热传导及热辐射大作业

热传导与热辐射大作业解答姓名：学号：11问题描述一矩形平板ax0,by0，内有均匀恒定热源0g，在0x及0y处绝热，在ax及by处保持温度1T，初始时刻温度为0T，如右图1所示：1、求0t时，矩形区域内的温度分布tyxT,,的解析表达式；2、若ma18，mb12，301mWg，K6T001，KT2000，热传导系数KmWk0.1，热扩散系数20.8ms。请根据1中所求温度分布用MATLAB软件绘出下列结果，加以详细物理比较和分析：(a)300s内，在同一图中画出点)4,0(、)8,0(、0,6、)0,12(、)6,9(（单位：m）温度随时间的变化；(b)200s内，画出点)4,18(、)8,18(、12,6、)12,12(、)6,9(（单位：m）处，分别沿x、y方向热流密度值随时间的变化；(c)画出ssssst1501251007550、、、、时刻区域内的等温线；(d)300s内，在同一图中画出点0,9（单位：m）在0g分别等于31mW，32mW，33mW情况下的温度变化；(e)300s内，比较点(9,6)（单位：m）在其它参数不变情况下热导率分别为KmW5.0、KmW0.1和KmW5.1的温度、热流密度变化；(f)300s内，比较点(9,6)（单位：m）在其它参数不变情况下热扩散系数分别为sm24.0、sm28.0和sm22.1的温度、热流密度变化；3、运用有限差分法计算2中(b)、(d)和(e)，并与解析解结果进行比较，且需将数值解与解析解的相对误差减小到1‰以下；4、附上源程序和个人体会；2以报告形式整理上述结果，用A4纸打印上交。2数学描述及解析解该问题的数学描述为：22022110,0,0TTTgxaybtxykt(2.1)其中定解条件为：0TT0,0,0xaybt0Tx0x；1TTxa0Ty0y；1TTya该问题可分解为一个,sTxy的非齐次稳态问题，和一个,,hTxyt的齐次非稳态问题。2.1稳态非齐次问题的求解稳态问题数学描述为：22022100,0ssTTgxaybxyk(2.2)0sTx0x；1sTTxa0sTy0y；1sTTya求解该问题，定义新变量,sxy为20,,2ssgTxyxyxAk(2.3)将式(2.3)代入问题(2.2)可得：222200,0ssxaybxy(2.4)300sxx；2012sgTaAxak00syy；2012sgTxAybk选常数2012gATak,则(2.4)变为：222200,0ssxaybxy(2.5)00sxx；0sxa00syy；2202sgxaybk这是不含内热源的二维稳态问题，用分离变量法求解。,sxy可分离为,sssxyXxYy,分离后问题为：22200ssdXXxadx(2.6)00sdXxdx；0sXxa查M.N.奥齐西克教材中表2-2得到,cossmmXxx，12smNa，其中m是方程cos0ma的正根，即210,1,2,2mmma(2.7)又有22200ssdYYybdy(2.8)00sdYydy解可取为,coshsmmYyy4,sxy的完全解由下式组成：0,coscoshsmmmmxycxy(2.9)利用yb的非齐次边界条件可得2200coscosh2mmmmgxacxbk(2.10)利用正交性求系数mc：22001coscosh2ammmmgcxaxdxNbk(2.11)积分得到：10321coshmmmmgcakb(2.12)代入式(2.9)可得问题(2.5)的解为：103021,1coscoshcoshmsmmmmmgxyxyakb(2.13)代入式(2.3)可以得到稳态问题的解为：2200130211coscosh2coshmsmmmmmggTTxaxykakb(2.14)2.2齐次非稳态问题的求解齐次问题的数学描述为：222210,0,0hhhTTTxaybtxyt(2.15)0,,hsTTTxyfxy0,0,0xaybt0hTx0x；0hTxa0hTy0y；0hTyb5同样使用分离变量法求解。同时假定分离为,,hhhTxyttXxYy的形式。对应与函数hXx和hYy的分离方程为：22200hhdXXxadx(2.16)00hdXxdx；0hXxa222 00hhdYYybdy(2.17)00hdYydy；0hYybt的解为：22tte(2.18)则完全解可表示为：2200,,,,npthnphnhpnpTxytceXxYy(2.19)当0t时，代入初始条件：00,,,nphnhpnpfxycXxYy(2.20)根据M.N.奥齐西克教材中表2-2可查得：,coshnnXxx，12snNa，其中n是方程cos0na的正根，即210,1,2,...2nnna(2.21),coshppYyy，12spbN，其中p是方程cos0pb的正根210,1,2,...2pppb(2.22)6利用这些特征函数的正交性，有001,,,nphnhpxanpybcXxYyfxydxdyNN(2.23)将查表所得数据代入求得0010332241nppnpnpnpnnpgTTgcabkk(2.24)将上式代入(2.20)可得齐次问题的解为：22001033220014,,coscosnpnppnpnpnnphnptnpgTTgkkTxytabexy(2.25)原问题的解可以由下式取得：,,,,,shTxytTxyTxyt(2.26)即222200130001033220021,,1coscosh2cosh14coscosnpmmmmmmnppnpnpnnpnptnpggTxytTxaxykakbgTTgkkabexy(2.27)至此得到了原问题的解析解。3数值方法求解3.1划分网格将矩形区域沿x方向以间隔x等分为M个节点，沿y方向以间隔y等分为N个节点，形成节点网络，其中任意一个节点的温度可表示为,0,0mnTmMnN。时间以步长t计算，即70,1,2,...tptp(3.1)写出节点方程：使用隐式有限差分方程。(1)对于内部节点11111111,1,,,1,1,,,022221ppppppppmnmnmnmnmnmnmnmnTTTTTTTTgktxy(3.2)若取xy，则方程整理为2111110,1,,11,,1,14ppppppmnmnmnmnmnmngFoTFoTTTTTFoxk(3.3)(2)对于绝热边界点在0x的绝热边界1111111,1,1,,,1,,,02222ppppppppmnmnmnmnmnmnmnmnTTTTTTTTxxxyxykkykgcyxyt(3.4)若取xy，则方程整理为211110,1,,1,1,142pppppmnmnmnmnmngFoTFoTTTTFoxk(3.5)同理在0y的绝热边界211110,,11,1,,142pppppmnmnmnmnmngFoTFoTTTTFoxk(3.6)(3)对于定温边界附近的节点在定温边界附近，内部节点方程仍适用，但此时可取,,1MnmNTTT(3.7)具体在xax边界内侧附近11111111,,,1,1,,1,01,,pppppppmnmnmnmnmnmnmnppmnmnTTTTTTTTkykxkykxgxyxyxyTTcxyt(3.8)8并取xy，得211110,1,,1,1,114pppppmnmnmnmnmngFoTFoTTTTFoTFoxk(3.9)同样在ybx边界内侧附近211110,1,1,,1,114pppppmnmnmnmnmngFoTFoTTTTFoTFoxk(3.10)(4)关于四个角点在原点0,0xy处111111,,,1,,,02244ppppppmnmnmnmnmnmnTTTTTTyxxyxykkgcxyt(3.11)若取xy，则方程整理为21110,1,,1,142ppppmnmnmnmngFoTFoTTTFoxk(3.12)同样在0,xybx时21110,1,,1,1142ppppmnmnmnmngFoTFoTTTFoTFoxk(3.13)当,0xaxy时21110,,11,,1142ppppmnmnmnmngFoTFoTTTFoTFoxk(3.14)当,xaxybx时21110,1,,1,1142ppppmnmnmnmngFoTFoTTTFoTFoxk(3.15)3.2确定相关数据在本题中取0.25xym，则72M,48N。取0.02ts。则傅里叶数20.256tFox这里的傅里叶数Fo取得较大，可以看出采用隐式方法求解的无条件收敛性质的便利性。9由于存在定温边界，研究范围为0,0mMnN将二维量,mnT排列为一维形式，作如下变换,imMnmnTTT11,,1;imniMmnTTTT11,,1;imniMmnTTTT(3.16)向量021,,...,,...,ppppiMNTTTTpT则线性方程组p+1pAT=T+b的系数矩阵和常数向量b的元素值分别可取,14iiAFo(3.17),1,,1,iiiiMiiiiMAAAAFo(3.18)20igbFoxk(3.19)特别的，当0,0mnN，即iMn时,12iiAFo(3.20)当0,0mMn，即im时,2iiMAFo(3.21)当1,0mMnN，即1iMMn时20,110;iiigAbFoTFoxk(3.22)当0,1mMnN，即1imMN时20,10;iiMigAbFoTFoxk(3.23)当0,0mn，即0i时,1,2iiiiMAAFo(3.24)10当0,1mn