函数极值

1)如果在某区间上f(x)＞0，那么f(x)为该区间上的增函数，2)如果在某区间上f(x)＜0，那么f(x)为该区间上的减函数．一般地，设函数y＝f(x)，aby=f(x)xoyy=f(x)xoyab导数与函数的单调性的关系知识回顾（2）求导数f(x)（1）求y＝f(x)的定义域D（4）解不等式与定义域求交集利用导数讨论函数单调的步骤:（5）写出单调区间（3）列不等式f(x)＞0；或列不等式f(x)＜0.问题情境观察下图中P点附近图象从左到右的变化趋势、P点的函数值以及点P位置的特点．oax1x2x3x4bxyP(x1,f(x1))y=f(x)Q(x2,f(x2))函数图象在P点附近从左侧到右侧由“上升”变为“下降”（函数由单调递增变为单调递减），在P点附近，P点的位置最高，函数值最大函数极值的定义一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点,都有f(x)﹤f(x0),我们就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值,记作y极大值=f(x0)；如果对x0附近的所有的点,都有f(x)﹥f(x0)，我们就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值=f(x0).极大值与极小值同称为极值.数学建构注意（1）极值是某一点附近的小区间而言的,是函数的局部性质,不是整体的最值;（2）函数的极值不一定惟一,在整个定义区间内可能有多个极大值和极小值；（3）极大值与极小值没有必然关系，极大值可能比极小值还小.学生活动oax1x2x3x4bxyP(x1,f(x1))y=f(x)Q(x2,f(x2))（1）极值是函数的最值吗？（2）函数的极值只有一个吗？（3）极大值一定比极小值还大吗？xx0左侧x0x0右侧f(x)f(x)观察图象并类比于函数的单调性与导数关系的研究方法,看极值与导数之间有什么关系?oax0bxyoax0bxyxx0左侧x0x0右侧f(x)f(x)增f(x)0f(x)=0f(x)0极大值减f(x)0f(x)=0增减极小值f(x)0思考请问如何判断f(x0)是极大值或是极小值？导数由正变负为极大，由负变正为极小函数y=f(x)的导数y/与函数值和极值之间的关系为()A导数y/由负变正,则函数y由减变为增,且有极大值B导数y/由负变正,则函数y由增变为减,且有极大值C导数y/由正变负,则函数y由增变为减,且有极小值D导数y/由正变负,则函数y由增变为减,且有极大值D学生活动例1求f(x)＝x2－x－2的极值.解：因此，当x＝时，f(x)有极小值f()＝－．f(x)＝2x－1，令f(x)＝0，解得x＝．列表：xxf)(xf21,21,21021f极小值数学运用求可导函数的极值的步骤:④检查在方程＝0的根的左右两侧的符号，确定极值点．(最好通过列表法)①确定函数的定义域；②求导数)(xf③求方程)(xf=0的根)(xf)(xf强调:要想知道x0是极大值点还是极小值点就必须判断f(x0)＝0左右侧导数的符号.3112433f(x)xx例数求函的极值数学运用f(x)f(x)x∴当x＝2时,y极小值＝－5；当x＝－2时,y极大值＝.(-∞,-2)－2(－2,2)2(2,＋∞)+00-+极大值极小值－5解:∵f(x)＝x2－4，由f(x)＝0解得x1＝2，x2＝－2.当x变化时，f(x)、f(x)的变化情况如下表：你能画出上面函数的简图吗？练习求下列函数的极值．xxxf1)(1）（16128)(223xxxxf）（xxxfln)(32）（探索：x＝0是否为函数f(x)＝x3的极值点?思考xyOf(x)x3若寻找可导函数极值点,可否只由f(x)=0求得即可?f(x)=3x2，当f(x)=0时，x＝0，而x＝0不是该函数的极值点.f(x0)=0x0是可导函数f(x)的极值点．x0左右侧导数异号x0是函数f(x)的极值点f(x0)＝0注意：f/(x0)＝0是函数取得极值的必要不充分条件．小结本节课主要学习了哪些内容？请想一想？1．极值的定义．2．极值的求法．注意点：1．f/(x0)＝0是函数取得极值的必要不充分条件2．数形结合以及函数与方程思想的应用3．要想知道x0是极大值点还是极小值点就必须判断f(x0)＝0左右侧导数的符号.作业1．课本第89页第1，3题．2．思考题极值和最值的区别与联系．