【优化方案】2012高考数学总复习 第5章第1课时数列的概念精品课件 文 新人教A版

第1课时数列的概念考点探究·挑战高考考向瞭望·把脉高考第课时数列的概念温故夯基·面对高考1温故夯基·面对高考1．数列的概念按照__________排列着的一列数称为数列，一般用_______表示．一定顺序{an}2．数列的分类分类原则类型满足条件按项数分类有穷数列项数______无穷数列项数______按项与项间的大小关系分类递增数列an＋1an其中n∈N*递减数列an＋1_____an常数列an＋1＝an摆动数列从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项有限无限3.数列与函数的关系(1)从函数观点看，数列可以看成是以正整数集N*(或N*的有限子集{1,2,3，…，n})为定义域的函数an＝f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．(2)数列同函数一样有_________、________、_________三种表示方法．解析法图象法列表法4．数列的通项公式如果数列{an}的第n项an与________之间的关系可以用一个公式____________来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．序号nan＝f(n)思考感悟一个数列的通项公式唯一吗？是否每个数列都有通项公式？提示：不唯一，如数列－1,1,－1,1,…的通项公式可以是an＝(－1)n或an＝－1n为奇数，1n为偶数，有的数列没有通项公式．5．数列的递推公式如果已知数列{an}的首项(或前几项)，且任一项an与它的前一项an－1(n≥2)(或前几项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式．考点探究·挑战高考由数列前几项求数列通项公式根据数列的前若干项写出数列的一个通项公式，解决这一题型的关键是通过观察、分析、比较去发现项与项之间的关系，如果关系不明显，应该将项作适当变形或分解，让规律突现出来，便于找到通项公式；同时还要借助一些基本数列的通项及其特点．考点突破写出下面各数列的一个通项公式．(1)3,5,7,9，….(2)12，34，78，1516，3132，….(3)－1，32，－13，34，－15，36，….(4)3,33,333,3333，….例1【思路分析】写出项数n和对应项an→寻求an与n的关系→写出一个通项公式an＝fn【解】(1)各项减去1后为正偶数，所以an＝2n＋1.(2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21，22，23，24，…，所以an＝2n－12n.(3)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含有因子(－1)n；各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4，…；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为2－1，偶数项为2＋1，所以an＝(－1)n·2＋－1nn.也可写为an＝－1n，n为正奇数3n，n为正偶数.(4)数列各项改写为93，993，9993，99993，…分母都是3，而分子是10－1,102－1,103－1,104－1，…，∴an＝13(10n－1)．【误区警示】在解决有关通项公式的问题时易在以下环节出错：(1)项数搞错；(2)由归纳法求通项时，只满足前2项或3项，而不能满足所有的情况．由递推公式求数列通项公式(1)已知数列的递推公式求通项，可把每相邻两项的关系列出来，抓住它们的特点进行适当处理，有时借助拆分或取倒数等方法构造等差数列或等比数列，转化为等差数列或等比数列的通项问题．(2)由Sn求an时，要分n＝1和n≥2两种情况讨论，然后验证两种情况可否用统一的解析式表示，若不能，则用分段函数的形式表示为an＝S1n＝1Sn－Sn－1n≥2.根据下列条件，确定数列{an}的通项公式．(1)已知数列{an}满足an＋1＝an＋3n＋2，且a1＝2；(2)a1＝1，an＝n－1nan－1(n≥2)；(3)已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n＋1.例2【思路分析】(1)可利用累加法求解．(2)可转化后利用累乘法求解．(3)利用an＝Sn－Sn－1求解．【解】(1)∵an＋1－an＝3n＋2，∴an－an－1＝3n－1(n≥2)，∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝(3n－1)＋(3n－4)＋…＋5＋2＝2＋3n－12×n＝n3n＋12(n≥2)．当n＝1时，a1＝12×(3×1＋1)＝2符合公式，∴an＝32n2＋n2.(2)∵an＝n－1nan－1(n≥2)，∴an－1＝n－2n－1an－2，…a2＝12a1.以上(n－1)个式子相乘得．an＝a1·12·23·…·n－1n＝a1n＝1n(n≥2)．当n＝1时，a1＝11＝1符合公式，∴an＝1n.(3)当n＝1时，a1＝S1＝2×12－3×1＋1＝0；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n＋1)－2(n－1)2＋3(n－1)－1＝4n－5；又n＝1时，an＝4×1－5＝－1≠a1，∴an＝0，n＝1，4n－5，n≥2.【规律方法】本例易出现抓不住关系式的特点而进行盲目变形，无法求出通项公式的错误，解题时注意以下两个方面：(1)对于形如an＋1＝an＋f(n)的递推公式求通项公式，只要f(n)可求和，便可利用累加的方法．(2)对于形如an＋1an＝g(n)的递推公式求通项公式，只要g(n)可求积，便可利用累乘的方法或迭代的方法．互动探究本例中①(1)小题改为a1＝1，an＝an－1＋3n－1(n≥2)；②(3)小题改为：Sn＝3n＋b.试求之．解：①∵an＝an－1＋3n－1，∴an－1＝an－2＋3n－2，an－2＝an－3＋3n－3，…a2＝a1＋31，以上(n－1)个式子相加得an＝a1＋31＋32＋…＋3n－1＝1＋3＋32＋…＋3n－1＝3n－12.②当n＝1时，a1＝S1＝3＋b，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2·3n－1，因此，当b＝－1时，a1＝2适合an＝2·3n－1，∴an＝2·3n－1.当b≠－1时，a1＝3＋b不适合an＝2·3n－1，∴an＝3＋bn＝12·3n－1n≥2.综上可知，当b＝－1时，an＝2·3n－1；当b≠－1时，an＝3＋bn＝12·3n－1n≥2.数列的特性(1)因为数列可以看作是一类特殊的函数，因而数列也具备一般函数应具备的性质．(2)求数列的最大(小)项，一般可以先研究数列的单调性，可以用an≥an－1an≥an＋1或an≤an－1an≤an＋1，也可以转化为函数最值问题或利用数形结合．(2010年高考陕西卷)对于数列{an}，“an＋1|an|(n＝1,2，…)”是“{an}为递增数列”的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【思路分析】充分性利用|an|≥an，必要性可以举出反例．例3【解析】由an＋1|an|可得an＋1an.∴{an}是递增数列．∴“an＋1|an|”是“{an}为递增数列”的充分条件．当数列{an}为递增数列时，不一定有an＋1|an|，如：－3,－2,－1,0,1，….∴“an＋1|an|”不是“{an}为递增数列”的必要条件．【答案】B【名师点评】对于必要条件的判定若不举反例，并不易证明，反例法是我们解决问题的一种常用方法，在解决不等式一类问题中经常使用．方法感悟方法技巧1．数列的概念及简单表示数列中的数是有序的，要注意辨析数列的项和数集中元素的异同；数列的简单表示要类比函数的表示方法来理解．数列{an}可以看作是一个定义域为正整数集或它的子集{1,2,3,…,n}的一列函数值．2．由数列的前几项归纳出其通项公式据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：(1)分式中分子、分母的特征；(2)相邻项的变化特征；(3)拆项后的特征；(4)各项符号特征和绝对值特征．并对此进行归纳、化归、联想．(如例1)3．由递推公式求数列中的项或通项递推公式是给出数列的一种方式，读懂递推公式，搞清相邻项之间的关系，或由两项之间的关系构造数列，求出其通项公式．失误防范1．数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列．因此，在研究函数问题时既要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性．2．由Sn求an时，an＝S1n＝1Sn－Sn－1n≥2，注意验证a1是否包含在后面an的公式中，若不符合要单独列出，一般已知条件含an与Sn的关系的数列题均可考虑上述公式(如例2)．考向瞭望·把脉高考通过对近几年广东高考试题的统计分析可以看出，本节主要考查数列的项、项数、通项公式、an与Sn的关系，由数列的递推关系求通项时，通常将其变形成等差数列、等比数列，或与函数的周期性等有关的问题．预测2012年广东高考仍将以Sn与an的关系为主要考点，重点考查学生的运算能力与逻辑推理能力．考情分析真题透析例(2010年高考辽宁卷)已知数列{an}满足a1＝33，an＋1－an＝2n，则的最小值为________．nan【解析】由an＋1－an＝2n，得an－an－1＝2(n－1)，an－1－an－2＝2(n－2)，…，a2－a1＝2.将这n－1个式子累加得an－a1＝2n－11＋n－12＝n2－n.∵a1＝33，∴an＝n2－n＋33，∴ann＝n2－n＋33n＝n＋33n－1.当n＝6时，ann有最小值212.【答案】212【名师点评】本题考查了累加法和函数单调性，试题难度适中．名师预测1．数列13，14，15，…，1n，…中第10项是()A.19B.110C.111D.112答案：D2．已知数列{an}的通项公式是an＝2n3n＋1，那么这个数列是()A．递增数列B．递减数列C．摆动数列D．常数列答案：A3．(教材习题改编)数列1，23，35，47，59，…的一个通项公式an是()A.n2n＋1B.n2n－1C.n2n－3D.n2n＋3答案：B4．已知数列{an}的通项公式是an＝2·3n－1n为偶数2n－5n为奇数，则a3a4＝________.答案：54