5直线与抛物线的位置关系

2.3直线与抛物线的位置关系[学习目标]1.明确直线与抛物线的位置关系，掌握直线与抛物线的位置关系的判定方法(重点)．2.会用方程、数形结合的思想解决直线与抛物线的位置关系、弦长及弦中点等问题(难点)．1．直线与抛物线的位置关系(1)直线与抛物线的位置关系有相离、相切、相交．(2)直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线有1个交点．温馨提示直线与抛物线只有一个公共点时，不只直线与抛物线相切的情况，还有直线与抛物线的对称轴平行的情况，是相交而非相切．•直线与抛物线交点个数的判断方法•设直线l：y＝kx＋m，抛物线：y2＝2px(p0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程ax2＋bx＋c＝0，•①若a≠0，•当Δ0时，直线与抛物线相交，有两个交点；•当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点；•当Δ0时，直线与抛物线相离，无交点．•②若a＝0，直线与抛物线有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合，因此直线与抛物线有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件．2．弦长公式设直线l的方程为：y＝kx＋m，抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)，直线与抛物线相交，两个交点为P1，P2，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x(或y)的一元二次方程形式：ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则弦长|P1P2|＝1＋k2|x1－x2|或1＋1k2|y1－y2|.[思考尝试·夯基]1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若一条直线与抛物线只有一个公共点则二者一定相切．()(2)过点(1，0)的直线l被抛物线y2＝4x截得的最短弦长为4.()(3)直线x－2y＋1＝0与抛物线y2＝x的关系是相交．()解析：(1)错误．直线与抛物线只有一个公共点，除了相切情况，还有直线与抛物线对称轴平行的情况．(2)正确．(1，0)恰为y2＝4x的焦点，过焦点的弦中通径是最短的，其通径为4.(3)错误．由x－2y＋1＝0，y2＝x⇒y2－2y＋1＝0，Δ＝0，故二者相切，而非相交．答案：(1)×(2)√(3)×2．过(1，1)作直线与抛物线y2＝x只有一个公共点，这样的直线有()A．4条B．3条C．2条D．1条解析：由于点(1，1)在抛物线y2＝x上，所以过点(1，1)作与抛物线只有一个交点的直线，可作2条，一条是与抛物线对称轴平行的直线，另一条是与抛物线相切的直线．答案：C3．抛物线y＝ax2＋1与直线y＝x相切，则a等于()A.18B.14C.12D．1解析：由y＝ax2＋1，y＝x，消去y，得ax2－x＋1＝0.因为直线y＝x与抛物线y＝ax2＋1相切，所以方程ax2－x＋1＝0有两相等实根．所以判别式Δ＝(－1)2－4a＝0，所以a＝14.答案：B4.抛物线顶点在坐标原点，以y轴为对称轴，过焦点且与y轴垂直的弦长为16，则抛物线方程为________．解析：因为过焦点且与对称轴y轴垂直的弦长等于p的2倍，所以所求抛物线方程为x2＝±16y.答案：x2＝±16y类型1直线与抛物线的位置关系(自主研析)[典例1]已知直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，l与C有一个公共点、两个公共点、没有公共点？[自主解答]将l和C的方程联立得y＝kx＋1，y2＝4x，消去y，得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.(*)当k＝0时，方程(*)只有一个解，为x＝14，此时y＝1.所以直线l与C只有一个公共点14，1，此时直线l平行于x轴．当k≠0时，方程(*)是一个一元二次方程，①当Δ＞0，即k＜1且k≠0时，l与C有两个公共点，此时直线l与C相交；②当Δ＝0，即k＝1时，l与C有一个公共点，此时直线l与C相切；③当Δ＜0，即k＞1时，l与C没有公共点，此时直线l与C相离．综上所述，当k＝1或k＝0时，直线l与C有一个共点．当k＜1且k≠0时，直线l与C有两个公共点；当k＞1时，直线l与C没有公共点．归纳升华1．设直线l：y＝kx＋m，抛物线y2＝2px(p＞0)，将直线方程与抛物线方程联立，整理成关于x的方程k2x2＋(2km－2p)x＋m2＝0.(1)若k≠0，当Δ＞0时，直线与抛物线相交，有两个交点；当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点；当Δ＜0时，直线与抛物线相离，无交点．(2)若k＝0，直线与抛物线只有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合．因此直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件．设直线l：x＝m，抛物线y2＝2px(p＞0)．当m＜0时，直线与抛物线相离，无交点；当m＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点；当m＞0时，直线与抛物线相交，有两个交点．2．研究直线与抛物线的位置关系，要注意直线的斜率是否存在，直线过焦点时，要注意焦点弦公式的利用．[变式训练]已知直线l过点A－3p2，p，且与抛物线y2＝2px(p0)只有一个公共点，则直线l的方程为________．解析：(1)当直线与抛物线只有一个公共点(相切)时，由题意设直线l方程为y－p＝kx＋3p2(k≠0)．将直线l的方程与y2＝2px联立，消去x得ky2－2py＋(2＋3k)p2＝0.由Δ＝0得，k＝13或k＝－1.所以直线l的方程为2x－6y＋9p＝0，或2x＋2y＋p＝0.当直线l与x轴平行时，直线l与抛物线只有一个交点，此时，y＝p，故满足条件的直线共有三条，其方程为：2x－6y＋9p＝0，或2x＋2y＋p＝0，或y＝p.答案：2x－6y＋9p＝0，或2x＋2y＋p＝0，或y＝p.类型2直线被抛物线所截的弦长问题[典例2]设直线y＝2x＋b与抛物线y2＝4x交于A，B两点，已知弦AB的长为35，求b的值．解：由y＝2x＋b，y2＝4x，消去y，得4x2＋4(b－1)x＋b2＝0.由Δ＞0，得b＜12.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝1－b，x1x2＝b24.所以|x1－x2|＝（x1＋x2）2－4x1x2＝1－2b.所以|AB|＝1＋22|x1－x2|＝5·1－2b＝35，所以1－2b＝9，解得b＝－4＜12，所以b的值为－4.归纳升华1．直线与抛物线相交和椭圆、双曲线方法上类似，常用韦达定理和用设而不求的解题方法．2．涉及弦长时，常用韦达定理来表示弦长或借助弦长公式求其他量．[变式训练]顶点在原点，焦点在y轴上的抛物线被直线x－2y－1＝0截得的弦长为15，求抛物线方程．解：设抛物线方程为：x2＝ay(a≠0)，由方程组x2＝ay，x－2y－1＝0.消去y得：2x2－ax＋a＝0，因直线与抛物线有两个交点，所以Δ＝(－a)2－4×2×a＞0，即a＜0或a＞8.设两交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝a2，x1x2＝a2，y1－y2＝12(x1－x2)，弦长为|AB|＝（x1－x2）2＋（y1－y2）2＝54（x1－x2）2＝54[（x1＋x2）2－4x1x2]＝145（a2－8a）.因为|AB|＝15，所以145（a2－8a）＝15，即a2－8a－48＝0，解得a＝－4或a＝12.所以所求抛物线方程为：x2＝－4y或x2＝12y.类型3抛物线的中点弦及弦长问题[典例3]过点Q(4，1)作抛物线y2＝8x的弦AB，恰被点Q所平分，求弦AB所在直线的方程．解：法一：设以点Q为中点的弦AB的端点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有y21＝8x1，y22＝8x2，所以(y1＋y2)(y1－y2)＝8(x1－x2)．又y1＋y2＝2，所以y1－y2＝4(x1－x2)，即4＝y1－y2x1－x2，所以k＝4.所以弦AB所在直线的方程为y－1＝4(x－4)，即4x－y－15＝0.法二：设弦AB所在直线的方程为y＝k(x－4)＋1.联立y2＝8x，y＝k（x－4）＋1，消去x，得ky2－8y－32k＋8＝0，此方程的两根就是弦AB端点A，B两点的纵坐标，由根与系数的关系得y1＋y2＝8k.又y1＋y2＝2，所以k＝4.所以弦AB所在直线的方程为y－1＝4(x－4)，即4x－y－15＝0.归纳升华1．已知曲线和弦的中点，求弦所在直线的方程的基本思想就是求出斜率k.2．先设出端点坐标，但又不求出端点坐标，代入曲线方程，然后作差，采用消元法求出斜率k的方法常称作“点差法”，特别是对“中点弦”问题非常有效．3．圆锥曲线中的中点弦问题，通常设交点，运用“点差法”求解．[变式训练]若将上例中的抛物线方程改为“y2＝6x”，则弦AB所在直线方程是________．解析：设直线上任意一点坐标为(x，y)，弦两端点A(x1，y1)，B(x2，y2)．因为A，B在抛物线上，所以y21＝6x1，y22＝6x2.两式相减，得(y1＋y2)(y1－y2)＝6(x1－x2)．因为y1＋y2＝2，所以k＝y1－y2x1－x2＝6y1＋y2＝3，所以直线的方程为y－1＝3(x－4)，即3x－y－11＝0.答案：3x－y－11＝01．求抛物线方程时，若由已知条件可知曲线是抛物线，一般用待定系数法；若由已知条件可知曲线动点的规律，一般用定义法．2．直线与抛物线有一个交点，是直线与抛物线相切的必要不充分条件．3．直线与抛物线的相交弦问题共有两类，一类是过焦点的弦，一类是不过焦点的弦．解决弦的问题，大多涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率．常用的办法是将直线与抛物线联立，转化为关于x或y的一元二次方程，然后利用根与系数的关系，这样避免求交点．尤其是弦的中点问题，还应注意“点差法”的运用．