2.1直线和圆的位置关系(2)

3.1直线与圆的位置关系（2）复习提问：1、说出直线与圆的位置关系的定义:(1)直线和圆没有公共点时,就说这条直线和这个圆相离。(2)直线和圆有且只有一个公共点时,就说这条直线和这个圆相切。注意：这条直线叫做圆的切线。这个公共点叫做切点。(3)直线和圆有两个公共点时,就说这条直线和这个圆相交。注意：这条直线叫做圆的割线。2、说出直线与圆的位置关系的性质:(1)直线与圆相离=dr(3)直线与圆相交=dr(2)直线与圆相切=d=r●O●O相交●O相切相离rrr┐dd┐d┐ＯdrBCA情境引入如图：直线BC和⊙O的位置关系是_________切线切点公共点Ａ叫_________想一想：满足什么条件的直线是圆的切线？直线BC叫⊙O的_______相切课本P51请按照下述步骤作图：在⊙O上任意取一点A，连结OA。过点A作直线し⊥OA·O·A思考以下问题：（1）圆心O到直线し的距离和圆的半径有什么系？（2）直线し与⊙O的位置有什么关系？根据什么？（3）由此你发现有什么？圆心O到直线し的距离等于圆的半径直线し和⊙O相切。根据切线定义し切线的判定定理•经过半径的外端,并且垂直于这条直径的直线是圆的切线.CDB●OA∵AB是⊙O的直径,直线CD经过A点,且CD⊥AB,∴CD是⊙O的切线.注意：切线的判定定理是证明一条直线是否是圆的切线的根据;作过切点的半径是常用经验辅助线之一.这个定理实际上就是：d=r直线和圆相切的另一种说法。OAOAAO切线识别方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。1.判断下图中的l是否为⊙O的切线?不是不是不是⑴、经过半径外端的直线是圆的切线。⑵、垂直于半径的直线是圆的切线。⑶、过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线。⑷、和圆只有一个公共点的直线是圆的切线。⑸、以等腰三角形的顶点为圆心，底边上的高为半径的圆与底边相切。2.是非题：判断下列命题是否正确。（×）（×）（√）（√）（√）OCAB例1如图A是⊙O外的一点，AO的延长线交⊙O于C，点B在⊙O上，且AB＝BC，∠A＝30°.求证：直线AB是⊙O的切线分析：欲证AB是⊙O的切线，由于AB过圆上点B，若连结OB,则AB过半径OB的外端，只需证明OB⊥AB.（经过半径的外端,并且垂直于这条直径的直线是圆的切线.）OCAB例1如图A是⊙O外的一点，AO的延长线交⊙O于C，点B在⊙O上，且AB＝BC，∠A＝30°.求证：直线AB是⊙O的切线证明：连结OB∴AB是⊙O的切线∵OB=OC,AB=BC,∠A=30°∴∠OBC=∠C=∠A=30°∴∠AOB=∠C+∠OBC=60°∴∠ABO=180°－(∠AOB+∠A)=180°－(60°+30°)=90°∴OB⊥AB一般情况下，要证明一条直线为圆的切线，已知它过半径外端（即一点已在圆上）时，只需证明直线垂直于这条半径。(与圆心距离等于圆的半径的直线是圆的切线。)例2已知O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D，以O为圆心，OD为半径作圆O，求证：⊙O与AC相切证明直线与圆相切，但无切点时，往往过圆心作切线的垂线，再证明d=r即可DCABO证明：作OE⊥AC,垂足是E.∵O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D，∴OD=OEE∵OD为⊙O的半径∴⊙O与AC相切已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB,CA=CB.求证：直线AB是⊙O的切线。OABC分析：欲证AB是⊙O的切线，由于AB过圆上点C，若连结OC,则AB过半径OC的外端，只需证明OC⊥AB.练习1：已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB,CA=CB.求证：直线AB是⊙O的切线。OABC证明：如图，连结OC.∵OA=OB,CA=CB∴OC是等腰△OAB底边BC上的中线∴OC⊥AB又AB过半径OC的外端∴AB是⊙O的切线课本P52课内练习1.2及P51做一做∵∠PQO=180°-67°18′-22°42=90°∴OQ⊥PQ1、如图，已知点Q在⊙O上。根据下列条件，能否判定直线PQ和⊙O相切？⑴OQ=6,OP=10,PQ=8⑵∠O=67.3°,∠P=22°42′QPO∵OQ2+OP2=62+82=102=OP2∴∠PQO=90°∴OQ⊥PQ∴直线PQ和⊙O相切∴直线PQ和⊙O相切2.如图OP是⊙O的半径，∠POT=60°OT交⊙O于点S。（1）过点P作⊙O的切线；（2）过点P的切线交OT于点Q，判断点S是不是线段OQ的中点，并说明理由。SOTP┏解：（1）如图，QP是⊙O的切线Q∴∠OPQ=90°（2）连结SP∵QP是⊙O的切线，OP是半径∵∠POT=60°∴点S是线段OQ的中点∴∠OQP=30°∴OS=OP=QO12例3.如图台风中心P(100，200)沿北偏东30°方向移动,受台风影响区域的半径为200km.那么下列城市A(200,380),B(600,480),C(550,300),D(370，540)中,哪些受到这次台风的影响,哪些不受到这次台风的影响？因为台风圈在两平行线し1し2之间移动,点A,D落在切线し1し2之间,所以受到这次台风的影响;而B,C不在切线し1し2之间,所以不受到这次台风的影响。100300xy0200100300400500200400500600600700·P·A·B·C·D30°解：如图在坐标系中画出一点P(100,200)为圆心,以200半径的⊙P,再在点P处画出北偏东30°方向的方向线,作垂直于方向线的⊙P的直径HK,分别过点H,K作⊙O的切线し1し2,则し1∥し2.HKし1し2过一点如何作圆的切线答:过圆上一点能作圆的一条切线.·O·A作法:连结OA。过点A作直线し⊥OAし1.过圆内一点作圆的切线答.过圆内一点不能做圆的切线.2.过圆上一点作圆的切线.已知⊙O上有一点A,过点A作出⊙O的切线.想一想3.过圆外一点能作圆的几条切线？作法：(1)连接OP;(2)以OP为直径画圆交⊙O于点A,B.(3)作直线PA、PB则直线PA,PB为所求的切线.●O●PAB答:能作圆的两条切线;且交点到切点的距离相等.探究活动：请任意画一个圆,并在这个圆所在的平面内任意取一点P.(1)过点P是否都能作这个圆的切线?(2)点P在什么位置时,能作并且只能作一条切线?(3)点P在什么位置时,能作两条切线?这两条切线有什么特性?(4)能作多于2条的切线吗?一、判定一条直线是圆的切线的三种方法１.利用定义：与圆有唯一公共点的直线是圆的切线。２.利用数量关系：与圆心距离等于圆的半径的直线是圆的切线。３.经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。小结二、证圆的切线的常用方法:1.要证明一条直线为圆的切线，若它过半径外端（即一点已在圆上）是已知给出时，只需证明直线垂直于这条半径.常作过切点的半径.2.证明直线与圆相切，但无切点时，往往过圆心作切线的垂线，再证明d=r即可1、如图，AB是⊙O的直径，AT=AB，∠ABT=45°。求证：AT是⊙O的切线BOTA2、如图,Rt⊿ABC中,∠B=90度,∠A的平分线交BC于点D,以D为圆心,DB长为半径作⊙D试说明:AC是⊙D的切线DCBA定理：圆的切线垂直于过切点的半径.3、如图，AB是⊙O的直径，弦AD平分∠BAC，过A作AC⊥DC，求证：DC是⊙O的切线。BDCAO4如图，已知四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，CD＝AD＋BC。求证：以CD为直径的⊙O与AB相切OBDACE证明：过点O作OE⊥AB,垂足为E。∵AD∥BC,AB⊥BC,∴AD⊥AB而OE⊥AB∴AD∥OE∥BC5.如图，AB是⊙O的直径，BC⊥AB，弦AD∥OC.求证：CD是⊙O的切线。AODB.12436、如图,已知AB是⊙O的直径,⊙O过BC的中点D,且DE⊥AC.(1)求证:DE是⊙O的切线.(2)若∠C=30°,CD=10cm,求⊙Ｏ的半径．OＡＢＣＤＥ