函数极值的概念

首页上页返回下页yxOaby=f(x)x1f(x1)x2f(x2)x3f(x3)x4f(x4)函数y=f(x)在点x1、x2、x3、x4处的函数值f(x1)、f(x2)、f(x3)、f(x4)，与它们左右近旁各点处的函数值，相比有什么特点?观察图像：首页上页返回下页2.3.1函数极值的概念设函数y=f(x)在(a,b)内连续,x0是(a,b)内一点如果对于点x0近旁的任意一点x，均有f(x)f(x0)，则就称f(x0)是函数f(x)的一个极大值，点x0是f(x)的一个极大点；如果对于点x0近旁的任意一点x，均有f(x)f(x0)，则就称f(x0)是函数f(x)的一个极小值，点x0是f(x)的一个极小点；首页上页返回下页yxO观察与思考：极值与导数有何关系？在极值点处，曲线如果有切线，则切线是水平的。函数的极大值与极小值统称为函数的极值使函数取得极值的点称为极值点。aby=f(x)x1f(x1)=0x2f(x2)=0x3f(x3)=0x4f(x5)=0x5首页上页返回下页如果函数f(x)在点x0处有极值，且f(x0)存在，则必有f(x0)=0。取得极值的必要条件：驻点：使导数f(x)为零的点叫函数f(x)的驻点。说明：可导函数f(x)的极值点必定是函数的驻点。但函数f(x)的驻点却不一定是极值点。xyOf(x)=x3对于函数f(x)=x3可知，x=0是函数的驻点，不是函数的极值点。首页上页返回下页函数极值的判定定理设函数f(x)在点x0的近旁可导且f´(x0)=0(1)若在点x0的左侧近旁f´(x)恒为正；在点x0的右侧近旁f´(x)恒为负，则函数f(x)在点x0处取得极大值f´(x0)(2)若在点x0的左侧近旁f´(x)恒为负；在点x0的右侧近旁f´(x)恒为正，则函数f(x)在点x0处取得极小值f´(x0)首页上页返回下页yxOx1x2aby=f(x)在极大值点附近在极小值点附近f(x)0f(x)0f(x)0f(x)0首页上页返回下页2.3.2函数极值的求法(1)确定函数的定义域；求可导函数f(x)的极值点和极值的步骤：(2)求出导数f´(x)；(3)令f´(x)=0，求出f(x)的全部驻点；(4)用驻点把定义域划分为部分区间，考察每个部分区间内f´(x)的符号，以确定每个驻点是否是极值点，若是极值点，确定是极大点还是极小点。首页上页返回下页例求(4)列表讨论，如下：xf´(x)f(x)(－∞,－2)+－20(－2,3)－单调减少30(3,+∞)单调增加函数在x=－2处取得极小值－62在x=3处取得极大值16.524182323=xxxy的单调区间和极值.解：(1)f(x)的定义域为(－∞,＋∞)；(2)f´(x)=－3x²+3x+18(3)令f´(x)=0得驻点x1=－2,x2=3－单调减少极小值－62极大值16.5首页上页返回下页2.3.3函数最值的求法yxOMaby=f(x)mx1x2x3x4x5问：最大值与最小值可能在何处取得？怎样求最大值与最小值？观察极值与最值的关系：首页上页返回下页xOyy=f(x)abxOyy=f(x)ab如果函数f(x)在[a,b]上单调增加(减少)，则f(a)是f(x)在[a,b]上的最小值(最大值)，f(b)是f(x)在[a,b]上的最大值(最小值)。函数的最值一般分为两种情况：（1）首页上页返回下页xOyf(x0)y=f(x)ax0bxOyf(x0)y=f(x)ax0b如果连续函数在区间(a,b)内有且仅有一个极大(小)值，而没有极小(大)值，则此极大(小)值就是函数在区间[a,b]上的最大(小)值。函数的最值一般分为两种情况：（2）首页上页返回下页求函数在区间内的最值的步骤(1)求出函数y=f(x)在(a,b)内的全部驻点和驻点处的函数值；(2)求出区间端点处的函数值；(3)比较以上各函数值，其中最大的就是函数的最大值，最小的就是函数的最小值。首页上页返回下页求函数y=x³+3x²－9x在上［－4,4］的最大值和最小值。解(1)由f´(x)=3x²+6x－9,(2)区间端点［－4,4］处的函数值为f(－4)=20,f(4)=76(3)比较以上各函数值，例得驻点为x1=－3，x2=1驻点处的函数值为f(－3)=－27,f(1)=－4可知函数在［－4,4］上的最大值为f(4)=76，最小值为f(－3)=－27首页上页返回下页求下列函数在指定区间内的最大值和最小值。=2,2,2sin)()1(xxxf1,5,1)()2(=xxxf4,1,71862)()3(23=xxxxf答案最大值f(－π/2)=π/2，最小值f(π/2)=－π/2最大值f(3/4)=5/4，最小值f(－5)=－5+最大值f(1)=－29，最小值f(3)=－61练习6首页上页返回下页2.3.4函数最值应用举例在实际问题中，如果函数f(x)在某区间(a,b)内只有一个驻点x0，而且从实际问题本身又可以知道函数在(a,b)内必有最大值或最小值，那么f(x0)就是所求的最大值或最小值.首页上页返回下页把一个边长为48cm的正方形铁皮的四角各截去面积相等的正方形，然后将四边折起，做成方盒。问在四角截去多大的正方形，才能使所作的方盒容积最大？题例48482x解设截去的小正方形的边长为xcmx方盒容积为Vcm³首页上页返回下页把一个边长为48cm的正方形铁皮的四角各截去面积相等的正方形，然后将四边折起，做成方盒。问在四角截去多大的正方形，才能使所作的方盒容积最大？题例方盒容积为Vcm³则V=x(48－2x)²,(0x24)x解设截去的小正方形的边长为xcm首页上页返回下页把一个边长为48cm的正方形铁皮的四角各截去面积相等的正方形，然后将四边折起，做成方盒。问在四角截去多大的正方形，才能使所作的方盒容积最大？题例解设截去的小正方形的边长为xcm,方盒容积为Vcm³则V=x(48－2x)²,(0x24)求导数得V´=(48－2x)²+2x(48－2x)(－2)令V´=0,求得函数的唯一驻点为x=8于是,当x=8时函数V取得最大值即当截去的小正方形边长为8cm时方盒容积最大