热点重点难点_专题透析_2014高考复习_题2___数列(二轮复习0

专题2热点重点难点专题透析·数学(理科)【考情报告】专题2热点重点难点专题透析·数学(理科)所以f(20)＝95＋f(1)＝97.【答案】B7．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若m＞1，且am－1＋am＋1－a2m＝0，S2m－1＝38，则m等于()．A．38B．20C．10D．9【解析】由题意知2am－a2m＝0，则am(am－2)＝0，∴am＝2或am＝0.∵S2m－1＝2m－12(a1＋a2m－1)＝(2m－1)am＝38，∴am≠0即am＝2，∴2m－1＝19，解得m＝10.专题2热点重点难点专题透析·数学(理科)【答案】C8．如果数列对任意m，n∈N*满足am＋n＝aman，且a3＝8，那么a10等于()．A．1024B．512C．510D．256【解析】由am＋n＝aman，所以an＋1＝a1an，a3＝a1a2，a2＝a1a1，那么a3＝8＝a31，a1＝2，又由于an＋3＝a3an，所以a10＝a33a1＝1024.【答案】A9．已知数列{an}为等差数列，若a11a10＜－1，且它们的前n项和Sn有最大值，则使Sn＞0的n的最大值为()．专题2热点重点难点专题透析·数学(理科)A．11B．19C．20D．21【解析】∵a11a10＜－1，且Sn有最大值，∴公差d＜0，即{an}为递减数列．∴a10＞0，a11＜0，且a10＋a11＜0，∴S19＝19（a1＋a19）2＝19a10＞0，S20＝20（a1＋a20）2＝10(a10＋a11)＜0.∴使得Sn＞0的n的最大值为19，故选B.【答案】B专题2热点重点难点专题透析·数学(理科)二、填空题10．已知在数列{an}中，a1＝－1，an＋1·an＝an＋1－an，则数列的通项an＝________．【解析】由题意得1an＋1－1an＝－1，1a1＝－1，∴{1an}是以1a1为首项，以－1为公差的等差数列，则1an＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，即an＝－1n.【答案】－1n专题2热点重点难点专题透析·数学(理科)11．等差数列{an}前9项的和等于前4项的和，若a1＝1，ak＋a4＝0，则k＝________．【解析】∵S9＝S4，a1＝1，∴d＝－16，∴ak＋a4＝a1＋(k－1)d＋a1＋3d＝2a1＋(k＋2)d＝2＋(k＋2)·(－16)＝0，∴k＝10.【答案】1012．已知数列{an}满足a1＝1，an＋an＋1＝(14)n(n∈N*)，专题2热点重点难点专题透析·数学(理科)Sn＝a1＋4a2＋42a3＋…＋4n－1an，类比课本中推导等比数列前n项和公式的方法，可求得5Sn－4nan＝________．【解析】由Sn＝a1＋4a2＋42a3＋…＋4n－1an，①4Sn＝4a1＋42a2＋…＋4n－1an－1＋4nan，②由①＋②得5Sn＝a1＋4(a1＋a2)＋42(a2＋a3)＋…＋4n－1(an－1＋an)＋4nan，③∵an＋an＋1＝(14)n，∴③式为5Sn＝n＋4nan，∴5Sn－4nan＝n.【答案】n专题2热点重点难点专题透析·数学(理科)三、解答题13．数列{an}的前n项和记为Sn，a1＝t，点(Sn，an＋1)在直线y＝3x＋1上，n∈N*.(1)当实数t为何值时，数列{an}是等比数列？(2)在(1)的结论下，设bn＝log4an＋1，cn＝an＋bn，Tn是数列{cn}的前n项和，求Tn.【解析】(1)∵点(Sn，an＋1)在直线y＝3x＋1上，∴an＋1＝3Sn＋1，an＝3Sn－1＋1(n＞1，且n∈N*)．∴an＋1－an＝3(Sn－Sn－1)＝3an，∴an＋1＝4an(n＞1，且n∈N*)，a2＝3S1＋1＝3a1＋1＝3t＋1，专题2热点重点难点专题透析·数学(理科)由a2a1＝3t＋1t＝4，得t＝1，∴当t＝1时，a2＝4a1，数列{an}是等比数列．(2)在(1)的结论下，an＋1＝4an，an＋1＝4n，bn＝log4an＋1＝n，cn＝an＋bn＝4n－1＋n，∴Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝(40＋1)＋(41＋2)＋…＋(4n－1＋n)＝(1＋4＋42＋…＋4n－1)＋(1＋2＋3＋…＋n)＝4n－13＋（1＋n）n2.专题2热点重点难点专题透析·数学(理科)限时训练卷(二)一、选择题1．设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当Sn取最小值时，n等于()．A．6B．7C．8D．9【解析】设该数列的公差为d，则a4＋a6＝2a1＋8d＝2×(－11)＋8d＝－6，解得d＝2，所以Sn＝－11n＋n（n－1）2×2＝n2－12n＝(n－6)2－36，所以当n＝6时，取最小值．【答案】A专题2热点重点难点专题透析·数学(理科)2．在等差数列{an}中，a6＝a3＋a8，则S9等于()．A．0B．1C．－1D．以上都不对【解析】∵a3＋a8＝a5＋a6＝a6，∴a5＝0，即S9＝9a5＝0.【答案】A3．已知{an}为等差数列，其公差为－2，且a7是a3与a9的等比中项，Sn为{an}的前n项和，n∈N*，则S10的值为()．A．－110B．－90C．90D．110【解析】依题意得专题2热点重点难点专题透析·数学(理科)d＝－2，（a1＋2d）（a1＋8d）＝（a1＋6d）2，解得a1＝20，所以S10＝10a1＋45d＝110.【答案】D4．已知{an}是递减等比数列，a2＝2，a1＋a3＝5，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1(n∈N＋)的取值范围是()．A．[12，16)B．[8，16)C．[8，323)D．[163，323)【解析】由{an}递减和等比数列公式得公比q1＝12，则专题2热点重点难点专题透析·数学(理科)数列{anan＋1}的公比q2＝q21＝14.由数列前n项和公式得Sn＝323(1－14n)．由于{Sn}是递增的，∴Sn≥S1＝8，又Sn＜323，∴8≤Sn＜323.【答案】C5．数列an＝1n（n＋1），其前n项和为910，则在平面直角坐标系中，直线(n＋1)x＋y＋n＝0在y轴上的截距为专题2热点重点难点专题透析·数学(理科)()．A．－10B．－9C．10D．9【解析】设数列{an}的前n项和为Sn，则Sn＝a1＋a2＋…＋an，又∵an＝1n－1n＋1，∴Sn＝1－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1＝nn＋1.又∵nn＋1＝910，∴n＝9，∴原题变为求10x＋y＋9＝0在y轴上的截距，令x＝0，得y＝－9，∴直线在y轴上的截距为－9.故选B.专题2热点重点难点专题透析·数学(理科)【答案】B6．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，则Sn等于()．A．2n－1B．(32)n－1C．(23)n－1D.12n－1【解析】因为an＋1＝Sn＋1－Sn，所以由Sn＝2an＋1得，Sn＝2(Sn＋1－Sn)，整理得3Sn＝2Sn＋1，所以Sn＋1Sn＝32，所以数列{Sn}是以S1＝a1＝1为首项，公比q＝32的等比数列，所以Sn专题2热点重点难点专题透析·数学(理科)＝(32)n－1.【答案】B7．在数列{an}中，已知a1＝1，a2＝5，an＋2＝an＋1－an(n∈N*)，则a2014等于()．A．－4B．－5C．4D．－1【解析】∵an＋3＝an＋2－an＋1＝－an，∴an＋6＝－an＋3＝an，则a2014＝a4＝－1.【答案】D8．已知函数f(n)＝n2（n为奇数），－n2（n为偶数），且an＝f(n)＋专题2热点重点难点专题透析·数学(理科)f(n＋1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a100等于()．A．0B．100C．－100D．10200【解析】当n为奇数时，an＝n2－(n＋1)2＝－(2n＋1)，当n为偶数时，an＝－n2＋(n＋1)2＝2n＋1，则an＝(－1)n(2n＋1)．∴a1＋a2＋a3＋…＋a100＝－3＋5－7＋9－…－199＋201＝2×50＝100，∴选B.【答案】B9．已知函数f(x)＝2x－1（x≤0），f（x－1）＋1（x＞0），把函数g(x)＝f(x)－x的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，专题2热点重点难点专题透析·数学(理科)若该数列的前n项和为Sn，则S10等于()．A．15B．22C．45D．50【解析】根据函数的解析式，画出图象(如图)，由图象易知这10个零点为0，1，2，3，…，9，所以S10＝45.【答案】C二、填空题10．等比数列{an}的前n项和Sn＝2n－1，则数列{a2n}的专题2热点重点难点专题透析·数学(理科)前n项和An为________．【解析】∵Sn＝2n－1，Sn－1＝2n－1－1，∴an＝2n－1，a2n＝4n－1，∴a21＝1，q＝4，则An＝1－4n1－4＝4n－13.【答案】4n－1311．已知数列{an}的前n项和为Sn，且有a1＝3，4Sn＝6an－an－1＋4Sn－1，则an＝________．【解析】当n≥2时，4Sn－4Sn－1＝4an＝6an－an－1，∴anan－1专题2热点重点难点专题透析·数学(理科)＝12，∴an＝a1·(12)n－1＝3·(12)n－1.【答案】3·(12)n－112．等差数列{an}的首项为a1，公差为d，前n项和为Sn，给出下列四个命题：①数列{(12)an}为等比数列；②若a2＋a12＝2，则S13＝13；③Sn＝nan－n（n－1）2d；专题2热点重点难点专题透析·数学(理科)④若d＞0，则Sn一定有最大值．其中真命题的序号是________(写出所有真命题的序号)．【解析】对于①，注意到（12）an＋1（12）an＝(12)an＋1－an＝(12)d是一个非零常数，因此数列{(12)an}是等比数列，①正确．对于②，S13＝13（a1＋a13）2＝13（a2＋a12）2＝13，因此②正专题2热点重点难点专题透析·数学(理科)确．对于③，注意到Sn＝na1＋n（n－1）2d＝n[an－(n－1)d]＋n（n－1）2d＝nan－n（n－1）2d，因此③正确．对于④，Sn＝na1＋n（n－1）2d，d＞0时，Sn不存在最大值，因此④不正确．综上所述，其中正确命题的序号是①②③.【答案】①②③三、解答题13．已知数列{an}满足a1＝a(a≠0，且a≠1)，其前n专题2热点重点难点专题透析·数学(理科)项和Sn＝a1－a(1－an)．(1)求证：{an}为等比数列．(2)记bn＝anlg|an|(n∈N*)，Tn为数列{bn}的前n项和，那么：①当a＝2时，求Tn.②当a＝－73时，是否存在正整数m，使得对于任意正整数n都有bn≥bm？如果存在，求出m的值；如果不存在，请说明理由．专题2热点重点难点专题透析·数学(理科)【解析】(1)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝a1－a(1－an)－a1－a(1－an－1)，整理得anan－1＝a，∴{an}是公比为a的等比数列．(2)∵a1＝a，∴an＝an，∴bn＝anlg|an|＝anlg|an|＝nanlg|a|，①当a＝2时，Tn＝(2＋2·22＋…＋n·2n)lg2，2Tn＝[22＋2·23＋…＋(n－1)·2n＋n·2n＋1]lg2，两式相减，得－Tn＝(2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1)lg2，化简整理，得Tn＝2[1－(1－n)·2n]lg2.专题2热点重点难点专题透析·数学(理科)②因为－1＜a＜0，所以当n为偶数时，bn＝nanlg|a|＜0；当n为奇数时，bn＝nanlg|a|＞0；所以，如果存在满足条件的正整数m，则m一定是偶数．b2k＋2－b2k＝2a2k(a2－1)(k－a21－a2)lg|a|，其中k∈N*，当a＝－73时，a2－1＝－29，所以2a2k(a2－1)lg|a|＞0.又因为a21－a2＝72，专题2热点重点难点专题透析·数学(理科)所以当k＞72时，b2k＋2＞b2k，即b8＜b10＜b12＜…，当k＜72时，b2k＋2＜b2k，即b