第五章大数定律及中心极限定理

第五章大数定律及中心极限定理§1大数定律§2中心极限定理退出前一页后一页目录第五章大数定律及中心极限定理§1大数定律•大数定律的定义•切比晓夫大数定律•贝努里大数定律•辛钦大数定律退出前一页后一页目录§1大数定律第五章大数定律及中心极限定理问题：测量一个工件时，由于测量具有误差，为什么以各次的平均值来作为测量的结果？而且只要测量的次数足够多，总可以达到要求的精度？我们把这问题给出数学表达：,nn次测量误差为第就是一个独立同分布，则n的随机变量序列。均值为0,nnaXn次测量值就是第的随机变量序列。就是均值为aXn这里反映了什么样的客观统计规律呢？,a如果工件的真值为退出前一页后一页目录§1大数定律第五章大数定律及中心极限定理即大量测量值的算术平均值具有稳定性。这就是大数定律所阐述的。次的平均测量值充分大时，当nn)(11nXXnX很接近。应该和真值a测量的经验就是：退出前一页后一页目录§1大数定律第五章大数定律及中心极限定理定义1,1}|{|limaYPnn若对任意是一个常数；是随机变量序列，设aYYn,,,1，有0,0}|{|limaYPnn或记为依概率收敛于则称,,,,1aYYn.aYPn想想：数列的收敛性定义，比较数列与随机变量序列收敛性的区别。一、定义退出前一页后一页目录第五章大数定律及中心极限定理服从大数定律。则称}{nX,011PnnkkaXn即,11nkknEXna其中,111lim11nkknkknEXnXnP定义2是随机变量序列，设nXX,1对任意有,0,011lim11nkknkknEXnXnP或§1大数定律退出前一页后一页目录§1大数定律第五章大数定律及中心极限定理).,(),(bagYXgPnn则定理1，若aXPn.bYPn连续，在点函数),(),(bayxg回忆数列的性质，比较它们的相似和不同性。退出前一页后一页目录§1大数定律第五章大数定律及中心极限定理定理2（契比雪夫大数定律）且具有相同的数学期望及方差，相互独立，设随机变量nXX,1,,2,1,,2kDXEXkk有即对任意的0,1}|1{|lim1nkknXnP.0}|1{|lim1nkknXnP或,}{服从大数定律则nX)(大数定律Chebyshev退出前一页后一页目录§1大数定律第五章大数定律及中心极限定理由切比晓夫不等式得：}|1{|1nkkXnP0}|1{|1nkkXnPn时，当证：nkkEXn1)(1nkkXnE1)1(nkn1)(1nkkDXn12)(1nkkXnD1)1(nkn122)(1n222n22/}|{|XP思考：能否把定理中独立性条件减弱？退出前一页后一页目录第五章大数定律及中心极限定理定理3（贝努里大数定律）(Bernoulli大数定律)发生的次数，重贝努里试验中事件为设AnnA发生的概率，是事件Ap,1}|{|limpnnPAn.0}|{|limpnnPAn或证：令.,,2,1,0,1nkAkAkXk不发生次试验中，第发生，次试验中第有则：对任意的0§1大数定律退出前一页后一页目录第五章大数定律及中心极限定理由定理2有,1}|1{|lim1pXnPniin.1}|{|limpnnPAn即，则：nkkAXn1.,,1分布相互独立同服从于两点nXX,,,2,1)1(nkppDXpEXkk，，且§1大数定律退出前一页后一页目录§1大数定律第五章大数定律及中心极限定理注：贝努里大数定律是辛钦大数定律的特殊情况。,,,2,1nkEXk，定理4（辛钦大数定律）.1}|1{|lim1niinXnP相互独立同分布，设随机变量nXX,1且具有数学期望有则：对任意的0思考：比较辛钦大数定律与切比晓夫大数定律条件的差别及强弱。退出前一页后一页目录第五章大数定律及中心极限定理§2中心极限定理•定义•独立同分布的中心极限定理•李雅普诺夫定理•德莫佛-拉普拉斯定理•用频率估计概率时误差的估计退出前一页后一页目录§2中心极限定理第五章大数定律及中心极限定理一、定义)(21}{lim22xdtexZPxtnn有若对任意1Rx且独立的随机变量序列，设,,,1nXX存在，令：kkDXEX,,/)(111nkknkknkknDXEXXZ服从中心极限定理。则称}{nX.)1,0(,分布近似服从较大时即当NZnn退出前一页后一页目录§2中心极限定理第五章大数定律及中心极限定理定理1（独立同分布的中心极限定理）),2,1(,02kDXEXkk，}{lim1xnnXPnkkn).(2122xdtext中心极限定理说明了正态分布的重要地位，它也是统计学中处理大样本时的重要工具。二、中心极限定理序列，且独立同分布的随机变量设,,,1nXX即：服从中心极限定理则,}{nX退出前一页后一页目录§2中心极限定理第五章大数定律及中心极限定理定理2（李雅普诺夫定理），，相互独立，且设),2,1(,0,,,21kDXEXXXkkkkn0}|{|1122nkkknXEBn时，使得当(Liapunov定理)，若存在正数设,122nkknB则服从中心极限定理，即：}{nX}/)({lim121xXPnkkknkknxtdte2221).(x退出前一页后一页目录第五章大数定律及中心极限定理由定理1有结论成立。定理3（德莫佛-拉普拉斯定理）),10(),2,1)(,(~pnpnBn设随机变量xtnkkndtexnnXP21221}{lim(DeMoivre--Laplace)}{limxnpqnpPnn证明：由二项分布和两点分布的关系知nkknX1,其中相互独立且都服从于两点分布，且nXX,,1pqDXpEXkk，).(xxtdte2221§2中心极限定理有若对任意1Rx退出前一页后一页目录§2中心极限定理第五章大数定律及中心极限定理推论：}{baPn说明：这个公式给出了n较大时二项分布的概率计算方法。}{npqnpbnpqnpnpqnpaPn)()(npqnpanpqnpb)(}{limxxnpqnpPnn),10(),2,1)(,(~pnpnBn设随机变量充分大时，有则当n退出前一页后一页目录§2中心极限定理第五章大数定律及中心极限定理例1车间有200台车床，它们独立地工作着，开工率为0.6,开工时耗电各为1千瓦，问供电所至少要供给这个车间多少电力才能以99.9%的概率保证这个车间正常生产。设至少要供给这个车间r千瓦电才能以99.9%的概率保证这个车间正常生产。由题意有解：记某时刻工作着的车床数为X，则X~B(200,0.6).999.0}{rXP退出前一页后一页目录第五章大数定律及中心极限定理)32.17()48120(r即供给141千瓦电就能以99.9%的概率保证这个车间正常生产。,1.348120-r查表得141.r所以}{rXP而}{baPn)()(npqnpanpqnpb)4.06.02006.0200()4.06.02006.0200(r)48120(r,999.0退出前一页后一页目录§2中心极限定理第五章大数定律及中心极限定理用频率估计概率时误差的估计：由上面的定理知nnpPnpnPnpqnnpqnppqnPn用这个关系式可解决许多计算问题。pqnpqn)(}{limxxnpqnpPnn12pqn退出前一页后一页目录§2中心极限定理第五章大数定律及中心极限定理第一类问题是，求概率已知,,pn;pnPn第二类问题是的概率的差异不大于定数与要使pnn,不小于预先给定的数问最少应做多少次试验？这时只需求满足下式的最小的n,12pqn第三类问题是.,求，及已知pnpnPn12pqn退出前一页后一页目录§2中心极限定理第五章大数定律及中心极限定理例2今从良种率为1/6的种子中任取6000粒，问能以0.99的概率保证在这6000粒种子中良种所占的比例与1/6的差的绝对值不超过多少？相应的良种粒数在哪个范围内？解：，设良种数为X，则应有：设不超过的界限为由德莫佛-拉普拉斯定理),,(~pnBX则99.061-6000PX.6/1,6000pn其中退出前一页后一页目录第五章大数定律及中心极限定理61-6000PX故近似地有,99.016/56/1600060002.6/1,6000pn)(}{limxxnpqnpPnn6/56/1600060006/56/160006/16000PX6/56/1600060006/56/16000600016/56/1600060002退出前一页后一页目录§2中心极限定理第五章大数定律及中心极限定理,995.06/56/160006000即,58.26/56/160006000查表得.0124.0解得良种粒数X的范围为,6000)0124.06/1(6000)0124.06/1(X.1075925X即61-6000X退出前一页后一页目录§2中心极限定理第五章大数定律及中心极限定理例3系统由100个相互独立起作用的部件组成，每个部件的损坏率为0.1。系统要正常工作，至少有85个部件正常工作，求系统正常工作的概率。解：由德莫佛-拉普拉斯定理有}15{XP.952.0359.01.01001.0100159.01.01001.0100159.01.01001.0100XP.15X则X~B(100,0.1)。则整个系统能正常工作当且仅当设X是损坏的部件数，退出前一页后一页目录第五章大数定律及中心极限定理例4一加法器同时收到20个噪声电压，)20,,2,1(kVk201kkVV105}{VP387.0)12/10(20100-VP348.0)387.0(1解：12/1020520-10512/1020520-22VP设它们是互相独立的随机变量，且都在区间(0,10)上服从均匀分布，记的近似值。求105VP§2中心极限定理,5kEV),20,,2,1(k,12/102kDV退出前一页后一页目录一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的。假设每箱平均重50千克，标准差为5千克。若用最大载重量为5吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保障不超载的概率大于0.977。例5解：设最多可装n箱，保障不超载的概率大于0.977。.,,1niXii千克，箱重量为第977.0}5000{1niiXP且niDXEXii,,1,25,50则由中心极限定理有第五章