最新《力学》漆安慎(第二版)答案09章

第9章振动习题解答力学（第二版）漆安慎课后答案1力学（第二版）漆安慎习题解答第九章振动第9章振动习题解答力学（第二版）漆安慎课后答案2第九章一、基本知识小结⒈物体在线性回复力F=-kx，或线性回复力矩τ=-cφ作用下的运动就是简谐振动，其动力学方程为,02022xdtxd（x表示线位移或角位移）；弹簧振子：ω02=k/m，单摆：ω02=g/l，扭摆：ω02=C/I.⒉简谐振动的运动学方程为x=Acos(ω0t+α)；圆频率、频率、周期是由振动系统本身决定的，ω0=2π/T=2πv；振幅A和初相α由初始条件决定。⒊在简谐振动中，动能和势能互相转换，总机械能保持不变；对于弹簧振子，22021221AmkAEEpk。⒋两个简谐振动的合成分振动特点合振动特点方向相同，频率相同与分振动频率相同的简谐振动Δα=±2nπ合振幅最大Δα=±(2n+1)π合振幅最小方向相同，频率不同，频率成整数比不是简谐振动，振动周期等于分振动周期的最小公倍数方向相同，频率不同，频率较高，又非常接近出现拍现象，拍频等于分振动频率之差方向垂直，频率相同运动轨迹一般为椭圆Δα=±2nπ简谐振动（ⅠⅢ象限）Δα=±(2n+1)π简谐振动(ⅡⅣ象限)方向垂直，频率不同，频率成整数比利萨如图形，花样与振幅、频率、初相有关⒌阻尼振动的动力学方程为022022xdtdxdtxd。其运动学方程分三种情况：⑴在弱阻尼状态（β＜ω0），振动的方向变化有周期性，220'),'cos(tAext，对数减缩=βT’.⑵在过阻尼状态（β＞ω0），无周期性，振子单调、缓慢地回到平衡位置。⑶临界阻尼状态（β=ω0），无周期性，振子单调、迅速地回到平衡位置⒍受迫振动动力学方程tfxdtdxdtxdcos202022；其稳定解为)cos(0tAx，ω是驱动力的频率，A0和φ也不是由初始条件决定,222220004)(/fA2202tg当2202时，发生位移共振。第9章振动习题解答力学（第二版）漆安慎课后答案3二、思考题解答9.1什么叫做简谐振动？如某物理量x的变化规律满足cos()xAptq，A，p，q，均为常数，能否说作简谐振动？答：质点在线性回复力作用下围绕平衡位置的运动叫做简谐振动。如果质点运动的动力学方程式可以归结为22020dxxdtw+=的形式，其中0w决定于振动系统本身的性质，则质点做简谐振动9.2如果单摆的摆角很大，以致不能认为sin，为什么它的摆动不是简谐振动？答：因为当单摆的摆角很大不能认为sin时，单摆的动力学方程不能化为简谐振动的动力学，所以它的摆动不是简谐振动。9.3在宇宙飞船中，你如何测量一物体的质量？你手中仅有一已知其劲度系数的弹簧答：用秒表测出物体做在竖直放置时的简谐振动周期，利用公式可以算出弹簧的劲度系数将弹簧振子的弹簧剪掉一半，其振动频率将如何变化？9.4将汽车车厢和下面的弹簧视为一沿竖直方向运动的弹簧振子，当有乘客时，其固有频率会有怎样的变化？答：周期将变大9.5、简谐振动的动力学特征为何？02xx9.6二互相垂直的简谐振动的运动学方程为101cos()xAt，202)cos(yAt，若质点同时参与上述二振动，且212，质点将沿什么样的轨道怎样运动？合振动的轨迹为以x和y为轴的椭圆。这里又可分为两种情况，212时y方向的振动比x方向的振动超前，质点沿椭圆逆时计方向运动。9.7、同方向同频率的简谐振动的合成后是简谐振动吗？为什么？其合成的振幅有何特点？答：同方向同频率的两个间谐振动合成后仍为一间谐振动，其频率与分振动频率相同。，合振动的振幅与初相位A,a由分振动的振幅和初相位12,AA，第9章振动习题解答力学（第二版）漆安慎课后答案49.8、什么是阻尼振动？尼振动有几种？答：振动系统的振动能总要逐渐减少，因此实际发生的一切自由振动振幅总是逐渐减少以至于0的这种振动称为阻尼振动。（1.）欠阻尼振动状态（2）.过阻尼振动状态（3）.临界阻尼振动状态9.9、什么是拍现象？答：振动方向相同，频率之和运大于频率之差的两个间谐振动合成时，合振动振幅周期变化的现象叫拍。9.10、什么是共振现象？其发生的条件为何？答：振动系统受迫振动时其振幅达极值的现象叫位移共振。共振时驱动力的原频率为2202rwwb=-是当2202时，发生位移共振；9.11试说明下列运动是不是简谐运动：（1）小球在地面上作完全弹性上下跳动。（2）小球在半径很大的光滑凹球面底部作小幅度的摆动。（3）曲柄连杆机构是活塞作往复运动。（4）小磁针在地磁的南北方向附近摆动。答：简谐振动的运动学特征是：振动物体的位移（角位移）随时间按余弦或正弦函数规律变化；动力学特征是：振动物体所受的合力（合力矩）与物体偏离平衡位置的位移（角位移）成正比而反向。从能量角度看，物体在系统势能最小值附近小范围的运动是简谐振动。所以：（1）不是简谐运动，小球始终受重力，不满足上述线性回复力特征。（2）是简谐振动。小球只有在“小幅度”摆动时才满足上述特征。（3）不是简谐振动。活塞所受的力与位移成非线性关系，不满足上述动力学特征。（4）是简谐振动。小磁针只有在“小幅度”摆动时才满足上述特征。9.12简谐振动的速度和加速度在什么情况下是同号的？在什么情况下是异号的？加速度为正值时，振动质点的速率是否一定在增加？反之，加速度为负值时，速率是否一定在减小？第9章振动习题解答力学（第二版）漆安慎课后答案5答：简谐振动物体速度的相位超前加速度2，加速度与位移反向，利用旋转矢量法分析，图像更为直线。在振动物体沿位移的正方向向平衡位置运动时，对应的旋转矢量位于第一象限，振动物体的速度和加速度同号，都为负；当振动物体沿位移的负方向向平衡位置移动时，对应的旋转矢量位于第三象限，振动物体的速度和加速度同号，都为正。加速度为正值时，对应的旋转矢量位于第二象限和第三象限。当物体由平衡位置沿位移的负方向运动（第二象限）时，振动物体的速率在减小；当物体沿位移的负方向向平衡位置运动（第三象限）时，振动物体的速率在增大。加速度为负值时，对应的旋转矢量位移位于第一象限和第四象限。当物体由平衡位置沿位移的正方向运动（第四象限）时，振动物体的速率在减小；当物体沿位移的正方向向平衡位置运动（第一象限）时，振动物体的速率在增大。9.13一劲度系数为k的弹簧和一质量为m的物体组成一振动系统，若弹簧本生的质量不计，弹簧的自然长度为0l，物体与平面以及斜面间的摩擦力不计。在如图所示的三种情况中，振动周期是否相同。（a）(b)答：对如图（a）所示的三种情况分别对m作受力分析可知：振动系统的平衡位置不同，振动周期相同（系统固有性质不变，km）。以图示斜面上的弹簧振子为例作受力分析。取坐标系xO沿斜面向下为正，坐标原点取在弹簧原长处，设连接物体后弹簧的净伸长量为b，t时刻物体的位移为x如图（b）所示，有sin0mgkb，222()()dxkxbxbdtm，得222()()dxkxbxbdtm，其中2km，为振动的角频率，令'xxb，即有222''dxxdt可见，斜面上弹簧振子系统的平衡位置相对弹簧的原长有一平移b，而作简谐振动的角频率不变。第9章振动习题解答力学（第二版）漆安慎课后答案69.14三个完全相同的悬挂着的弹簧振子，在下列各种情况，它们的周期是否相同？如不相同，哪个大，哪个小？（1）第一个在教室里，第二个在匀速前进的火车上，第三个在匀加速水平面前进的火车上。（2）第一个在匀速上升的升降机中，第二个在匀加速上升的升降机中，第三个在匀减速上升的升降机中。（3）第一个在地球上，第二个在绕地球的同步卫星上，第三个在月球上。答：弹簧振子的周期2mTk，m为振子质量，与参考系的运动无关，k为轻弹簧的劲度系数。(1)三个弹簧振子的周期相同，第三个弹簧振子沿'a方向振动，平衡位置不在弹簧原长处。(2)三个弹簧振子的周期相同，因参考系的加速度不同，它们的平衡位置不同。(3)三个弹簧振子的周期相同，因重力加速度大小不同，它们的平衡位置不同。第9章振动习题解答力学（第二版）漆安慎课后答案7三、习题解答9.2.1一刚体可绕水平轴摆动。已知刚体质量为m，其重心C和轴O间的距离为h，刚体对转动轴线的转动惯量为I。问刚体围绕平衡位置的微小摆动是否是简谐振动？如果是，求固有频率，不计一切阻力。解：规定转轴正方向垂直纸面向外，忽略一切阻力，则刚体所受力矩τ=-mghsinφ因为是微小摆动，sinφ≈φ,∴τ=-mghφ，即刚体是在一线性回复力矩作用下在平衡位置附近运动，因而是简谐振动。由转动定理：22/dtIdmgh即，ImghImghImghdtd020,0229.2.2轻弹簧与物体的连接如图所示，物体质量为m，弹簧的劲度系数为k1和k2，支承面为理想光滑面，求系统振动的固有频率。解：以平衡位置为原点建立坐标o-x。设m向右偏离平衡位置x，则弹簧1被拉长x，弹簧2被压缩x，m所受的合力（即回复力）xkkF)(21.由牛顿第二定律：0,)(21222221xmxkkmkkdtxddtxdmkkmkk2121020,9.2.3一垂直悬挂的弹簧振子，振子质量为m，弹簧的劲度系数为k1.若在振子和弹簧k1之间串联另一弹簧，使系统的频率减少一半。问串联上的弹簧的劲度系数k2应是k1的多少倍？解：以两个弹簧串联后m的平衡位置为原点建立图示坐标o-x,设m向下偏离平衡位置x，弹簧1伸长ΔL1，弹簧2伸长ΔL2，ΔL1+ΔL2=x(1)；由于忽略弹簧质量,两个弹簧连接点处所受的两个弹力等大反向，即k1ΔL1=k2ΔL2(2)；由⑴、⑵解得：xLkkk2112，所以m所受的回复力xLkFkkkk212122，由牛顿二定律；222121dtxdkkkkmx，即0)(212122xkkmkkdtxd)(02121'kkmkk，未串联前频率mk10，令0210'，即mkkkmkk1212121)(，可求得：1312kkm第9章振动习题解答力学（第二版）漆安慎课后答案89.2.4单摆周期的研究：⑴单摆悬挂于以加速度a沿水平方向直线行驶的车厢内；⑵单摆悬挂于以加速度a上升的电梯内；⑶单摆悬挂于以加速度a（ag）下降的电梯内。求此三种情况下单摆的周期，摆长为l.解：⑴以车为参考系，单摆受力如图示，设平衡位置与竖直线成α角，由平衡条件：gatgmgTmaT/,cos,sin设单摆偏离平衡位置角位移为θ(θ5°)，单摆所受回复力矩：)sincos()]sin(cos)cos(sin[cossin,sin,1cos,5)]sinsincos(cos)sincoscos(sin[)]cos()sin([agmlagmlagagmlmalmgl由转动定理：)sincos(,222agmlmlIdtd，222222222,,,/sin,/cos,00sincos202222sincosgallgalgalaglagdtdTgaagag以上求解较为麻烦，我们可以用另外一种简捷的思路和方法：在重力场中单摆的周期为glT2，g是重力场强度现在单摆在力场amgmfgmgm*'中振动，力场强度：2222,',''22aglglTaggagg⑵以电梯为参考系，平衡位置仍然在铅直方向，由转动定理：222)(sin)(dtdmllagmlmamgagllaglagdtdT2,,0022同样可以认为单摆在力场amgmgm'中振动