高中数学课件 第三章 第2节 《同角三角函数基本关系式与诱导公式》

1.理解同角三角函数的基本关系式：2.能利用单位圆中的三角函数线推导出±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.1.同角三角函数的基本关系组数一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－α－α＋α正弦余弦cosα2.诱导公式sinα－sinα－sinαsinαcosαcosα－cosαcosα－cosαsinα－sinα组数一二三四五六正切口诀函数名不变符号看象限函数名改变符号看象限－tantantan－tan即α＋k·2π(k∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成时原函数值的符号；±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.锐角[思考探究]诱导公式的记忆口决：奇变偶不变，符号看象限.其中“奇、偶”与“符号”的含义是什么？提示：“奇、偶”是指“k·±α”(k∈Z)中k的奇偶性；“符号”是把任意角α看作锐角时，原函数值的符号.1.α是第四象限角，tanα＝－，则sinα等于()解析：由得sin2α＋＝1，又∵sinα＜0，∴sinα＝答案：D2.sin330°等于()解析：sin330°＝sin(360°－30°)＝－sin30°＝答案：B3.sinπ·cosπ·tan(－)的值是()解析：原式＝答案：A4.已知cos(－α)＝，则sin(α－)＝.解析：答案：5.化简.解析：原式＝－sinα＋sinα＝0.答案：0运用基本关系式可以求解下列两类问题：(1)已知某角的一个三角函数值，求该角的其他三角函数值；(2)运用它对三角函数式进行化简求值或证明.[特别警示]该部分高考命题难度不大，对公式的应用要求准确、灵活，尤其是在利用平方关系sin2α＋cos2α＝1及其变形形式sin2α＝1－cos2α或cos2α＝1－sin2α进行开方运算时，要特别注意符号的判断.已知α是三角形的内角，且sinα＋cosα＝(1)求tanα的值；(2)把用tanα表示出来，并求其值.[思路点拨][课堂笔记](1)法一：联立方程由①得cosα＝－sinα，将其代入②，整理得25sin2α－5sinα－12＝0，∵α是三角形内角，法二：∵sinα＋cosα＝，∴(sinα＋cosα)2＝()2，即1＋2sinαcosα＝，∴2sinαcosα＝－，∴(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝1＋＝.∵sinαcosα＝－0且0απ，∴sinα0，cosα0，∴sinα－cosα0，∴sinα－cosα＝，保持题目条件不变，求：(1)；(2)sin2α＋2sinαcosα的值.解：由例题可知tanα1.α＋2kπ(k∈Z)，－α，π±α，±α的三角函数值是化简的主要工具.使用诱导公式前，要正确分析角的结构特点,然后确定使用的诱导公式.2.不能直接使用诱导公式的角通过适当的角的变换化为能使用诱导公式的角，如：等.[特别警示]对于－α－π，α－，使用诱导公式时，要先把角化为－(π＋α)，－(－α)的形式.3.诱导公式的应用原则是：负化正，大化小，化到锐角为终了.特殊角能求值则求值.4.化简是一种不指定答案的恒等变形，化简结果要尽可能使项数少、函数的种类少、次数低、能求出值的要求出值、无根式、无分式等.化简：[思路点拨][课堂笔记]原式1.解决给角求值问题的一般步骤为：2.解决条件求值问题时，要注意发现所给值式和被求值式的特点，寻找它们之间的内在联系，特别是角之间的联系，然后恰当地选择诱导公式求解.已知sin(π－α)－cos(π＋α)＝(＜α＜π).求下列各式的值：(1)sinα－cosα；(2)sin3(－α)＋cos3(＋α).[思路点拨][课堂笔记]由sin(π－α)－cos(π＋α)＝，得sinα＋cosα＝，两边平方，得1＋2sinα·cosα＝，故2sinα·cosα＝－.又＜α＜π，∴sinα＞0，cosα＜0.(1)(sinα－cosα)2＝1－2sinα·cosα＝1－(－)＝，∴sinα－cosα＝.(2)sin3(－α)＋cos3(＋α)＝cos3α－sin3α＝(cosα－sinα)(cos2α＋cosα·sinα＋sin2α)＝－×(1－)＝－.若将本例中条件＜α＜π，改为－＜α＜0，则两式的值如何？解：由已知sinα＋cosα＝两边平方得：1＋2sinα·cosα＝故2sinαcosα＝又－＜α＜0，∴sinα＜0，cosα＞0，∴sinα－cosα＜0(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝1－(－)＝.∴sinα－cosα＝－sin3(－α)＋cos3(＋α)＝cos3α－sin3α＝(cosα－sinα)(cos2α＋cosα·sinα＋sin2α)＝高考对本节内容的考查主要集中在利用诱导公式和同角三角函数基本关系求值上，2009年高考中全国Ⅰ卷第1题，陕西卷第2题，北京卷第9题都能代表高考对本节内容的考查方向.[考题印证](2009·全国卷Ⅰ)sin585°的值为()【解析】sin585°＝sin(540°＋45°)＝－sin45°＝－.【答案】A[自主体验](2009·北京高考)若sinθ＝－，tanθ＞0，则cosθ＝.解析：由sinθ＝－＜0，tanθ＞0知θ是第三象限角.故cosθ＝－.答案：1.cos(－)的值是()解析：答案：A2.(2009·辽宁高考)已知tanθ＝2，则sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ＝()解析：sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ答案：D3.已知cos(π＋x)＝，x∈(π，2π)，则tanx等于()解析：cos(π＋x)＝－cosx＝，∴cosx＝－＜0，∴x∈(π，)此时sinx＝－，∴tanx＝.答案：D4.若θ∈()，sin2θ＝，则cosθ－sinθ的值是.解析：答案：5.已知sinα是方程5x2－7x－6＝0的根，α是第三象限角，则·tan2(π－α)＝.解析：∵方程5x2－7x－6＝0的根为－或2，∴sinα＝－，又α是第三角限角，答案：6.已知＝－1，求下列各式的值：(1)1－3sinαcosα＋3cos2α；解：由＝－1⇒tanα＝－tanα＋6⇒tanα＝3.(1)1－3sinαcosα＋3cos2α