高等代数第四章 线性方程组

第四章线性方程组4.1消元法4.2矩阵的秩线性方程组可解的判别法4.3线性方程组的公式解4.4结式和判别式伟大的数学家，诸如阿基米得、牛顿和高斯等，都把理论和应用视为同等重要而紧密相关。——克莱因（KleinF，1849－1925）4.1消元法1.内容分布4.1.1线性方程组的初等变换4.1.2矩阵的初等变换阶梯形矩阵4.1.3线性方程组有解的判别2.教学目的:会用消元法解线性方程组3.重点难点:线性方程组的消元解法前一章中我们只讨论了这样的线性方程组，这种方程组有相等个数的方程和未知量，并且方程组的系数行列式不等于零，在这一章我们要讨论一般的线性方程组：在实际的解线性方程组时，比较方便的方法是消元法.（1）例1解线性方程组：从第一和第三个方程分别减去第二个方程的1/2倍和2倍，来消去这两个方程中的未知量.25342,3335,13121321321321xxxxxxxxx（2）)(11的系数化为零即把xx得到：4233352121213232131xxxxxxx.421,33353231321xxxxxxx为了计算的方便，把第一个方程乘以-2后，与第二个方程交换，得：2x把第二个方程的2倍加到第三个方程，消去后一方程中的未知量，得到.213335332321xxxxxx239353221xxxx234321xxx现在很容易求出方程组（2）的解.从第一个方程减去第三个方程的3倍，再从第二个方程减去第三个方程，得再从第一个方程减去第二个方程的5/3倍，得：这样我们就求出方程组的解.①交换两个方程的位置；②用一个不等于零的数某一个方程；③用一个数乘某一个方程后加到另一个方程.4.1.1线性方程组的初等变换线性方程的初等变换：对方程组施行下面三种变换：这三种变换叫作线性方程组的初等变换.定理4.1.1初等变换把一个线性方程组变为一个与它同解的线性方程组线性方程组的（1）的系数可以排成下面的一个表：而利用（1）的系数和常数项又可以排成下表：mnmmnnaaaaaaaaa212222111211（3）mmnmmnnbaaabaaabaaa21222221111211（4）4.1.2矩阵的初等变换stssttccccccacc212222111211ijc定义1由st个数排成一个s行t列的表叫做一个s行t列（或s×t）的矩阵，ijc叫做这个矩阵的元素.注意：矩阵和行列式在形式上有些类似，但有完全不同的意义，一个行列式是一些数的代数和，而一个矩阵仅仅是一个表.矩阵（3）和（4）分别叫作线性方程组（1）的系数矩阵和增广矩阵.一个线性方程组的增广矩阵显然完全代表这个方程组.定义2矩阵的行（列）初等变换指的是对一个矩阵施行的下列变换：3)用某一数乘矩阵的某一行（列）后加到另一行（列），即用某一数乘矩阵的某一行（列）的每一个元素后加到另一行（列）的对应元素上.1)交换矩阵的两行（列）2)用一个不等于零的数乘矩阵的某一行（列），即用一个不等于零的数乘矩阵的某一行（列）的每一个元素；显然，对一个线性方程组施行一个初等变换，相当于对它的增广矩阵施行一个对应的行初等变换，而化简线性方程组相当于用行初等变换化简它的增广矩阵.因此我们将要通过化简矩阵来讨论化简方程组的问题.下我们给出一种方法，就一个线性方程组的增广矩阵来解这个线性方程组，而不必每次把未知量写出.在对于一个线性方程组施行初等变换时，我们的目的是消去未知量，也就是说，把方程组的左端化简.因此我们先来研究，利用三种行初等变换来化简一个线性方程组的系数矩阵的问题.在此，为了叙述的方便，除了行初等变换外，还允许交换矩阵的两列，即允许施行第一种列初等变换.后一种初等变换相当于交换方程组中未知量的位置，这不影响对方程组的研究.在例1中，我们曾把方程组（2）的系数矩阵53423351131211001103351先化为100010001然后，进一步化为定理4.1.2设A是一个m行n列的矩阵：mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211通过行初等变换和第一种列初等变换能把A化为以下形式：00000**1000****10*****1行r(5)这里,,,nrmror*表示矩阵的元素，但不同位置上的*表示的元素未必相同.ija证若是矩阵A的元素都等于零，那么A已有（5）的形式进而化为以下形式，00001000001000011,21,211,1rnrrnrnrcccccc（6）ija1乘第一行，然后由其余各行分别减去第一行的适当倍数，矩阵A化为ija设某一不等于零，必要时交换矩阵的行和列，可以使这个元素位在矩阵的左上角.**0**0**1B若B中，除第一行外，其余各行的元素都是零，那么B已有（5）的形式.设B的后m–1行中有一个元素b不为零，把b换到第二行第二列的交点位置，然后用上面同样的方法，可把B化为**00**00**10***1如此继续下去，最后可以得出一个形如（5）的矩阵.形如（5）的矩阵可以进一步化为形如（6）的矩阵是显然的.只要把由第一，第二，…，第r–1行分别减去第r行的适当倍数，再由第一，第二，…，第r–2行分别减去第r–1行的适当倍数，等等.4.1.3用消元法解线性方程组考察方程组（1）的增广矩阵（4）.由定理4.1.2，我们可以对（1）的系数矩阵（3）施行一些初等变换而把它化为矩阵（6）.对增广矩阵（4）施行同样的初等变换，那么（4）化为以下形式的矩阵：mrrrnrrnrnrdddccdccdcc000010001000111,221,2111,1(7)与（7）相当的线性方程组是mrrirnirriiniriiniridddxcxcxdxcxcxdxcxcxnrrnrnr0011,221,2111,111211（8）由于方程组（8）可以由方程组（1）通过方程组的初等变换以及交换未知量的位置而得到，所以由定理4.1.1，方程组（8）与方程组（1）同解.因此，要解方程组（1），只需解方程组（8）.但方程组（8）是否有解以及有怎样的解都容易看出.niii,,,21这里是1，2，…，n的一个全排列.情形1，mrddmr,,,1而这时方程组（8）无解，因为它的后m–r个方程中至少有一个无解.因此方程组（1）也无解.不全为零，情形2，当r=n时，方程组（9）有唯一解，就是ntdxtit,,2,1,这也是方程组（1）的唯一解.mrddmrmr,,1而或全为零，这时方程组（8）方程组rirnirriiniriiniridxcxcxdxcxcxdxcxcxnrrnrnr112111,221,2111,1同解.(9)当rn时，方程组（9）可以改写成nrrnrnrirnirrriiniriinirixcxcdxxcxcdxxcxcdx112111,21,2211,11(10)nriixx,,11,,rniikk于是，给予未知量以任意一组数值，就得到（9）的一个解：nnrrnrrnriiiiirnirrriinirikxkxxckcdxkckcdx111111,11,11nriikk,,1nriixx,,1这也是（1）的一个解.由于可以任意选取，用这一方法可以得到（1）的无穷多解.另一方面，由于（9）的任一解都必须满足（10），所以（9）的全部解，亦即（1）的全部解都可以用以上方法得出.我们把未知量叫做自由未知量，而把（10）叫做方程组（1）的一般解.05631242725432143214321xxxxxxxxxxxx例2解线性方程组这样，线性方程组（1）有没有解，以及有怎样的解，都可以从矩阵（7）看出.因此，我们完全可以就方程组（9）的增广矩阵来解这个方程组.05631124127121511216707243214005631施行行初等变换，并且注意，我们是要把其中所含的系数矩阵先化为（5），再化为（6）的形式.由第一和第二行分别减去第三行的5倍和2倍，然后把第三行换到第一行的位置，得解：对增广矩阵由第二行减去第三行的2倍，得11216705000005631虽然我们还没有把增广矩阵化成（5）的形式，但已可看出，相当于最后矩阵的线性方程组中的一个方程是0=5所以原方程无解.215921823213104251321215928232342532432143214214321xxxxxxxxxxxxxxx例3解线性方程组解：这里的增广矩阵是266120013360013360051321继续施行行初等变换，这一矩阵可以化为00000000006132110051321这个矩阵本质上已有（5）的形式，这一点只要交换矩阵的第二和第三两列就可以看出.进一步由第一行减去第二行的三倍，得出相当于（6）型的矩阵把第一行的适当倍数加到其它各行，得0000000000613211002321021613212321243421xxxxx对应的线性方程组是42,xx434212161321223xxxxx把移到右边，作为自由未知数，得原方程组的一般解：4.2矩阵的秩线性方程组可解的判别法1.内容分布4.2.1k阶子式、矩阵秩的定义用初等变换求矩阵的秩4.2.2线性方程组可解的判别法2.教学目的:1)理解矩阵秩的定义2)会用初等变换求矩阵的秩3)会用消元法解线性方程组3.重点难点:矩阵秩的定义线性方程组的可解的判别法4.2.1k阶子式、矩阵秩的定义用初等变换求矩阵的秩在上一节课讲述了用消元法来解线性方程组：.,,22112222212111212111mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa(1)这个方法在实际解方程组是比较方便的，但是我们还有几个问题没解决。简化为以下形式一个矩阵（甲）利用初等变换把方程组（1）的系数矩阵mnmmnnaaaaaaaaa212222111211（2）00001000001000011,21,211,1rnrrnrnrcccccc（3）并且看到，在矩阵（3）中出现的整数r在讨论中占有重要的地位.但是我们对这个整数还没有什么了解.r和系数矩阵（2）究竟有什么关系？它是由系数矩阵（2）所唯一决定的，还是依赖于所用的初等变换？因为我们可以