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1-3-1.定义新运算.题库学生版page1of10定义新运算这类题目是在考验我们的适应能力,我们大家都习惯四则运算,定义新运算就打破了运算规则,要求我们要严格按照题目的规定做题.新定义的运算符号,常见的如△、◎、※等等,这些特殊的运算符号,表示特定的意义,是人为设定的.解答这类题目的关键是理解新定义,严格按照新定义的式子代入数值,把定义的新运算转化成我们所熟悉的四则运算。一定义新运算基本概念:定义一种新的运算符号,这个新的运算符号包含有多种基本(混合)运算。基本思路:严格按照新定义的运算规则,把已知的数代入,转化为加减乘除的运算,然后按照基本运算过程、规律进行运算。关键问题:正确理解定义的运算符号的意义。注意事项:①新的运算不一定符合运算规律,特别注意运算顺序。②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。我们学过的常用运算有:+、-、×、÷等.如:2+3=52×3=6都是2和3,为什么运算结果不同呢?主要是运算方式不同,实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法,对应法则不同就是不同的运算.当然,这个对应法则应该是对任意两个数,通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求,不同的法则就是不同的运算.在这一讲中,我们定义了一些新的运算形式,它们与我们常用的“+”,“-”,“×”,“÷”运算不相同.二定义新运算分类1.直接运算型2.反解未知数型3.观察规律型4.其他类型综合模块一、直接运算型【例1】若*AB表示3ABAB,求5*7的值。定义新运算教学目标知识点拨例题精讲1-3-1.定义新运算.题库学生版page2of10【巩固】定义新运算为a△b=(a+1)÷b,求的值。6△(3△4)【巩固】设a△2baab,那么,5△6______,(5△2)△3_____.【巩固】P、Q表示数,*PQ表示2PQ,求3*(6*8)【巩固】已知a,b是任意自然数,我们规定:a⊕b=a+b-1,2abab,那么4(68)(35).【巩固】MN表示()2,(20082010)2009MN____【巩固】规定运算“☆”为:若ab,则a☆b=a+b;若a=b,则a☆b=a-b+1;若ab,则a☆b=a×b。那么,(2☆3)+(4☆4)+(7☆5)=。【例2】“△”是一种新运算,规定:a△b=a×c+b×d(其中c,d为常数),如5△7=5×c+7×d。如果1△2=5,2△3=8,那么6△1OOO的计算结果是________。【巩固】对于非零自然数a和b,规定符号的含义是:ab=mab2ab+(m是一个确定的整数)。如果14=23,那么34等于________。【例3】对于任意的整数x与y定义新运算“△”:6=2xyxyxy,求2△9。1-3-1.定义新运算.题库学生版page3of10【巩固】“*”表示一种运算符号,它的含义是:111xyxyxyA,已知11221212113A,求19981999。【例4】[A]表示自然数A的约数的个数.例如4有1,2,4三个约数,可以表示成[4]=3.计算:([18][22])[7]=.【巩固】x为正数,x表示不超过x的质数的个数,如5.1=3,即不超过5.1的质数有2,3,5共3个.那么19+93+4×1×8的值是.【巩固】定义运算“△”如下:对于两个自然数a和b,它们的最大公约数与最小公倍数的和记为a△b.例如:4△6=(4,6)+[4,6]=2+12=14.根据上面定义的运算,18△12=.【例5】我们规定:符号表示选择两数中较大数的运算,例如:53=35=5,符号△表示选择两数中较小数的运算,例如:5△3=3△5=3,计算:1523(0.6)(0.625)23353411(0.3)(2.25)996的结果是多少?【巩固】规定:符号“&”为选择两数中较大数的运算,“◎”为选择两数中较小数的运算。计算下式:[(7◎3)&5]×[5◎(3&7)]1-3-1.定义新运算.题库学生版page4of10【巩固】我们规定:A○B表示A、B中较大的数,A△B表示A、B中较小的数。则108651120=△△○13+15△【例6】如果规定a※b=13×a-b÷8,那么17※24的最后结果是______。【巩固】若用G(a)表示自然数a的约数的个数,如:自然数6的约数有1、2、3、6,共4个,记作G(6)=4,则G(36)+G(42)=。【巩固】如果&10abab,那么2&5。【例7】“华”、“杯”、“赛”三个字的四角号码分别是“2440”、“4199”和“3088”,将“华杯赛”的编码取为244041993088,如果这个编码从左起的奇数位的数码不变,偶数位的数码改变为关于9的补码,例如:0变9,1变8等,那么“华杯赛”新的编码是________.【例8】羊和狼在一起时,狼要吃掉羊.所以关于羊及狼,我们规定一种运算,用符号△表示:羊△羊=羊;羊△狼=狼;狼△羊=狼;狼△狼=狼,以上运算的意思是:羊与羊在一起还是羊,狼与狼在一起还是狼,但是狼与羊在一起便只剩下狼了。小朋友总是希望羊能战胜狼.所以我们规定另一种运算,用符号☆表示:羊☆羊=羊;羊☆狼=羊;狼☆羊=羊;狼☆狼=狼,这个运算的意思是:羊与羊在一起还是羊,狼与狼在一起还是狼,但由于羊能战胜狼,当狼与羊在一起时,它便被羊赶走而只剩下羊了。对羊或狼,可以用上面规定的运算作混合运算,混合运算的法规是从左到右,括号内先算.运算的结果或是羊,或是狼.求下式的结果:羊△(狼☆羊)☆羊△(狼△狼)【例9】一般我们都认为手枪指向谁,谁好像是有危险的,下面的规则同学们能看懂吗规定:警察小偷警察,警察小偷小偷.那么:(猎人小兔)(山羊白菜).1-3-1.定义新运算.题库学生版page5of10模块二、反解未知数型【例10】如果a△b表示(2)ab,例如3△4(32)44,那么,当a△5=30时,a=.【巩固】规定新运算※:a※b=3a-2b.若x※(4※1)=7,则x=.【巩固】如果a⊙b表示32ab,例如4⊙5=3×4-2×5=2,那么,当x⊙5比5⊙x大5时,x=【巩固】对于数a、b、c、d,规定,a、b、c、d=2ab-c+d,已知1、3、5、x=7,求x的值。【例11】定义新运算为1aabb,⑴求2(34)的值;⑵若41.35x则x的值为多少?【巩固】对于任意的两个自然数a和b,规定新运算:(1)(2)(1)abaaaab,其中a、b表示自然数.如果(3)23660x,那么x等于几?【例12】定义ab为a与b之间(包含a、b)所有与a奇偶性相同的自然数的平均数,例如:714=(7+9+11+13)4=10,1810=(18+16+14+12+10)5=14.在算术(1999)=80的方格中填入恰当的自然数后可使等式成立,那么所填的数是多少?【巩固】如有a#b新运算,a#b表示a、b中较大的数除以较小数后的余数.例如;2#7=1,8#3=2,9#16=7,1-3-1.定义新运算.题库学生版page6of1021#2=1.如(21#(21#x))=5,则x可以是________(x小于50)【例13】已知x、y满足[]2009xy,{}20.09yy;其中[]x表示不大于x的最大整数,{}x表示x的小数部分,即{}[]xxx,那么x。【例14】规定:A○B表示A、B中较大的数,A△B表示A、B中较小的数.若(A○5+B△3)×(B○5+A△3)=96,且A、B均为大于0的自然数,A×B的所有取值为.(8级)模块三、观察规律型【例15】如果1※2=1+112※3=2+22+2223※4=3+33+333+333+3333计算(3※2)×5。【巩固】规定:6※2=6+66=722※3=2+22+222=246,1※4=1+11+111+1111=1234.7※5=【例16】有一个数学运算符号,使下列算式成立:248,5313,3511,9725,求73?【巩固】规定a△b(2)(1)aaab,计算:(2△1)(11△10)______.1-3-1.定义新运算.题库学生版page7of10【例17】一个数n的数字中为奇数的那些数字的和记为Sn,为偶数的那些数字的和记为En,例如134134S,1344E.12(100)SSS;(1)(2)100EEE=.模块四、综合型题目【例18】已知:10△3=14,8△7=2,43△141,根据这几个算式找规律,如果85△x=1,那么x=.【例19】如果a、b、c是3个整数,则它们满足加法交换律和结合律,即⑴abba;⑵()()abcabc。现在规定一种运算*,它对于整数a、b、c、d满足:(,)*(,)(,)abcdacbdacbd。例:(4,3)*(7,5)(4735,4735)(43,13)请你举例说明,*运算是否满足交换律、结合律。【例20】用a表示a的小数部分,a表示不超过a的最大整数。例如:0.30.3,0.30;4.50.5,4.54记2()21xfxx,请计算11,;1,133ffff的值。1-3-1.定义新运算.题库学生版page8of10【例21】在计算机中,对于图中的数据(或运算)的读法规则是:先读第一分支圆圈中的,再读与它相连的第二分支左边的圆圈中的,最后读与它相连的第二分支右边的圆圈中的,也就是说,对于每一个圆圈中的数据(或运算)都是按中→左→右的顺序。如:图A表示:2+3,B表示2+3×2-1。图C中表示的式子的运算结果是________。【例22】64222222表示成646f;24333333表示成2435g.试求下列的值:(1)128f(2)(16)()fg(3)()(27)6fg;(4)如果x,y分别表示若干个2的数的乘积,试证明:()()()fxyfxfy.【例23】对于任意有理数x,y,定义一种运算“※”,规定:x※y=axbycxy,其中的,,abc表示已知数,等式右边是通常的加、减、乘运算.又知道1※2=3,2※3=4,x※m=x(m≠0),则m的数值是_________。【巩固】x、y表示两个数,规定新运算“*”及“△”如下:x*y=mx+ny,x△y=kxy,其中m、n、k均为自然数,已知1*2=5,(2*3)△4=64,求(1△2)*3的值.【例24】对于任意的两个自然数a和b,规定新运算:ab(1)(2)(1)aaaab,其中a、b表示自然数.⑴求1100的值;⑵已知x1075,求x为多少?⑶如果(x3)2121,1-3-1.定义新运算.题库学生版page9of10那么x等于几?【巩固】两个不等的自然数a和b,较大的数除以较小的数,余数记为a☉b,比如5☉2=1,7☉25=4,6☉8=2.(8级)(1)求1991☉2000,(5☉19)☉19,(19☉5)☉5;(2)已知11☉x=2,而x小于20,求x;(3)已知(19☉x)☉19=5,而x小于50,求x.【例25】设a,b是两个非零的数,定义a※babba.(1)计算(2※3)※4与2※(3※4).(2)如果已知a是一个自然数,且a※3=2,试求出a的值.【巩固】定义运算“⊙”如下:对于两个自然数a和b,它们的最大公约数与最小公倍数的差记为a⊙b.比如:10和14,最小公倍数为70,最大公约数为2,则10⊙14=70-2=68.(1)求12⊙21,5⊙15;(2)说明,如果c整除a和
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