12章动能定理习题课与实例

第十二章动能定理习题课及应用实例主要内容复习第12章动能定理第12章动能定理习题讲解哈工大、华中科技大考研真题动力学普遍定理的综合运用1、本章内容复习12章核心内容？动能定理：T2－T1＝W12功率方程机械能守恒外力做功的计算：1.常力、变力做功（重力、弹性力作功）；2.刚体定轴转动、刚体平面运动时外力做功。动能的计算：质点质点系平动刚体的动能定轴转动刚体动能平面运动刚体的动能两边求导功由势能提供1.1外力作功外力作功的定义21MMrdFWW)(21dzFdyFdxFZyxMM（一般式）（解析式）常力的功),cos(vFFSW重力的功mghW弹性力的功)(212221kW转矩的功21MdW动滑动摩擦力的功)(constFFSW1.2动能的计算质点221mvT质点系niiivmT1221刚体平动时221CmvT刚体绕定轴转动时221zJT刚体平面运动时222212121PzCJJmvT刚体（动能是物体机械运动的度量）多刚体系统？1.3动能定理的两种形式iWdTiWTT12微分形式：积分形式：通常用积分形式。1.4运用动能定理的基本步骤(1)选取研究对象。一般情况下取整个系统为研究对象（因理想约束情况下，约束反力不作功）。(2)作受力分析，画受力图。(3)计算力的功：计算系统由初始位置到末位置时所受的全部主动力（包括作功的约束力）的功的和。注意：无论外力还是内力，只要做功，都必须计算其功。(4)作运动分析：要分清研究对象中每个物体的运动，还要分清已知运动学参量和未知的参量及相互之间是哪种运动学关系。(5)计算动能，建立动能定理方程：计算在运动始末两个位置的瞬时动能，若应用运动定理的微分形式求加速度，则计算系统在任意瞬时的动能。(6)建立运动学补充方程：动能定理只有一个标量方程，若末知量＞1，应建立运动学补充方程。1.5机械能守恒定律势能：重力势能弹性势能)(01CCZZmgV)(212021kV质点系在某一位置的势能等于质点从该位置运动到零势能位置过程中，有势力作功之和。机械能守恒定律两种势能的计算用机械能守恒定理的解题步骤与应用动量定理基本相同，只是计算势能时，注意零势面的选择。通常采用（2）式。const2211VTVT（1）0)(dtVTd（2）1.6功率与功率方程功率方程：功率：PdtdtdTiW损耗输出输入P-P-PdtdTdtpw),cos(vFFvvFpMp1.7理想约束光滑固定支承面、铰链支座、辊轴支座；连接两个刚体的光滑活动铰链(中间铰)；连接两个质点的无重刚杆；质量不计且不可伸长的柔软细绳；刚体在固定面上作纯滚动。约束力不作功或作功的总和等于零的约束。理想约束的概念：常见的理想约束：1.8解题方法与技巧动能是标量且永远为正值；功是代数量，有正负，须正确判断其正负，及哪些力做功及哪些力不做功。重力之功只与起始和终了位置有关，而与路径无关。弹性力之功也只与起始和终了位置上弹簧变形有关，与路径无关。当初变形大于末变形时，弹性力之功为正，反之为负功。要熟记常见力之功及刚体平动、转动和平面运动时具有的动能的计算。这里要明确刚体平面运动时的动能是随质心平动和绕质心转动动能之和。要明确质点在势力场中运动的特征是机械能守恒，利用机械能守恒定理，易得到质点速度与位置的关系。不要将动能定理和机械能守恒定理混淆。动能定理建立了机械能和其他形式能量转换的定量关系，而机械能守恒定理只建立了质点系动能和势能之间的转换关系，且只适用于保守系统或非保守力不做功的系统。习题详解12—2如图所示，用跨过滑轮的绳子牵引质量为2kg的滑块A沿倾角为30的光滑斜槽运动。设绳子拉力F＝20N。计算滑块由位置A到位置B时，重力与拉力F所作的总功。C知识点：外力作功常力的功),cos(vFFSW重力的功mghW分析：解：mCotOCCotOCAB)326(60*45*30sinmgABmghWg重力作功：）－（＝力所做的功：OBOAFWFF45sin/OCOA＝其中：60sin/OCOB＝J＝因此：C平面机构由两匀质杆AB，BO组成，两杆的质量均为m．长度均为l，在铅垂平面内运动。在杆AB上作用一不变的力偶矩M，由图所示位置从静止开始运动，不计摩擦。求当杆端A即将碰到铰支座O时秆端A的速度。12-7分析：此过程中，系统受主动力矩M以及两杆重力的作用，用动能定理。初始静止，01T当A端即将碰及O点时，系统的动能：ABOBTTT22226121OBOBOOBmlJT221ABPABJTOB杆定轴转动AB杆平面运动如何由JP？OBABOBABBllvOB杆作定轴转动，AB杆作平面运动，P为AB杆的瞬心。lBOPB2222121OBOABPOBABJJTTT2234ml2222)31(21])23(121[21mllmlml外力作功为：)cos1(2212lmgMW)cos1(2203422lmgMml)cos1([432mglMml)]cos1([32mglMmlvA应用动能定理：杆端A的速度：12-8图所示链条全长l＝1m，单位长的质量为，mkg/2悬挂在半径为R＝0.1m，质量m＝1kg的滑轮上，在图示位置受扰动由静止开始下落。设链条与滑轮元相对滑动，沿轮为均质圆盘，求链子离开滑轮时的速度。解：应用动能定理系统初始动能T1=0设链条离开滑轮时的速度为v，则系统末了时刻的动能为：2222222141)(21))(21(21TlvmvvlRvmRTT链条轮外力作功（只有重力作功）：初始时链条质心坐标为（参照P95半圆弧重心公式rxC2）mRRRlRllxC09759.0)]2(422[11mlxC5.022)(2)lg(121212CCCCxxgxxW1212WTT末位置时链条质心坐标为：所以重力功为：代入动能定理：2/512.2smv解得：本题亦可用机械能守恒定理求解。01T2222222141)(21))(21(21TlvmvvlRvmRTT链条轮mRRRlRllxC09759.0)]2(422[11mxC5.02)lg(122CCxxVsmvxxlvmvACC/512.2)lg(214101222以初始位置为零势面，则V1＝0，应用机械能守恒定理，得：用机械能守恒定律求解：12-13周转齿轮传动机构放在水平面内，如图所示。已知动齿轮半径为r，质量为m1，可看成为均质圆盘；曲柄OA，质量为m2，可看成为均质秆；定齿轮半径为R。在曲柄上作用一不变的力偶，其矩为M，使此机构由静止开始运动。求曲柄转过φ角后的角速度和角加速度。解：应用动能定理（选系统为研究对象）。初始时静止，故01T2121212222212121)(3121(TAvmrmrRmTT＝＋轮　杆rrRrvA11,MW12＝设曲柄转过φ角后角速度为ω，则：外力做功：其中：MTT12212932mmMrR)29()(6212mmrRM应用动能定理：………..(a)，得到：将（a）对时间求导，得到：12-14图(a)、(b)所示为在铅垂面内两种支持情况的均质正方形板，边长均为a，质量均为m，初始时均处于静止状态。受某干扰后均沿顺时针方向倒下，不计摩擦，求当OA边处于水平位置时，两方块的角速度。分析：(a)为定轴转动(b)为平面运动本题知识点为求刚体平面运动与定轴转动的动能。解：（a）正方形木板作定轴转动初始时静止，01T设OA边转到水平位置时，板的角速度为ω，则末动能：2221OJT2222322161)2(mamamaamJJCO重力做功：)22(12aamgW应用动力定理，可得：sradaa/468.2（b）：板作平面运动因不考虑摩擦ΣFx=0，且初始时静止，板的质心守恒，因此质心沿铅垂线运动。初始时静止，01T当OA边着地的瞬间，P为板的速度瞬心，此时的动能为：2221bPJT2222125)2(61)2(maammaamJJCP外力只有重力做功：)22(12aamgW应用动能定理，得：sradab/121.3本题亦可用机械能守恒定理来做。12-16均质细杆AB长l，质量为ml，上端B靠在光滑的墙上，下端A铰链与均质圆柱的中心相连。圆柱质量为m2，半径为R，放在粗糙水平面上，自图(a)所示位置由静止开始滚动而不滑动，杆与水平线的交角θ＝45°。求点A在初瞬时的加速度。解法一：用动能定理求解选系统为研究对象。初始时杆AB与水平线交角为θ＝45°，动能01T当θ为任意角时，运动分析如图（b）所示。杆AB的速度瞬心为P1，则sinlvA系统此时的动能为：21122杆轮22121TTωJωJTPP其中：2222222321RmRmRmJPRvA22121211312121lm)l(mlmJP所以：θvmvmTAA221222sin6143外力作功：)sin45(sin2W112gml由动能定理1212WTT，得：)sin45(sin2sin6143122122gmlvmvmAA将上式对时间t求导，并注意到Av为正时，1dtd，得：)(cos)sin16143(2)sin1()61(11212212gmmmavdtdmvAAAsincos)sin16143(2)sin1(611212221lvgmmmavdtdvmAAAAsincos)sin16143(2)sin1(61121221lgmmmadtdvmAA当θ＝45°时，系统静止，0Av求得点A在θ＝45°时的加速度为：211943mmgmaA，代入上式，解法二：应用机械能守恒定理系统中仅重力作功，因此机械能守恒。即T+V=恒量以经过A点的水平面为零势能面，则圆柱的势能为零，杆的势能为：gmlV1sin2θvmvm＝TAA221222sin6143恒量sin243611222121gmlvmlmA设杆的角速度为ω1,轮为ω2,轮心速度υA,则杆的动能为代入机械能守恒定律，得：其中：sin11lAPvA恒量sin243sin6,sin122211gmlvmmlvAA0cos2sincos26243sin61221221dtdgmldtdvmavmmAAA于是可得：上式两端对t求导，得：sin1lvdtdA0sin2cossin3cos23sin31241221mvlmammAAgmmmamammvAAA211121943,2233245,0开始时，有：代入，并化简后得：其中：考研真题1：在倾角为α的斜面上，有重为P的小车，小车用绳索绕定滑轮A，动滑轮B后与固定点C相联，如图所示，设A、B滑轮均为重Q、半径为R的均质圆柱体，在动滑轮B下又挂一重为W的重块，略去摩擦。求：(1)小车向下运动的条件及其加速度。(2)AB段绳索的张力。受力及运动分析如下图。解：运用动能定理。系统的动能：212222122122222121)2(212121212121/)(21212121vgWQRgQRgQvgPgvWQJJvgPTBA2121)487(21]482[21vWQPgvWQQQPgT122211;;vvRvRv由于，故：系统中外力所