格林公式例题与习题

目录上页下页返回结束推论:正向闭曲线L所围区域D的面积1dddd2LLLAxyyxxyyx格林公式LDyQxPyxyPxQdddd例如,椭圆π)20(sincos:byaxL所围面积π2022d)sincos(21abababπ定理1目录上页下页返回结束例1.设L是一条分段光滑的闭曲线,证明0dd22yxxyxL证:令,,22xQyxP则利用格林公式,得yxxyxLdd22Dyxdd00目录上页下页返回结束例2.计算其中D是以O(0,0),A(1,1),B(0,1)为顶点的三角形闭域.解:令,则2e,0yxQP利用格林公式,有Dyyxde2yxOAyde2yyyde102)e1(211xyyx)1,1(A)1,0(BDO目录上页下页返回结束二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件定理2.设D是单连通域,在D内具有一阶连续偏导数,(1)沿D中任意光滑闭曲线L,有.0ddLyQxP(2)对D中任一分段光滑曲线L,曲线积分(3)yQxPyxudd),(d(4)在D内每一点都有.xQyPLyQxPdd与路径无关,只与起止点有关.函数则以下四个条件等价:在D内是某一函数的全微分,即目录上页下页返回结束说明:根据定理2,若在某区域D内,xQyP则注：求曲线积分时,若积分路径不是闭曲线，且难计算，则可添加辅助线后，利用格林公式简化计算。2)可用积分法求du=Pdx+Qdy在域D内的原函数:Dyx),(00及动点,),(DyxyyxQxyxPyxuyxyxd),(d),(),(),(),(00xxxyxP0d),(0或yyyyxQyxu0d),(),(0则原函数为yyyyxQ0d),(xxxyxP0d),(取定点1)计算曲线积分时,可选择方便的积分路径;yx0y0xOxy定理2目录上页下页返回结束3)若已知du=Pdx+Qdy,则对D内任一分段光滑曲BAyyxQxyxPd),(d),(ABu定理2)()(AuBu线AB,有yyxQxyxPABd),(d),(注:此式称为曲线积分的基本公式(P213定理4).DAB它类似于微积分基本公式:BAud目录上页下页返回结束yAxL例4.计算其中L为上半从O(0,0)到A(4,0).解:为了使用格林公式,添加辅助线段,AOD它与L所围原式yxyxyxAOLd)(d)3(22(4)ddDxy22(3)d()dAOxyxyxy420dxx圆周区域为D,则O2(3)dOAxyx648π34ddDxy目录上页下页返回结束例5.验证是某个函数的全微分,并求出这个函数及证:设,,22yxQyxP则xQyxyP2由定理2可知,存在函数u(x,y)使yyxxyxuddd22)0,(x0yyxyd02yyxyd02)0,0(),(yx目录上页下页返回结束例6.验证22ddyxxyyx在右半平面(x0)内存在原函数,并求出它.证:令2222,yxxQyxyP则)0()(22222xyQyxxyxP由定理2可知存在原函数0xyyyxyx022d)0,(x)0,1(),(yxO目录上页下页返回结束xy)0,(x)0,1(),(yxOyyy021dyxarctan2π或),1(y目录上页下页返回结束例7.设质点在力场作用下沿曲线L:由)2π,0(A移动到求力场所作的功W解:)dd(2Lyxxyrk令则有)0()(22422yxryxkyPxQ可见,在不含原点的单连通区域内积分与路径无关.sFWLdLBAyxO目录上页下页返回结束:AB)dd(2yxxyrkWAB)02π:(sin2π,cos2πyxk2π思考:积分路径是否可以取?OBAO取圆弧为什么？注意,本题只在不含原点的单连通区域内积分与路径无关!LBAyxO内容小结转内容小结目录上页下页返回结束内容小结1.格林公式LyQxPdd2.等价条件在D内与路径无关.yPxQ在D内有yQxPudddyxyPxQDddLyQxPdd对D内任意闭曲线L有0ddLyQxP在D内有设P,Q在D内具有一阶连续偏导数,则有为全微分方程0ddyQxP目录上页下页返回结束2.设提示:),(dyxuxxyxd)4(34yyyxd)56(422Oyx),(yx)0,(xxxxd04yyyxyd)56(0422C551x322yxCy5xxyxd)4(34yyyxd)56(422C作业P2145(1),(4)；第四节目录上页下页返回结束(2,3)(1,1)214/4.1()d()dPxOyxyxxyy证明下列曲线积分在整个面内与路径无关，并计算积分值：（）第四节222214/5.1(24)d(536)d,0,0,(3,0)(3,2);(4)()d(sin)d,2(0,0)(1,1).LLPxyxyxyxyxxyyLyxx利用格林公式计算下列曲线积分：（）其中为三顶点分别为（）和的三角形正向边界其中是在圆周上由点到点的一段弧