41 矩阵的特征值和特征向量总结

第4章矩阵的特征值与特征向量4.1矩阵的特征值与特征向量4.2矩阵的相似对角化4.3对称矩阵的相似对角化§4.1矩阵的特征值与特征向量4.1.1特征值与特征向量的概念4.1.2特征值与特征向量的求法4.1.3特征值与特征向量性质1.给定n阶方阵A,是否存在n维非零列向量使得A与成比列?2.如果存在的话,这样的向量怎样求?问题:1211,,4320A55,10121432A12143.014Ak可见,A与成比列,但Aβ与β不成比列.4.1.1特征值与特征向量的概念定义：设A是n阶矩阵，如果数λ0和n维非零列向量满足A=λ0，那么数λ0称为矩阵A的特征值，非零列向量称为A对应于特征值λ0的特征向量．例：则λ=1为的特征值，为对应于l=1的特征向量.3422123113423211.只有方阵才讨论特征值和特征向量.2.方阵的属于同一个特征值的特征向量不唯一.事实上,方阵的属于特征值的特征向量的任意非零倍数仍然是属于这个特征值的特征向量;进一步,方阵的属于同一个特征值的若干个特征向量的任意非零线性组合仍然是属于这个特征值的特征向量.3.特征向量只能属于一个特征值.事实上,若是A的属于特征值λ1与λ2的特征向量,则A=λ1,A=λ2,≠0,从而(λ1-λ2)=0.因此λ1=λ2.注:定义：设A是n阶矩阵，如果数λ0和n维非零列向量满足A=λ0，那么数λ0称为矩阵A的特征值，非零列向量称为A对应于特征值λ0的特征向量．A=λ0=λ0E非零向量满足(λ0E−A)=0齐次线性方程组(λ0E−A)x=0有非零解系数行列式|λ0E−A|=04.1.2特征值与特征向量的求法λ0是关于λ的方程|λE−A|=0的根特征方程特征多项式•特征方程|λE−A|=0•特征多项式|λE−A|=f(λ)111212122212||0nnnnnnaaaaaaEAaaallllA=λ0=λ0EA的特征值λ0是特征方程|λE−A|=0的一个根A的属于特征值λ0的特征向量是齐次线性方程组(λ0E−A)x=0的一个非零解例1：求矩阵的特征值和特征向量．解：A的特征多项式为所以A的特征值为λ1=2，λ2=4．当λ1=2时，解齐次线性方程组(2E−A)x=0，即解得基础解系．3113A2231||(3)186(4)(2)13EAllllllll1222310130xx12110110xx111k11(k1≠0)就是属于2的所有特征向量．例1：求矩阵的特征值和特征向量．解：A的特征多项式为所以A的特征值为λ1=2，λ2=4．当λ2=4时，解齐次线性方程组(4E−A)x=0，即解得基础解系．3113A1244310130xx12110110xx211k22（k2≠0）就是属于4的所有特征向量．2231||(3)186(4)(2)13EAllllllll特征值和特征向量的求法1.求特征方程|λE−A|=0的所有根,它们就是A的所有特征值;2.对A的每一个特征值λi，解齐次线性方程组(λiE−A)x=0,求出它的一个基础解系1,2,...,s,它们就是A的属于特征值λi的线性无关的特征向量；3.A的属于特征值λi的全部特征向量是方程组(λiE−A)x=0的所有非零解c11+c22+…+css，其中c1,c2,…,cs是不全是零的任意数.例2：求矩阵的特征值和特征向量．解：所以A的特征值为λ1=−1，λ2=λ3=5．2212012430(5)43505(5)(45)(1)(5)EAllllllllllll120430505A例2：求矩阵的特征值和特征向量．解（续）：当λ1=−1时，因为解方程组(E+A)x=0．解得基础解系．16105220644001,5506000EAEAl1665k11（k1≠0）就是对应的特征向量．120430505A例2：求矩阵的特征值和特征向量．解（续）：当λ2=λ3=5时，因为解方程组(5E−A)x=0．解得基础解系．k22（k2≠0）就是对应的特征向量．4201005420010500000EA2001120430505A例3：求矩阵的特征值和特征向量．解：所以A的特征值为λ1=−1，λ2=λ3=2．211020413A2221121020(2)43413(2)(2)(1)(2)EAllllllllllll例3：求矩阵的特征值和特征向量．解（续）：当λ1=−1时，因为解方程组(E+A)x=0．解得基础解系．211020413A1111101030010414000rEAEAl1101k11（k1≠0）就是对应的特征向量．例3：求矩阵的特征值和特征向量．解（续）：当λ2=λ3=2时，因为解方程组(2E−A)x=0．解得基础解系．k22+k33（k2,k3不同时为零）就是对应的特征向量．211020413A4114112000000411000rEA23100,141注矩阵或者没有重特征值,即都是单特征值(见例1),或者有重特征值(见例2,3).对于重特征值λ,非对称矩阵的属于λ的线性无关的特征向量的个数或者小于λ的重数(见例2),或者等于λ的重数(见例3).一般地,矩阵的属于特征值的线性无关的特征向量的个数不超过这个特征值的重数.在第3节将看到,对称矩阵的属于重特征值的线性无关的特征向量的个数等于这个重特征值的重数.例1：求矩阵的特征值和特征向量．A的特征值为λ1=2，λ2=4．3113A例2：求矩阵的特征值和特征向量．A的特征值为λ1=−1，λ2=λ3=5．120430505Aλ1+λ2=6λ1λ2=8a11+a22=6|A|=8λ1+λ2+λ3=9λ1λ2λ3=-25a11+a22+a33=9|A|=-254.1.3特征值与特征向量的性质性质1设n阶矩阵A的特征值为λ1,λ2,…,λn，则λ1+λ2+…+λn=a11+a22+…+annλ1λ2…λn=|A|即:方阵的所有特征值的和等于这个方阵的主对角线上元素的和;方阵的所有特征值的乘积等于这个方阵的行列式.推论1方阵是可逆阵当且仅当它的所有特征值都不是零;方阵是不可逆阵当且仅当零是它的一个特征值.设f(λ)=asλs+…+a1λ+a0是关于λ的多项式.令A是方阵,矩阵asAs+…+a1A+a0E记为f(A),即f(A)=asAs+…+a1A+a0E注f(A)是把f(λ)中逢λ换为A,而常数项a0要换成矩阵a0E矩阵多项式性质2设λ0是方阵A的特征值,是A的属于λ0的特征向量.则①λ02是A2的特征值,是A2的属于λ02的特征向量;进一步,λ0k是Ak的特征值,是Ak的属于λ0k的特征向量;②f(λ0)是f(A)的特征值,是f(A)的属于f(λ0)的特征向量,其中f(λ)是多项式;③若A是可逆阵,则λ0-1是A−1的特征值,是A−1的属于λ0-1的特征向量;④若A是可逆阵,则f(λ0)+g(λ0-1)是f(A)+g(A−1)的特征值,是f(A)+g(A−1)的属于f(λ0)+g(λ0-1)的特征向量,其中f(λ),g(λ)是多项式.例：设3阶方阵A的特征值为1,−1,2，求A*+3A−2E的特征值．解：A*+3A−2E=|A|A−1+3A−2E=−2A−1+3A−2E=f(A)其中|A|=1×(−1)×2=−2．设λ是A的一个特征值，p是对应的特征向量．令则2()32flll11()(232)2()3()2223232()fApAAEpApAppppppfplllll性质3方阵与它的转置矩阵具有相同的特征值定理1方阵的属于不同特征值的特征向量线性无关.即,设λ1,λ2,…,λs是方阵A的特征值，p1,p2,…,ps依次是与之对应的特征向量，如果λ1,λ2,…,λs各不相同，则p1,p2,…,ps线性无关．定理2设λ1,λ2,…,λs是方阵A的特征值，i1,i2,…,iki是A的属于λi的线性无关的特征向量，i=1,2,….,s,则向量组11,12,…,1k1,21,22,…,2k2,…,s1,s2,…,sks线性无关．注1.属于不同特征值的特征向量是线性无关的．2.属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量．3.矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的，一个特征值具有的特征向量不唯一；一个特征向量不能属于不同的特征值．已知特征值或特征向量反求矩阵中的参数的方法仅给出矩阵的特征值根据特征值是特征方程|λE−A|=0的根,求得所含参数;给出矩阵的特征向量,且所给出的特征向量有可能也含参数根据定义A=λ写出含参数的方程组,然后解方程组求得所含参数,同时求得特征向量所对应的特征值.