BC边上的中点，点G沿B→A→D运动（不含端点），将矩形纸片沿直线MG翻折，使得点B落在AD边上，则折痕长度为．三．解答题（共7小题）9．如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=12，点E是BC的中点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点F处，连接FC，（1）求CF的长。（2）求证：AE∥CF．10．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE=CF，BD=CE．（1）求证：△DEF是等腰三角形；（2）当∠A=40°时，求∠DEF的度数．第3页（共23页）11．△ABC为正三角形，点M是射线BC上任意一点，点N是射线CA上任意一点，且BM=CN，BN与AM相交于Q点，∠AQN等于多少度？12．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，AC=3cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒．（1）求BC边的长；（2）当△ABP为直角三角形时，求t的值；（3）当△ABP为等腰三角形时，求t的值13．（1）如图1所示，△ACB和△ECD都是等腰三角形，A、C、D三点在同一直线上，连接BD、AE，并延长AE交BD于点F，试判断AE与BD的数量关系及位置关系，并证明你的结论．（2）若△ECD绕顶点C顺时针转任意角度后得到图2，图1中的结论是否仍然成立？请说明理由．14．如图（1），等边△ABC中，D是AB边上的动点，以CD为一边，向上作等边△EDC，连接AE．第4页（共23页）（1）△DBC和△EAC会全等吗？请说说你的理由；（2）试说明AE∥BC的理由；（3）如图（2），将（1）动点D运动到边BA的延长线上，所作仍为等边三角形，请问是否仍有AE∥BC？证明你的猜想．15．（1）如图1，E、F是正方形ABCD的边AB及DC延长线上的点，且BE=CF，则BG与BC的数量关系是．（2）如图2，D、E是等腰△ABC的边AB及AC延长线上的点，且BD=CE，连接DE交BC于点F，DG⊥BC交BC于点G，试判断GF与BC的数量关系，并说明理由；（3）如图3，已知矩形ABCD的一条边AD=4，将矩形ABCD沿过A的直线折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．动点M在线段AP上（点M与点P、A不重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连接MN交PB于点F，作ME⊥PB于点E，且EF=，试根据上题的结论求出矩形ABCD的面积．第5页（共23页）三角形综合培优题参考答案与试题解析一．选择题（共3小题）1．如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P，则点P有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：要使△ABP与△ABC全等，点P到AB的距离应该等于点C到AB的距离，即3个单位长度，故点P的位置可以是P1，P3，P4三个，故选C2．如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA=CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为（）A．B．C．D．不能确定【解答】解：过P作PM∥BC，交AC于M；∵△ABC是等边三角形，且PM∥BC，∴△APM是等边三角形；又∵PE⊥AM，∴AE=EM=AM；（等边三角形三线合一）第6页（共23页）∵PM∥CQ，∴∠PMD=∠QCD，∠MPD=∠Q；又∵PA=PM=CQ，在△PMD和△QCD中∴△PMD≌△QCD（AAS）；∴CD=DM=CM；∴DE=DM+ME=（AM+MC）=AC=，故选B．3．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为（）A．B．C．D．【解答】解：连接BF，∵BC=6，点E为BC的中点，∴BE=3，又∵AB=4，∴AE==5，由折叠知，BF⊥AE（对应点的连线必垂直于对称轴）∴BH==，第7页（共23页）则BF=，∵FE=BE=EC，∴∠BFC=90°，∴CF==．故选：D．二．填空题（共5小题）4．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=+1，点M，N分别是边BC，AB上的动点，沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点B′始终落在边AC上，若△MB′C为直角三角形，则BM的长为+或1．【解答】解：①如图1，当∠B′MC=90°，B′与A重合，M是BC的中点，∴BM=BC=+；②如图2，当∠MB′C=90°，∵∠A=90°，AB=AC，∴∠C=45°，∴△CMB′是等腰直角三角形，∴CM=MB′，∵沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点B′，∴BM=B′M，∴CM=BM，第8页（共23页）∵BC=+1，∴CM+BM=BM+BM=+1，∴BM=1，综上所述，若△MB′C为直角三角形，则BM的长为+或1，故答案为：+或1．5．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=5，D是AB边上的动点，E是AC边上的动点，则BE+ED的最小值为．【解答】解：如图，作点B关于AC的对称点B′，过B′点作B′D⊥AB于D，交AC于E，连接AB′、BE，则BE+ED=B′E+ED=B′D的值最小．∵点B关于AC的对称点是B′，BC=5，∴B′C=5，BB′=10．∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=5，∴AB==13．∵S△ABB′=•AB•B′D=•BB′•AC，第9页（共23页）∴B′D===，∴BE+ED=B′D=．故答案为．6．如图，长方形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm．点E是BC边上一点，连接AE并将△AEB沿AE折叠，得到△AEB′，以C，E，B′为顶点的三角形是直角三角形时，BE的长为3或6cm．【解答】解：①∠B′EC=90°时，如图1，∠BEB′=90°，由翻折的性质得∠AEB=∠AEB′=×90°=45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴BE=AB=6cm；②∠EB′C=90°时，如图2，由翻折的性质∠AB′E=∠B=90°，∴A、B′、C在同一直线上，AB′=AB，BE=B′E，由勾股定理得，AC===10cm，∴B′C=10﹣6=4cm，设BE=B′E=x，则EC=8﹣x，在Rt△B′EC中，B′E2+B′C2=EC2，第10页（共23页）即x2+42=（8﹣x）2，解得x=3，即BE=3cm，综上所述，BE的长为3或6cm．故答案为：3或6．7．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=8cm，BC=15cm，点M从A点出发沿A→C→B路径向终点运动，终点为B点，点N从B点出发沿B→C→A路径向终点运动，终点为A点，点M和N分别以每秒2m和3cm的运动速度同时开始运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动，分别过M和N作ME⊥l于E，NF⊥l于F．设运动时间为t秒，要使以点M，E，C为顶点的三角形与以点N，F，C为顶点的三角形全等，则t的值为或7或8．【解答】解：①当0≤t＜4时，点M在AC上，点N在BC上，如图①，此时有AM=2t，BN=3t，AC=8，BC=15．当MC=NC即8﹣2t=15﹣3t，解得t=7，不合题意舍去；②当4≤t＜5时，点M在BC上，点N也在BC上，如图②，若MC=NC，则点M与点N重合，即2t﹣8=15﹣3t，解得t=；③当5≤t＜时，点M在BC上，点N在AC上，如图③，第11页（共23页）当MC=NC即2t﹣8=3t﹣15，解得t=7；④当≤t＜时，点N停在点A处，点M在BC上，如图④，当MC=NC即2t﹣8=8，解得t=8；综上所述：当t等于或7或8秒时，以点M，E，C为顶点的三角形与以点N，F，C为顶点的三角形全等．故答案为：或7或8．8．如图，在矩形纸片ABCD中，BC=40cm，AB=16cm，M点为BC边上的中点，第12页（共23页）点G沿B→A→D运动（不含端点），将矩形纸片沿直线MG翻折，使得点B落在AD边上，则折痕长度为10cm或8cm．【解答】解：如图1所示，过M作ME⊥AD于E，G在AB上，B′落在AE上，可得四边形ABME为矩形，∴EM=AB=16，AE=BM，又∵BC=40，M为BC的中点，∴由折叠可得：B′M=BM=BC=20，在Rt△EFB′中，根据勾股定理得：B′E==12，∴AB′=AE+B′E=20+12=32，设AG=x，则有GB′=GB=16﹣x，在Rt△AGB′中，根据勾股定理得：GB′2=AG2+A′B′2，即（16﹣x）2=x2+82，解得：x=6，∴GB=16﹣6=10在Rt△GBF中，根据勾股定理得：GM==10；（ii）如图2所示，过F作FE⊥AD于E，G在AE上，B′落在ED上，可得四边形ABME为矩形，第13页（共23页）∴EM=AB=16，AE=BM，又BC=40，M为BC的中点，∴由折叠可得：B′M=BM=BC=20，在Rt△EMB′中，根据勾股定理得：B′E==12，∴AB′=AE+B′E=20+12=32，设AG=A′G=y，则GB′=AB′﹣AG=AE+EB′﹣AG=32﹣y，A′B′=AB=16，在Rt△A′B′G中，根据勾股定理得：A′G2+A′B′2=GB′2，即y2+162=（32﹣y）2，解得：y=12，∴AG=12，∴GE=AE﹣AG=20﹣12=8，在Rt△GEM中，根据勾股定理得：GM==8，综上，折痕MG=10或8．故答案为：10cm或8cm．三．解答题（共7小题）9．如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=12，点E是BC的中点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点F处，连接FC，求证：AE∥CF．【解答】证明：连接BF，第14页（共23页）∵△AEF是由△AEB翻折得到，∴BF⊥AE，BE=EF，∵BE=CE，∴BE=EC=EF，∴∠BFC=90°，∴CF⊥BF，又AE⊥BF，∴AE∥CF．10．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE=CF，BD=CE．（1）求证：△DEF是等腰三角形；（2）当∠A=40°时，求∠DEF的度数．【解答】证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，在△DBE和△CEF中，∴△DBE≌△CE