2014届高三一轮数学(理)复习第34讲数列求和

第34讲数列求和1．(改编)已知数列{an}是公比为2的等比数列，若a1＝2，则1a21＋1a22＋…＋1a2n＝()A.13(1－12n)B.13(4n－1)C.13(1－14n)D．1－14nC解析：由条件知{1a2n}是首项为14，公比为14的等比数列，所以1a21＋1a22＋…＋1a2n＝141－14n1－14＝13(1－14n)，故选C.2．数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n－1·n，则S15＝()A．9B．8C．16D．15B解析：S15＝1－2＋3－4＋…＋15＝1＋(－2＋3)＋(－4＋5)＋…＋(－14＋15)＝8，故选B.3．数列112，314，518，7116，…的前n项和Sn＝.解析：Sn＝(1＋3＋5＋…＋2n－1)＋(12＋14＋…＋12n)＝n2＋1－12n.4．数列{an}满足a1＝1，an＝2nn＋1，其前n项和为Sn，则Sn＝()A.n2n＋1B.2nn＋1C.n＋2n＋1D.2n2n＋1B解析：an＝2nn＋1＝2(1n－1n＋1)，则Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝2[(11－12)＋(12－13)＋…＋(1n－1n＋1)]＝2(1－1n＋1)＝2nn＋1.故选B.5．数列1×12，2×14，3×18，4×116，…的前n项和为.解析：S＝1×12＋2×14＋3×18＋…＋n×12n，2S＝1＋2×12＋3×14＋…＋(n－1)×12n－2＋n×12n－1，两式相减得S＝1＋12＋14＋…＋12n－1－n×12n＝1－12n1－12－n×12n＝2－2＋n2n.6．求值：Sn＝C1n＋2C2n＋3C3n＋…＋nCnn.解析：Sn＝C1n＋2C2n＋3C3n＋…＋(n－1)Cn－1n＋nCnn，①Sn＝nCnn＋(n－1)Cn－1n＋(n－2)Cn－2n＋…＋2C2n＋C1n＝nC0n＋(n－1)C1n＋(n－2)C2n＋…＋2Cn－2n＋Cn－1n，②①＋②得2Sn＝nC0n＋nC1n＋…＋nCnn＝n(C0n＋C1n＋…＋Cnn)＝n·2n，所以Sn＝n·2n－1.一分组求和及并项求和【例1】求和：(1)Sn＝1＋(3＋4)＋(5＋6＋7)＋(7＋8＋9＋10)＋…＋(2n－1＋2n＋…＋3n－2)；(2)Sn＝12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1·n2.解析：(1)因为an＝(2n－1)＋2n＋(2n＋1)＋…＋(3n－2)＝n2n－1＋3n－22＝52n2－32n，所以Sn＝52(12＋22＋32＋…＋n2)－32(1＋2＋…＋n)＝16n(n＋1)(5n－2)(n∈N*)．(2)当n是偶数时，Sn＝(12－22)＋(32－42)＋…＋[(n－1)2－n2]＝－3－7－…－(2n－1)＝－nn＋12.当n是奇数时，Sn＝1＋(32－22)＋(52－42)＋…＋[n2－(n－1)2]＝1＋5＋9＋…＋(2n－1)＝nn＋12.故Sn＝(－1)n－1nn＋12(n∈N*)．【拓展演练1】(1)求值：(a－1)＋(a2－2)＋…＋(an－n)；(2)(2012·湖南省郴州第三次模拟)若数列{an}的通项公式是an＝(－1)n(3n－2)，则a1＋a2＋…＋a10＝()A．15B．12C．－12D．－15解析：(1)因为Sn＝(a－1)＋(a2－2)＋…＋(an－n)＝(a＋a2＋…＋an)－(1＋2＋…＋n)．当a＝1时，Sn＝n－nn＋12＝－n2＋n2.当a≠1时，Sn＝a1－an1－a－nn＋12.所以Sn＝－n2＋n2a＝1a1－an1－a－nn＋12a≠1.(2)因为an＝(－1)n(3n－2)，所以a1＋a2＋…＋a10＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋(－25＋28)＝15.故选A.二裂项相消法求和【例2】(2012·黑龙江绥棱期末)函数f(x)＝x3，在等差数列{an}中，a3＝7，a1＋a2＋a3＝12，记Sn＝f(3an＋1)，令bn＝anSn，数列{1bn}的前n项和为Tn.(1)求{an}的通项公式和Sn；(2)求证：Tn13.解析：(1)设数列{an}的公差为d.由a3＝a1＋2d＝7，a1＋a2＋a3＝3a1＋3d＝12，解得a1＝1，d＝3，所以an＝3n－2.因为f(x)＝x3，所以Sn＝f(3an＋1)＝an＋1＝3n＋1.(2)证明：因为bn＝anSn＝(3n－2)(3n＋1)，所以1bn＝13n－23n＋1＝13(13n－2－13n＋1)，Tn＝1b1＋1b2＋…＋1bn＝13[(1－14)＋(14－17)＋…＋(13n－2－13n＋1)]＝13(1－13n＋1)13.【拓展演练2】(2012·北京市东城区第一学期期末)在等差数列{an}中，a1＝3，其前n项和为Sn，等比数列{bn}的各项均为正数，b1＝1，公比为q，且b2＋S2＝12，q＝S2b2.(1)求an与bn；(2)证明：13≤1S1＋1S2＋…＋1Sn23.解析：(1)设数列{an}的公差为d，则由b2＋S2＝12q＝S2b2，得q＋6＋d＝12q＝6＋dq，解得q＝3或q＝－4(舍去)，d＝3，故an＝3＋3(n－1)＝3n，bn＝3n－1.(2)因为Sn＝n3＋3n2，所以1Sn＝2n3＋3n＝23(1n－1n＋1)，故1S1＋1S2＋…＋1Sn＝23[(1－12)＋(12－13)＋(13－14)＋…＋(1n－1n＋1)]＝23(1－1n＋1)．因为n≥1，所以01n＋1≤12，于是12≤1－1n＋11，所以13≤23(1－1n＋1)23，即13≤1S1＋1S2＋…＋1Sn23.【例3】(2012·广东韶关市第一次调研)已知函数f(x)＝log2x，且数列{f(an)}是首项为2，公差为2的等差数列．(1)求证：数列{an}是等比数列；(2)设bn＝an·f(an)，求数列{bn}的前n项和Sn的最小值．三错位相减法求和解析：(1)证明：由题意f(an)＝2＋(n－1)×2＝2n，即log2an＝2n.所以an＝(2)2n＝2n，所以an＋1an＝2n＋12n＝2.所以数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列．(2)由(1)知，bn＝an·f(an)＝n·2n＋1.所以Sn＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋n·2n＋1，①2Sn＝1·23＋2·24＋…＋3·25＋…＋n·2n＋2.②②－①，得Sn＝－22－23－24－…－2n＋1＋n·2n＋2＝－221－2n1－2＋n·2n＋2.所以Sn＝(n－1)2n＋2＋4.因为{Sn}是递增数列，所以Sn的最小值等于S1＝4.【拓展演练3】(2012·江西省十所重点中学第二次联考)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d≠0，且S3＋S5＝50，a1，a4，a13成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bnan是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{bn}的前n项和Tn.解析：(1)依题意得3a1＋3×22d＋5a1＋4×52d＝50a1＋3d2＝a1a1＋12d)，解得a1＝3d＝2)，所以an＝a1＋(n－1)d＝3＋2(n－1)＝2n＋1，即an＝2n＋1.(2)bnan＝3n－1，bn＝an·3n－1＝(2n＋1)·3n－1，Tn＝3＋5·3＋7·32＋…＋(2n＋1)·3n－1，3Tn＝3·3＋5·32＋7·33＋…＋(2n－1)·3n－1＋(2n＋1)·3n.－2Tn＝3＋2·3＋2·32＋…＋2·3n－1－(2n＋1)·3n＝3＋2·31－3n－11－3－(2n＋1)3n＝－2n·3n，所以Tn＝n·3n.1.(2012·全国卷)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝5，S5＝15，则数列{1anan＋1}的前100项和为()A.100101B.99101C.99100D.101100A解析：由a5＝5，S5＝15，可得a1＋4d＝55a1＋5×42d＝15，解得a1＝1d＝1，所以an＝n.所以1anan＋1＝1nn＋1＝1n－1n＋1，S100＝(1－12)＋(12－13)＋…＋(1100－1101)＝1－1101＝100101.2.(2011·北京卷)在等比数列{an}中，a1＝12，a4＝－4，则公比q＝－2；a1＋a2＋…＋an＝.解析：q3＝a4a1＝－8，所以q＝－2；由a1＝12，q＝－2，得到等比数列的前n项和Sn＝a1＋a2＋…＋an＝12[1－－2n]1－－2＝1－－2n6.3.(2012·新课标全国卷)数列{an}满足an＋1＋(－1)nan＝2n－1，则{an}的前60项和为.解析：由an＋1＋(－1)nan＝2n－1，得an＋2＝(－1)nan＋1＋2n＋1＝(－1)n[(－1)n－1an＋2n－1]＋2n＋1＝－an＋(－1)n(2n－1)＋2n＋1，即an＋2＋an＝(－1)n(2n－1)＋2n＋1，也有an＋3＋an＋1＝－(－1)n(2n＋1)＋2n＋3，两式相加得an＋an＋1＋an＋2＋an＋3＝－2(－1)n＋4n＋4，设k为整数，则a4k＋1＋a4k＋2＋a4k＋3＋a4k＋4＝－2(－1)4k＋1＋4(4k＋1)＋4＝16k＋10，于是S60＝k＝014(a4k＋1＋a4k＋2＋a4k＋3＋a4k＋4)＝k＝014(16k＋10)＝1830.4.(2012·江西卷)已知数列{an}的前n项和Sn＝－12n2＋kn(其中k∈N*)，且Sn的最大值为8.(1)确定常数k，并求an；(2)求数列{9－2an2n}的前n项和Tn.解析：(1)当n＝k∈N*时，Sn＝－12n2＋kn取最大值，即8＝Sk＝－12k2＋k2＝12k2，故k2＝16，因此k＝4，从而an＝Sn－Sn－1＝92－n(n≥2)，又a1＝S1＝72，所以an＝92－n.(2)因为bn＝9－2an2n＝n2n－1，Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝1＋22＋322＋…＋n－12n－2＋n2n－1，所以Tn＝2Tn－Tn＝2＋1＋12＋…＋12n－2－n2n－1＝4－12n－2－n2n－1＝4－n＋22n－1.