热传导方程与扩散方程

第二章热传导方程与扩散方程热传导方程在三维空间中，考虑均匀的、各向同性的物体。假定它的内部有热源或汇，并且与周围的介质有热交换，来研究物体内部温度的分布规律。物理模型xyzodSnFourier实验定律:成正比导数法方向的方向度沿曲面与物体温的热量面积流过一个无穷小法线方向内沿物体在无穷小时段nudSdQdSnt.),,(dSdtnuzyxkdQ注：负号是因为热量总是从温度高的一侧流向低的一侧，.异号与故nudQ.,它所包围的区域记为内任取一闭曲面在物体G.),,(2121ttdtdSnuzyxkQtt的全部热量为流进闭曲面到从时刻.)],,,(),,,()[,,(),,(),,,,(),,,(,],[122121dxdydztzyxutzyxuzyxzyxctzyxutzyxutt它所吸收的热量是变化到温度从中在时间间隔.,为密度为比热其中c由热量守恒定律，物体内部无热源时，dxdydzdttuzyxzyxcdxdydzdtzukzyukyxukxtttt2121),,(),,(dxdydztzyxutzyxuzyxzyxcdtdSnuzyxktt)],,,(),,,()[,,(),,(),,(12212112ttttttt通过边界的流入量热量热量交换积分次序210ttdxdydzdtzukzyukyxukxtuc则有热传导的齐次方程均是任意的及注意到,,21tt.0zukzyukyxukxtuc211212tttttttttt热量热量通过边界的流入量热源的生成量若物体内部有热源，程则有热传导的非齐次方).,,,(tzyxfzukzyukyxukxtuc数学模型2(,,,)uaufxyztt二维的情形：22222(,,)uuuafxyttxy一维的情形：222(,)uuafxttx其中：a2=k/Cρ，f(x,y,z,t)=f0/C，222222xyz如果物体是均匀的，且各向同性的，则有定解条件边界条件给定温度函数u(x,y,z,t)在物体表面的限制。一般来有三种类型：(0,)(,,,)(,,,)uxyztgxyzt第一类边界条件：初始条件给出物体在初始时刻t=0的温度(,,,0)(,,)uxyzxyz第二类边界条件：(0,)(,,,)ukgxyztn第三类边界条件：(0,)(,,,)uugxyztn定解问题由方程与定解条件可以描述一个特定的物理现象，它构成一个定解问题混合问题：初始问题：222,,0(,0)(),uuaxttxuxxx222,0,0(0,)(,)0,0(,0)()0xuuaxlttxutulttuxxxl扩散方程考虑三维空间中一均匀的、各向同性的物体，假定它的内部有扩散源，来研究物体内部分子的浓度在时刻t的分布规律。物理模型数学模型(,,,)uDufxyztt其中：u(x,y,z,t)表示于时刻t在(x,y,z)处的分子浓度f(x,y,z,t)表示单位时间内单位体积中产生的粒子数D为扩散系数第二节初边值问题的分离变量法定解问题)(|0|,0|0,002xuuuLxuautLxxxxt)()(),(tTxXtxu0)()0(0)()()0()(LXXLXtTXtT222222/)/('''XXTaTTXaTXaTXaXTTXaXT未知函数分离泛定方程分离边界条件分离分离结果0'0)()0(0222TaTLXXXX)exp()(22taAtTkkk0sin)(0)0(sincos)(LDLXCXxDxCxXLkxxXkkk/,sin)(NkLkkLL,/0sin空间方程解出非零解条件非零解时间方程解出分离结果的求解0'0)()0(0222TaTLXXXX典型问题的求解xtaAtTxXtxukkkkkksin)exp()()(),(22xAxkksin)(11sin),(22kktakkkxeAtxuuk初始条件要求分离结果的合成再合成半通解系数的确定xdxxLAkLksin)(20过程小结分离变量——分别求解——合成半通解——由初始条件确定系数分离变量流程图xxtuau20||0Lxxuu)(|0xut)()(xXtTu0)()0(LXXXXTaT/)/('20'22TwaT02XwX)exp(22twaATLkxX,sin)()(xXtTukkkkkXTu),(txuu典型问题的求解例题1)cos(sin|0|,0|0,0002xBAxuuuxuautxxxxtNktakATkxXkkk),exp(),sin(220)()0(0,0')()(),(222XXXXTaTtTxXtxu0,,3sin2sinsin2sinsinsin)cos(sin2212132121kkABAAAxAxAxAxBxAkxAxBAx122sin)exp(kkkxtakAu代入初始条件分离变量分别求解合成半通解第二类边界条件定解问题)(|0|,0|0,0002xuuuLxuautLxxxxxxt)exp(,,2,1,0,/),cos(222tawATwkLkwwxXkkk)()(),(tTxXtxu0)(')0('LXXXXTaT/)/('2)()(0xXAAxkk10)()(kkkxXtTTu初始条件要求未知函数分离泛定方程分离边界条件分离本征运动半通解典型问题的求解例题2xAuuuxuautxxxxxxt2002cos|0|,0|0,000022,1),exp(),cos(ATXNktakATkxXkkk0)(')0('0,0')()(),(222XXXXTaTtTxXtxu0,,3cos2coscos2coscoscos212122103210212102kkkAAAAAAxAxAxAAxAAkxAxA022cos)exp(kkkxtakAu代入初始条件分离变量分别求解合成半通解