“问题串”设计-数学概要

1数学课堂教学的一种可行选择——问题串“中学数学核心概念、思想方法结构体系及教学设计”研究成果2（1）教什么：教学目标的设计、教学内容的分析、学生认知状况的分析等。（2）怎么教：（3）教的怎么样：教学手段、方法的选择，教学过程的把握等。课堂教学目标检测、教学评价等。教学设计的内容：3一、什么是数学问题串二、如何设计数学问题串1．问题串设计的依据2．问题串设计的原则三、如何用好问题串四、用问题串进行教学的不足之处4一、什么是数学问题串什么是数学问题什么是数学问题串问题串在教学中的作用5数学问题是指不能用现成的数学经验和方法解决的一种情景状态。如果把一个数学问题看作一个系统，那么这个系统中至少有一个要素是学生还不知道的。数学问题有两个特别显著的特点：一是障碍性；二是可接受性。数学问题串指的是在一定的学习范围或主题内，围绕一定的教学目标目标或某一中心问题，按照一定逻辑结构精心设计的一组（一般3个以上）问题。6达成教学目标改进学生学习方式培养学生创新意识问题串在教学中的作用学生在学习新的概念过程是知识的构建过程，这个过程最佳方案是让学生自己进行主动的构建，但是由于学生本身学习能力、知识基础的不完善，许多的知识障碍不是自己能够解决的，需要依靠教师的引导。如果教师直接对这个概念进行讲解，那就无法激发学生的学习欲望，成为被动的接受，对概念的建构效果也要大打折扣。“你还记得以前遇到这样的问题你是怎么考虑的吗？”陶维林激发学生学习数学的兴趣7二、如何设计数学问题串1．问题串设计的依据教学的重、难点教学目标的定位围绕核心概念和思想方法8学生已有的认知基础教学目标的达成问题1问题2问题39必修3第三章：（整数值）随机数的产生教学目标：（1）了解（整数值）随机数及伪随机数的概念；（2）会用信息技术工具产生（整数值）随机数；（3）通过具体案例理解蒙特卡罗方法（随机模拟法），能针对具体的随机事件建立概率模型，并通过随机模拟方法估计概率，进一步体会概率的意义。教学过程：（1）引入随机数的概念；（2）学会用计算器产生伪随机数；（3）应用蒙特卡罗方法（构造概率模型、进行模拟试验、得出估计值）。10学生已有的基础：学生曾用随机数表进行过随机抽样，但对什么是随机数、随机数（表）怎么产生的没有体会。教学目标：（1）了解（整数值）随机数及伪随机数的概念；问题串111问题串1：在一个盒子中装有形状和大小完全一样，但分别标有0，1，2，3，4，5，6，7，8，9的十个球。（1）从盒子中随机摸一个球，球上所标的数字是什么？（3）如果通过试验的方法，要估计出现数字3的概率，你会怎样做？复习古典概型，体会频率估计概率的意义。体会用计算器（机）产生伪随机数的意义。体会随机数的概念。（2）从盒子中随机摸10次球，出现球上所标的数字为3的次数大约是多少？如果摸1000次，出现数字为3的次数大约是多少？12学生已有的基础：学生会用计算器进行常规的操作，但是对于如何利用计算器产生随机数很陌生。教学目标：（2）会用信息技术工具产生（整数值）随机数；问题串213问题串2：（1）利用计算器你会产生整数值随机数0，1吗？（3）如果要产生2001～2009的整数值随机数，又该怎么办？（2）如果计算器屏幕上出现，然后反复按，你估计会出现什么范围内的数？Ran＃×9=（4）任意给定两个整数a,b,如何用计算器产生a～b之间取整数值的随机数呢？介绍用计算器产生随机数的方法。熟悉用计算器产生随机数的方法，为模拟试验作铺垫。14教学目标：（3）通过具体案例理解蒙特卡罗方法（随机模拟法），能针对具体的随机事件建立概率模型，并通过随机模拟方法估计概率，进一步体会概率的意义。学生已有的基础：学生基本没有随机模拟的体验和认识，对于建立什么样的概率模型来进行模拟，通过哪些步骤来进行模拟试验都没有更多的了解。问题串315问题串3：（1）现在你能设计一个利用计算器模拟刚才摸球的试验吗？（2）种植某种树苗的成活率为50%，若种植这种树苗2颗，你能设计一种随机模拟的方法近似求恰好成活1棵的概率吗？初步体验随机模拟方法。逐步形成随机模拟的步骤和方法。学会利用随机模拟方法解决实际问题，进一步体会概率的意义。（4）天气预报说，在今后三天中，每一天下雨的概率均为40%，这三天中恰有两天下雨的概率大概是多少？（3）种植某种树苗的成活率为，若种植这种树苗2颗，你能设计一种随机模拟的方法近似求恰好成活1棵的概率吗？32难点：三个随机数为一组，作为一次试验出现；建立概率模型。（5）你认为随机模拟有什么好处吗？问题串的目的：突破难点、突出重点，体现概率的思想161．问题串设计的依据教学的重、难点教学目标的定位围绕核心概念和思想方法17必修13.1.1方程的根与函数的零点函数零点的概念方程的根与函数零点的关系零点的存在性定理2．问题串设计的原则181、能够结合具体方程（如一元二次方程），了解零点的概念。2、通过方程的根、相应函数图象与x轴的交点的横坐标与相应函数零点的关系，体会函数与方程的思想，数形结合思想。3、正确理解函数零点存在性定理：了解图象连续不断的意义及作用；知道定理只是函数存在零点的一个充分条件；了解函数零点可能不止一个。4、能利用函数图象和性质判断某些函数的零点个数。教学目标：必修13.1.1方程的根与函数的零点19问题串4：的图象。的实数根，并画出函数：求方程问题32032122xxyxx的联系。方程与相应数：请你从形式上观察函问题03232222xxxxy的图象如何体现？在函数的实数根方程：根据形式上的联系，问题32032322xxyxx分别是什么？的零点和函数：函数问题3212422xxyxxy20问题串5：判断方法？有实数根吗？你有哪些：方程问题013458345612xx何联系呢？的图象有与二次函数的根：二次方程问题)0()0(0222acbxaxyacbxax之间有怎样的联系？与方程：一般地，函数问题0)()(3xfxfy的根方程01345834562xx的值时自变量的值为函数xxxy01345834562轴交点的横坐标的图象与函数xxxy1345834562的根方程0)(xf的值时自变量的值为函数xxfy0)(轴交点的横坐标的图象与函数xxfy)(21的图象。画出函数的实数根，并：求方程问题32032122xxyxx的联系。与相应方程数：请你从形式上观察函问题03232222xxxxy的图象如何体现？实数根在函数的方程：根据形式上的联系，问题32032322xxyxx的零点分别是什么？和函数：函数问题3212422xxyxxy有实数根吗？：方程问题013458345612xx问题串4：问题串5：问题串设计原则1：要体现问题的驱动性。的图象有何联系呢？的根与二次函数：二次方程问题)0()0(0222acbxaxyacbxax之间有怎样的联系？方程与：一般地，函数问题0)()(3xfxfy22函数零点的存在性定理问题1：如图是某地0～12时的气温变化图，假设气温是连续变化的，请将图形补充成完整的函数图象。这段时间内，是否一定有某时刻的气温为0℃？为什么？(假设气温是连续变化的）-4128气温/℃时间/hO问题2：函数存在零点的关键是什么？问题串6：问题1：如图是某地0～12时的气温变化图，假设气温是连续变化的，请用两种不同的方法将图形补充成完整的函数图象。这段时间内，是否一定有某时刻的气温为0℃？为什么？(假设气温是连续变化的）问题串7：问题2：……23-4128气温/℃时间/hO图1-4128气温/℃时间/hO图2-4128气温/℃时间/hO图3-4128气温/℃时间/hO图4-4128气温/℃时间/hO图5问题1：如图是某地0～12时的气温变化图，假设气温是连续变化的，请用两种不同的方法将图形补充成完整的函数图象。这段时间内，是否一定有某时刻的气温为0℃？为什么？(假设气温是连续变化的）问题串7：24函数零点的存在性定理问题1：如图是某地0～12时的气温变化图，假设气温是连续变化的，请将图形补充成完整的函数图象。这段时间内，是否一定有某时刻的气温为0℃？为什么？(假设气温是连续变化的）-4128气温/℃时间/hO问题2：函数存在零点的关键是什么？问题1：如图是某地0～12时的气温变化图，假设气温是连续变化的，请用两种不同的方法将图形补充成完整的函数图象。这段时间内，是否一定有某时刻的气温为0℃？为什么？(假设气温是连续变化的）问题串6：问题串7：问题串设计原则2：尽可能启发学生的思维。25上一定没有零点吗？在区间则满足：若函数问题),()(,0)()()(5baxfybfafxf上一定存在零点吗？在则满足：若函数问题),()(,0)()()(1baxfybfafxf上只有一个零点吗？在则满足：若函数问题),()(,0)()()(4baxfybfafxf？零点，是否一定有上恰有一个在上图象连续不断的函数：若在区间问题0)()(],[)(],[6bfafbaxfba问题串设计原则3：要有层次性，体现内在逻辑。问题串8：上一定存在零点吗？在则函数一条曲线，且满足上的图象是连续不断的在：若函数问题),()(,0)()(],[)(2baxfybfafbaxf函数零点存在性定理问题3：有位同学画了个图，认为这个“定理”不成立，你的看法呢？Oabxy26必修41.2.1任意角三角函数教学目标：1、借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义：能用平面直角坐标系中角的终边与单位圆交点的坐标来表示锐角三角函数；能用平面直角坐标系中角的终边与单位圆交点的坐标来表示任意角的三角函数。2、知道三角函数是研究一个实数集（角的弧度数构成的集合）到另一个实数集（角的终边与单位圆交点的坐标或其比值构成的集合）的对应关系，正弦、余弦和正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数。3、在借助单位圆认识任意角三角函数的定义的过程中，体会数形结合的思想，并利用这一思想解决有关定义应用的问题。27问题串9：的近似值。，，出函数，借助三角板，找：任意画一个锐角三角问题tancossin1到？数值不用计算就可以得单位长，使有些三角函：能否把某些线段画成问题2分别是什么？以及与之对应的函数值作为一个函数，自变量：锐角三角函数问题sin3怎样定义好呢？、、，，对于任意角样的环境下，你们认为轴的正半轴重合。在这始边与点，，使得角的的顶点在原，在平面直角坐标系中：现在角的范围扩大了问题tancossin4x必修41.2.1任意角三角函数28学生出现的障碍：1、学生在理解用终边上任意一点的坐标来表示锐角三角函数时出现障碍，学生已经习惯直观地用有关边长的比值来表示锐角三角函数。2、学生在理解将终边上任意一点取在终边与单位圆的交点这一特殊位置上存在障碍。3、学生在将单位圆定义锐角三角函数推广到定义任意角的三角函数时，还会出现障碍。29任意角三角函数的概念锐角三角函数的概念单位化坐标化核心概念：下位概念：函数的概念上位概念：符合函数定义核心概念：下位概念：锐角三角函数的概念任意角三角函数的概念函数的概念先行组织者：30问题1：随着角α的大小变化，有没有什么量跟着变化？的函数吗？是的函数吗？是，：按照高中函数的定义问题PPyx2吗？、、表示和是锐角，能用：如果问题tancossin3PPyx这三个都是函数吗？、、为任意角时：当问题,tancossin42222PPPPPPPPxyyxxyxy简单些？有没有办法让这种形式形式上比较复杂，、：问题2222cossin5PPPPPPPPyxxrxyxyry问题串10：PTOxy∠α的度数=40.6927P:(1.84,1.59)xp=1.84yp=1.5931问题串9：问题串10：锐角三角函数的定义任意角三角函数的定义函数的定义核心概念：函