关于圆锥曲线的中点弦问题

关于圆锥曲线的中点弦问题塔山中学数学组关于圆锥曲线的中点弦问题•直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题，是解析几何中的重要内容之一，也是高考的一个热点问题。这类问题一般有以下三种类型：•（1）求中点弦所在直线方程问题；•（2）求弦中点的轨迹方程问题；•（3）求弦中点的坐标问题。•其解法有代点相减法（点差法）、设而不求法、参数法、待定系数法及中心对称变换法等。一、求中点弦所在直线方程问题例1过椭圆141622yx内一点M（2，1）引一条弦，使弦被点M平分，求这条弦所在的直线方程。解法一：设直线与椭圆的交点为A(11,yx)，B（22,yx），M（2，1）为AB的中点，所以421xx，221yy，又A、B两点在椭圆上，则1642121yx，1642222yx，两式相减得0)(4)(22212221yyxx，所以21)(421212121yyxxxxyy，即21ABk，故所求直线方程为042yx。一、求中点弦所在直线方程问题例1过椭圆141622yx内一点M（2，1）引一条弦，使弦被点M平分，求这条弦所在的直线方程。解法二：设所求直线与椭圆的一个交点为A(yx,)，由于中点为M（2，1），则另一个交点为B(4-yx2,)，因为A、B两点在椭圆上，所以有16)2(4)4(1642222yxyx，两式相减得042yx，由于过A、B的直线只有一条，故所求直线方程为042yx。二、求弦中点的轨迹方程问题例2过椭圆1366422yx上一点P（-8，0）作直线交椭圆于Q点，求PQ中点的轨迹方程。解法一：设弦PQ中点M（yx,），弦端点P（11,yx），Q（22,yx），则有57616957616922222121yxyx，两式相减得0)(16)(922212221yyxx，又因为xxx221，yyy221，所以0)(216)(292121yyyxxx，所以yxxxyy1692121，而)8(0xykPQ，故8169xyyx。化简可得01672922yxx（8x）。二、求弦中点的轨迹方程问题例2过椭圆1366422yx上一点P（-8，0）作直线交椭圆于Q点，求PQ中点的轨迹方程。解法二：设弦中点M（yx,），Q（11,yx），由281xx，21yy可得821xx，yy21，又因为Q在椭圆上，所以136642121yx，即136464)4(422yx，所以PQ中点M的轨迹方程为1916)4(22yx（8x）。三、弦中点的坐标问题例3求直线1xy被抛物线xy42截得线段的中点坐标。解法一：设直线1xy与抛物线xy42交于),(11yxA，),(22yxB，其中点),(00yxP，由题意得xyxy412，消去y得xx4)1(2，即0162xx，所以32210xxx，2100xy，即中点坐标为)2,3(。三、弦中点的坐标问题例3求直线1xy被抛物线xy42截得线段的中点坐标。解法二：设直线1xy与抛物线xy42交于),(11yxA，),(22yxB，其中点),(00yxP，由题意得22212144xyxy，两式相减得)(4122122xxyy，所以4))((121212xxyyyy，所以421yy，即20y，3100yx，即中点坐标为)2,3(。如果，你觉得以上解答还不够简单的话，那……请记住几个重要结论：结论1设椭圆12222byax的弦AB的中点为P),(00yx（)00y，则0022yxabkAB。（对a≤b也成立。）（假设点P在椭圆上，则为过点P的切线斜率）结论2设双曲线12222byax的弦AB的中点为P),(00yx（)00y，则0022yxabkAB。（假设点P在双曲线上，则为过P点的切线斜率）结论3设抛物线pxy22的弦AB的中点为P),(00yx（)00y，则0ypkAB。（假设点P在抛物线上，则过点P的切线斜率为)0ypk一、求中点弦所在直线方程问题例1过椭圆141622yx内一点M（2，1）引一条弦，使弦被点M平分，求这条弦所在的直线方程。解法三：由结论易知：20204211612ABxbkay又因为直线过点M（2，1），所以所求弦所在的直线方程为042yx二、求弦中点的轨迹方程问题例2过椭圆1366422yx上一点P（-8，0）作直线交椭圆于Q点，求PQ中点的轨迹方程。解法三：设PQ的中点坐标为M（x，y），由结论易知：20203696416PQxbxxkayyy，又因为点P（-8，0）在直线PQ上，所以直线的斜率还可以表示为：0(8)8PQyykxx，所以有8169xyyx，化简可得01672922yxx（8x）。三、弦中点的坐标问题例3求直线1xy被抛物线xy42截得线段的中点坐标。解法三：设中点坐标为M00(,)xy，由结论易得：002pkyy由题目已知，k=1，所以有0021,2yy代入直线1xy中，求得03x即中点坐标为)2,3(。练习：已知椭圆1257522xy,求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程。参考答案（它的斜率为3的弦中点的轨迹方程为)235235(0yyx祝你学习愉快！