行程问题

在人们的生活中离不开“行”，如：行车、行船、行走。“行”中有三个重要的量：路程、速度、时间，研究这三个量的典型应用题叫做行程问题。行程应用题中常用的几种等量关系：路程=速度×时间速度=路程÷时间时间=路程÷速度相遇问题（相向运动问题）追及问题（同向运动问题）环形跑道问题流水行船问题列车过桥问题行程问题常见的类型反向运动问题同向运动问题相离问题（背向运动问题）甲、乙两人分别从A、B两地相对出发，两人在途中相遇，实质上是甲和乙两人一起走了A、B之间这段路程。如果两人同时出发，那么：甲乙AB甲行走的路程乙行走的路程×相遇时间AB之间的路程=甲走的路程+乙走的路程=甲的速度×相遇时间=速度和总路程一、相遇问题+乙的速度×相遇时间=（甲的速度+乙的速度）×相遇时间相遇时间=总路程÷速度和速度和=总路程÷相遇时间两个人或物体由于背向运动而相离，就是相离问题，也叫做背向运动问题。相离问题分为在同一地点和在不同地点作背向运动。如果甲、乙两人从同一地点同时背向出发，一段时间后，两人分别到达A、B两地，那么：二、相离问题乙甲AB甲行走的路程乙行走的路程AB之间的路程=甲走的路程+乙走的路程=甲的速度×相离时间+=（甲的速度+乙的速度）×相离时间×相离时间=速度和总路程相离时间=总路程÷速度和速度和=总路程÷相离时间乙的速度×相离时间三、追及问题甲、乙两人分别从A、B两地同向而行，甲走得快，过了一些时间就能追上乙，这就产生了“追及问题”。在相同时间（追及时间）内：乙甲甲行走的路程乙行走的路程AB速度差AB之间的路程＝甲走的路程－乙走的路程＝甲的速度×追及时间－＝（甲的速度－乙的速度）×追及时间＝×追及时间追及路程追及路程追及时间＝追及路程÷速度差速度差＝追及路程÷追及时间乙的速度×追及时间3）两车同时反向而行，几小时后两车相距270千米？5）两车同时同向而行（快车在后面），几小时后快车可以追上慢车？6）两车同时同向而行（慢车在后面），几小时后两车相距198千米？甲、乙两地相距162千米，一列慢车从甲站开出，每小时行驶48千米，一列快车从乙站开出，每小时行驶60千米，试问：1）两列火车同时相向而行，多少时间可以相遇？4）若两车相向而行，几小时后两车相距108千米?2）若两车相向而行，慢车先开出1小时，再用多少时间两车才能相遇？练一练：162÷（48+60）=1.5（小时）（162-48×1）÷（48+60）=1.06（小时）（270-162）÷（48+60）=1（小时）（162-108）÷（48+60）=0.5（小时）162÷（60-48）=13.5（小时）（198-162）÷（60-48）=3（小时）相遇问题相遇问题相离问题相遇问题追及问题环形跑道问题这种问题有两种类型：同向和背向。当同向出发时，相当于追及问题；当反向出发时，相当于相遇问题。假设甲、乙两人同时从A地出发，同向而行，则快者第一次追上慢者时，快者比慢者多跑一圈路程。即：S甲-S乙=1圈长甲乙假设甲、乙两人同时从A地出发，背向而行，则两人第一次相遇时，两人所走路程之和等于一圈长。即：S甲+S乙=1圈长AA甲乙例1、小张和小王各以一定速度，在周长为500米的环形跑道上跑步，已知小王的速度是200米/分钟。（1）小张和小王同时从同一地点出发反向跑步，1分钟后两人第一次相遇，小张的速度是多少米/分钟？（2）小张和小王同时从同一地点出发，同一方向跑步，小张跑多少圈后才能第一次追上小王？解析：（1）同时同地反向出发，是相遇问题。S和=V和·t遇500米1分钟第一次相遇两人合跑一圈，即合跑500米；t遇=1分钟，那么就可求出速度和：500÷1=500（米/分钟）小张的速度：500-200=300（米/分钟）（2）同时同地同向出发，是追及问题。S差=V差·t追500米（300-200）米/分钟小张跑了多少圈：1500÷500=3（圈）小王小张小张第一次追上小王，比小王多跑一圈，即S差是500米，速度差也可算出来，那么可求出追及时间：500÷（300-200）=5（分钟）小张共跑了多少米：300×5=1500（米）例2、如图，A、B是圆的直径的两端，小张在A点、小王在B点同时出发反向行走，他们在C点第一次相遇，C离A点80米；在D点第二次相遇，D点离B点60米，求这个圆的周长。解析：假设用1份时间ABDC用2份时间合计共合走一圈半共用3份时间第一次相遇时，小张从A走到C，走了80米（即他在1份时间里走80米）小结：通过这个题的理解，我们要掌握“倍比”的思想。S=V·t，速度不变时，（1）时间增倍，那么所走的路程一定也增倍。（2）路程增倍，所花的时间一定也增倍。答：这个圆的周长为360米。第一次相遇合走半圈第二次相遇又合走一圈那么到第二次相遇时，小张从A到D（共用了3份时间）一共走了：80×3=240（米）。所以这个圆的半圈长：240-60=180(米)故，圆的周长为：180×2=360（米）小张小王巍巍、铮铮两人在400米的环形跑道上跑步，巍巍以300米/分钟的速度从起点跑出，1分钟后，铮铮从起点同向跑出；又过了5分钟，巍巍追上铮铮。问：铮铮每分钟跑多少米？如果他们的速度保持不变，巍巍需要再过多少分钟才能第二次追上铮铮？（2）从第一次追上到第二次追上，巍巍比铮铮还要多跑一圈。根据S差=V差·t追，可以求出此时的追及时间：400÷20=20（分）铮铮巍巍解析：（1）巍巍先跑1分钟，他已经跑了300米，这时他和铮铮“同时”跑，5分钟后巍巍追上铮铮。我们知道是巍巍跑得快，那么第一次的追及路程差是：400-300=100（米）根据S差=V差·t追，可以求出两人的速度差：100÷5=20（米/分）那么，铮铮的速度：300-20=280（米/分）环形跑道问题—追及问题甲乙在同一地点出发，同向而行（甲快，乙慢），当甲追上乙时，比乙多跑了一圈。（第一次甲追上乙）这时，我们可以看做甲乙在同一地点出发，同向而行，当甲再次追上乙时，又比乙多跑了一圈。（第二次追上时）……从而我们可以发现，每追上一次，甲就比乙多跑一圈，因此，追上的次数就等于多跑的圈数。（第N次追上时）甲总路程-乙总路程=跑道的一个周长甲总路程-乙总路程=跑道的两个周长甲总路程-乙总路程=跑道周长×N（N表示追上的次数）乙甲环形跑道问题——相遇问题甲乙在同一地点出发，背向而行（甲快，乙慢），当甲与乙第一次相遇时，甲乙共同跑了一圈。由相遇问题，我们有甲跑的总路程+乙跑的总路程=跑道周长同样，我们可以把他们相遇的地点作为起点来看，第二次相遇的时候，甲乙共同又跑了一圈，甲和乙总共跑了两圈，有：甲跑的总路程+乙跑的总路程=跑道周长×2……从而我们可以发现，每相遇一次，甲乙就共同多跑了一圈，因此，相遇的次数就等于共同跑的圈数。甲总路程+乙总路程=跑道周长×N（N表示追上的次数）甲乙例3、幸福村小学有一条200米长的环形跑道，冬冬和晶晶同时从起跑线起跑，冬冬每秒钟跑6米，晶晶每秒钟跑4米，问：（1）冬冬第1次追上晶晶时两人各跑了多少米？（2）冬冬第2次追上晶晶时两人各跑了多少圈？（2）冬冬第2次追上晶晶，冬冬所跑的路程：600×2=1200（米）冬冬所跑的圈数：1200÷200＝6（圈）晶晶所跑的圈数：（400×2）÷200＝4（圈）解：（1）冬冬第1次追上晶晶，所需要的时间：200÷（6－4）＝100（秒）冬冬跑的路程应为：6×100＝600（米）晶晶所跑的路程为：4×100＝400（米）海海、佳佳在湖的周围环形道上练习长跑，海海每分钟跑250米，佳佳每分钟跑200米，两人同时同地同向出发，经过45分钟海海追上佳佳；如果两人同时同地反向出发，经过多少分钟两人相遇？解：两人同时同地同向出发，是追及问题。追及路程=速度差×追及时间即这个环形跑道长：（250-200）×45＝2250（米）两人同时同地反向出发，是相遇问题。总路程=速度和×相遇时间2250米（250+200）米/分钟2250÷（250+200）=5（分钟）答：如果两人同时同地反向出发，经过5分钟两人相遇。流水行船问题船在水中航行时，除了自身的速度外，还受到水流的影响，在这种情况下计算船只的航行速度、时间和行程，研究水流速度与船只自身速度的相互作用问题，叫作流水行船问题。水速=顺水速度-船速船速=顺水速度-水速水速=船速-逆水速度船速=逆水速度+水速水速=（顺水速度-逆水速度）÷2船速=（顺水速度+逆水速度）÷2船速＋水速-(船速-水速)=顺水速度-逆水速度船速+水速-船速+水速=顺水速度-逆水速度2水速=（顺水速度-逆水速度）船速＋水速+(船速-水速)=顺水速度+逆水速度船速+水速-船速+水速=顺水速度-逆水速度2船速=（顺水速度+逆水速度）例1、船往返于相距180千米的两港之间，顺水而下要用10小时，逆水而上要用15小时。由于暴雨后水速增加，该船顺水而行只要9小时，那么暴雨后水速增加了多少？逆水而行要几小时?暴雨后船逆水而上需用的时间为：180÷（15-5）=18（小时）船在静水中的速度是：（180÷10+180÷15）÷2=15（千米/小时）暴雨前的水速是：（180÷10-180÷15）÷2=3（千米/小时）暴雨后的水速是：180÷9-15=5（千米/小时）答：暴雨后水速增加了2千米/小时，逆水而行要18小时。暴雨后水速增加了：5-3=2（千米/小时）分析与解②同样道理，如果两只船同向运动，一只船追上另一只船所用的时间，与水速无关。甲船顺水速度-乙船顺水速度=（甲船速+水速）-（乙船速+水速）=甲船速-乙船速流水行船问题中的相遇与追及：①两只船在河流中相遇问题，甲、乙两船（甲在上游、乙在下游）在江河里相向开出：甲船顺水速度+乙船逆水速度=（甲船速+水速）＋（乙船速-水速）=甲船速+乙船速也有：甲船逆水速度-乙船逆水速度=（甲船速-水速）-（乙船速-水速）=甲船速-乙船速两船在水中的相遇与追及问题同在静水中以及两车在陆地上的相遇与追及问题一样，与水速无关。例2、甲、乙两船在同一条河上相距128千米，若两船相向而行，2小时相遇；若两船同向而行，16小时甲赶上乙。求两船在静水中的速度各是多少？已知两船相遇和追及的时间，可以分别求出速度和与速度差。甲、乙两船相遇时，速度和：128÷2=64（千米/小时）甲船赶上乙船时，速度差：128÷16=8（千米/小时）甲速：（64+8)÷2=36(千米/小时）乙速：64-36=28（千米/小时）答：甲船的速度是36千米/小时，乙船的速度是28千米/小时。分析与解小刚和小强租一条小船向上游划去，不慎把水壶掉进江中，当他们发现并调过船头时，水壶与船已经相距2千米。假定小船的速度是每小时4千米，水流速度是每小时2千米，那么他们追上水壶需要多少时间？2÷(4+2-2)=0.5(小时）答：他们追上水壶需要0.5小时。桥长车长+过桥所走路程火车过桥时间是指从车头上桥起到车尾离桥所用的时间，因此火车过桥的路程是桥长与车身长度之和。=（6）车长＝车速×通过时间－桥长火车过桥问题的一般数量关系：（4）通过时间＝（桥长＋车长）÷车速（5）桥长＝车速×通过时间－车长（3）车速＝（桥长＋车长）÷通过时间（1）路程＝桥长＋车长（2）（桥长＋车长）=车速×通过时间一列火车长600米，以每分钟900米的速度通过一座长1200米的大桥，从车头上桥到车尾离开要多少分钟？车头上桥路程＝车长+桥长车速×通过时间＝车长+桥长火车的车长（600+1200）÷900=2（分钟）答：火车从车头上桥到车尾离开需要2分钟。1、人不动，火车与人错身时，把人看做一个点，路程为火车本身长度；2、人与火车相对而行，火车与人错身时，路程和为火车车长；3、人与火车同向而行，火车与人错身时，路程差为火车车长。议一议例1、一列火车长119米，它以每秒15米的速度行驶，小华以每秒2米的速度从对面走来，经过几秒钟后火车从小华身边通过？解：相距的距离就是一个火车车长：119米火车与小华的速度和：15+2=17（米/秒）经过时间：119÷17=7（秒）答：经过7秒钟后火车从小华身边通过。练一练:某人沿着铁路边的便道步行，一列