八年级数学全等三角形一对一辅导讲义(2)

1八数第三周辅导资料（TH）2016.09.16辅导内容：全等三角形（2）知识梳理：一、二、寻找两个三角形全等的途径（1）三角形全等的判定是这个单元的重点，也是平面几何的重点①有两组对应角相等时；找②有两组对应边相等时；找③有一边，一邻角相等时；找④有一边，一对角相等时；找任一组角相等（AAS）2基础测试：1．如图，若OA＝OB，OC＝OD，∠O＝50°，∠D＝35°，则∠AEC的度数为()A．60°B．50°C．45°D．30°2．如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M，N的距离．若△PQO≌△NMO，则只需测出其长度的线段是()A．POB．PQC．MOD．MQ3．已知△A1B1C1与△A2B2C2的周长相等，现有两个判断：①若A1B1＝A2B2，A1C＝A2C2，则△A1B1C1≌△A2B2C2；②若∠A1＝∠A2，∠B1＝∠B2，则△A1B1C1≌△A2B2C2．对于上述两个判断，下列说法正确的是()A．①正确，②错误B．①错误，②正确C．①②都错误D．①②都正确4．如图，已知点A，D，C，F在同一条直线上，AB＝DE，BC＝EF，要使△ABC≌△DEF，还需要添加一个条件是()A．∠BCA＝∠FB．∠B＝∠EC．BC∥EFD．∠A＝∠EDF5．如图，为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背面加钉了一根木条，这样做的道理是_______．6．如图，OA＝OB，OC＝OD，若∠O＝60°，∠C＝25°，则∠BED＝_______．7．如图，已知点C是∠AOB平分线上的点，点P，P'分别在OA，OB上，如果要得到OP＝OP'，需要添加以下条件中的某一个即可：①∠OCP＝∠OCP'；②∠OPC＝∠OP'C；③PC＝P'C；④PP'⊥OC．请你写出所有可能的结果的序号：_______．8．若三角形的两边长分别为5和7，则第三边上的中线长x的取值范围是_______．9．如图，在△ABC中，∠B=2∠C，且AD⊥BC于D．求证：CD=AB+BD．第5题第6题第7题3例题讲解：一、截取构全等如下左图所示，OC是∠AOB的角平分线，D为OC上一点，F为OB上一点，若在OA上取一点E，使得OE=OF，并连接DE，则有△OED≌△OFD，从而为我们证明线段、角相等创造了条件。例：如上右图所示，AB//CD，BE平分∠BCD，CE平分∠BCD，点E在AD上，求证：BC=AB+CD。提示：在BC上取一点F使得BF=BA，连结EF。二、角分线上点向角两边作垂线构全等利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。如下左图所示，过∠AOB的平分线OC上一点D向角两边OA、OB作垂线，垂足为E、F，连接DE、DF。则有：DE=DF，△OED≌△OFD。例：如上右图所示，已知ABAD,∠BAC=∠FAC,CD=BC。求证：∠ADC+∠B=1804三、作角平分线的垂线构造等腰三角形。如下左图所示，从角的一边OB上的一点E作角平分线OC的垂线EF，使之与角的另一边OA相交，则截得一个等腰三角形（△OEF），垂足为底边上的中点D，该角平分线又成为底边上的中线和高，以利用中位线的性质与等腰三角形的三线合一的性质。如果题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交，从而得到一个等腰三角形，可总结为：“延分垂，等腰归”。例1、如上右图所示，已知∠BAD=∠DAC，ABAC,CD⊥AD于D，H是BC中点。求证：DH=（AB-AC）提示：延长CD交AB于点E，则可得全等三角形。问题可证。例2、已知，如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90o，∠1=∠2，CE⊥BD的延长线于E,求证：BD=2CE提示：延长CE交BA的延长线于点F。5四、作平行线构造等腰三角形作平行线构造等腰三角形分为以下两种情况：①如下左图所示，过角平分线OC上的一点E作角的一边OA的平行线DE，从而构造等腰三角形ODE。②如下右图所示，通过角一边OB上的点D作角平分线OC的平行线DH与另外一边AO的反向延长线相交于点H，从而构造等腰三角形ODH。五、由中点想到的辅助线在三角形中，如果已知一点是三角形某一边上的中点，那么首先应该联想到三角形的中线加倍延长中线及其相关性质（等腰三角形底边中线性质），然后通过探索，找到解决问题的方法。（1）中线把原三角形分成两个面积相等的小三角形即如图1，AD是ΔABC的中线，则SΔABD=SΔACD=SΔABC（因为ΔABD与ΔACD是等底同高的）。例3、如图2，ΔABC中，AD是中线，延长AD到E，使DE=AD，DF是ΔDCE的中线。已知ΔABC的面积为2，求：ΔCDF的面积。6（2）倍长中线已知中点、中线问题应想到倍长中线，由中线的性质可知，一条中线将中点所在的线段平分，可得到一组等边，通过倍长中线又可得到一组等边及对顶角，因而可以得到一组全等三角形。如图，延长AD到E，使得AD=AE，连结BE。六、验证中点、中线问题，应构造平行线如图，过B作BE平行AC交AD延长线于E。例4．如图3，在等腰△ABC中，AB=AC，在AB上截取BD，在AC延长线上截取CE，且使CE=BD．连接DE交BC于F．求证：DF=EF．7反馈检测：一、选择题（每题2分，共16分）1．如图，已知△ACB≌△A'CB'，若∠BCB'＝30°，则∠ACA'的度数为()A．20°B．30°C．35°D．40°2．工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取点M，N，使OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合，过角尺顶点C作射线OC．由做法得△MOC≌△NOC的依据是()A．AASB．SASC．ASAD．SSS3．如图，在△ABC和△DEC中，已知AB＝DE，还需要添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组是()A．BC＝EC，∠B＝∠EB．BC＝EC，AC＝DCC．BC＝DC，∠A＝∠DD．∠B＝∠E，∠A＝∠D4．如图，点B，C，E在同一条直线上，若△ABC与△CDE都是等边三角形，则下列结论不一定成立的是()A．△ACE≌△BCDB．△BGC≌△AFCC．△DCG≌△ECFD．△ADB≌△CEA5．在如图所示的4×4的正方形网格中，∠1＋∠2＋∠3＋么4＋∠5＋∠6－∠7的度数为()A．330°B．315°C．310°D．320°6．如图，在△ABC中，AQ＝PQ，PR＝PS，若PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别为点R，S，给出下列三个结论：①AS＝AR；②QP∥AR；③△BPR≌△QPS．其中正确的是()A．①②③B．①C．①②D．①③7．如图1，已知两个全等直角三角形的直角顶点及一条直角边重合．若将△ACB绕点C按顺时针方向旋转到△A'CB'的位置（图2），其中A'C交直线AD于点E．A'B'分别交直线AD，AC于点F，G，则在图2中，全等三角形共有()A．5对B．4对C．3对D．2对8．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为点F，DE＝DG．若△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为()A．11B．5.5C．7D．3.5二、填空题（每题2分，共20分）9．如图所示是用七巧板拼成的一艘帆船，其中全等的三角形共有_______对．10．如图，△ABC≌△DEF，请根据图中提供的信息，写出x＝_______．811．如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB∥DE，BE＝CF，请添加一个条件_______，使△ABC≌△DFF．（写出一个即可）12．如图，已知∠1＝∠2＝90°，如果AD＝AE，那么图中有_______对全等三角形．13．如图，以△ABC的顶点A为圆心、BC长为半径作弧，再以顶点C为圆心、AB长为半径作弧，两弧交于点D，连接AD，CD．若∠B＝65°，则∠ADC＝_______．14．在△ADB和△ADC中，给出下列条件：①BD＝DC，AB＝AC；②∠B＝∠C，∠BAD＝∠CAD；③∠B＝∠C，BD＝DC；④∠ADB＝∠ADC，BD＝DC．其中能得出△ADB≌△ADC的序号是_______．15．如图，黄芳不小心把一块三角形的玻璃打成三块碎片，现要带其中一块去配出与原来完全一样的玻璃，正确的办法是带第_______块去配，其依据是定理_______（可以用字母简写）．16．如图，D为Rt△ABC斜边BC上的一点，且BD－AB，过点D作BC的垂线，交AC于点E，若AE＝12cm，则DE的长为_______cm．17．如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为点D，E，AD与BE相交于点F，若BF＝AC，则∠ABC＝_______．18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，线段PQ＝AB，P，Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AO上运动，当AP＝_______时，△ABC≌△QPA．三、解答题（共64分）19．（本题6分）如图，已知△ABC≌△DEF，∠A＝85°，∠B＝60°，AB＝8，EH＝2．(1)求么F的度数与DH的长；(2)求证：AB∥DE．920．（本题6分）如图，已知在△ABC中，D为BC上的一点，AD平分∠EDC，且∠E＝∠B，ED＝DC．求证：AB＝AC．21．（本题6分）如图，已知点B，C，D，E在同一条直线上，AB＝FC，AD＝FE，BC＝DE，探索AB与FC的位置关系？并说明理由．22．（本题6分）有两块完全相同的三角形纸板ABC和DEF，按如图所示的方式叠放，阴影部分为重叠部分，点O为边AC和DF的交点．(1)不重叠的两部分△AOF与△DOC是否全等？为什么？(2)连接BO，求证：BO平分∠ABD．23．（本题6分）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN，BE⊥MN，垂足分别为点D，E．求证：DE＝AD＋BE．1024．（本题8分）如图，把一个Rt△ACB（∠ACB＝90°）绕着顶点B按顺时针方向旋转60°，使得点C旋转到边AB上的一点D，点A旋转到点E的位置．F，G分别是BD，BE上的点，BF＝BG，延长CF与DG交于点H．(1)求证：CF＝DG；(2)求∠FHG的度数．25．（本题8分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AE是边BC上的中线，过点C作CF⊥AE，垂足为点F，过点B作BD⊥BC交CF的延长线于点D．(1)求证：AE＝CD；(2)若AC＝12cm，求BD的长．26．（本题8分）如图，两根旗杆间相距12m，某人从点B沿BA走向点A，一段时间后他到达点M，此时他仰望旗杆的顶点C和D，两次视线的夹角为90°，且CM＝DM．已知旗杆AC的高为3m，此人的运动速度为1m/s，求这个人运动了多长时间．27．（本题10分）如图，已知CE⊥AB，BD⊥AC，垂足分别为点E，D，BD与CE交于点O，且AO平分∠BAC．(1)图中有多少对全等三角形？请一一列举出来（不必说明理由）．(2)小明说：欲证BE＝CD，可先证明△AOF≌△AOD，得到AE＝AD，再证明△ADB≌△AEC．得到AB＝AC，然后利用等式的性质得到BE＝CD，请问他的说法正确吗？如果正确，请按照他的说法写出推导过程；如果不正确，请说明理由．(3)要得到BE＝CD，你还有其他思路吗？若有，请写出推理过程．11基础测试参考答案1.A2.B3.D4.B5．三角形具有稳定性6.70°7.①②④8.1x69.∠B＝∠D．10．略反馈检测参考答案一、选择题1．B2．D3．C4．D5．B6．C7．B8．B二、填空题9．210．2011．∠A＝∠D或AB＝DE或∠ACB＝∠DFE或AC∥DF12．313．65°14．①②④15．③．ASA16．1217．45°18．5三、解答题19．(1)6(2)略20．jj21．AB//FC．22．(1)不重叠的两部分△AOF与△DOC全等(2)略23．略24．(1)略(2)120°25．(1)略(2)6cm26．3s27．(1)图中有4对全等三角形，分别是△ADB≌△AEC，△ADO≌△AEO，△AOB≌△AOC，