北京市海淀区2018年高三一模数学(理科)试卷及答案

高三数学（理科）第1页共15页海淀区高三年级第二学期期中练习数学（理科）2018.4本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题纸交回。第一部分（选择题，共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合{0,},{12}AaBxx|，且AB，则a可以是(A)1(B)0(C)1(D)2（2）已知向量(1,2),(1,0)ab，则+2ab(A)(1,2)(B)(1,4)(C)(1,2)(D)(1,4)（3）执行如图所示的程序框图，输出的S值为(A)2(B)6(C)8(D)10（4）如图，网格纸上小正方形的边长为1，若四边形ABCD及其内部的点组成的集合记为,M且(,)Pxy为M中任意一点，则yx的最大值为(A)1(B)2(C)1(D)2（5）已知a，b为正实数，则“1a，1b”是“lglg0ab”的()(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件高三数学（理科）第2页共15页（6）如图所示，一个棱长为1的正方体在一个水平放置的转盘上转动，用垂直于竖直墙面的水平光线照射，该正方体在竖直墙面上的投影的面积记作S，则S的值不可能是(A)1(B)65(C)43(D)32（7）下列函数()fx中，其图象上任意一点(,)Pxy的坐标都满足条件yx的函数是(A)3()fxx(B)()fxx(C)()e1xfx(D)()ln(1)fxx（8）已知点M在圆221:(1)(1)1Cxy上，点N在圆222:(1)(1)1Cxy上，则下列说法错误的是（A）OMON的取值范围为[322,0]（B）||OMON的取值范围为[0,22]（C）||OMON的取值范围为[222,222]（D）若OMON，则实数的取值范围为[322,322]高三数学（理科）第3页共15页第二部分（非选择题，共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。（9）复数2i1i______.（10）已知点(2,0)是双曲线:C2221xya的一个顶点，则C的离心率为_______.（11）直线2xtyt（t为参数）与曲线2cossinxy（为参数）的公共点个数为_______.（12）在ABC中，若2,3,6caA，则sin_______,cos2_______.CC（13）一次数学会议中，有五位教师来自,,ABC三所学校，其中A学校有2位，B学校有2位，C学校有1位。现在五位老师排成一排照相，若要求来自同一学校的老师不相邻，则共有_______种不同的站队方法.（14）已知3,,3,.xxafxxxxa…①若fx有两个零点，则a的取值范围是__________；②当2a„时，则满足13fxfx的x的取值范围是__________．三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（15）（本小题13分）已知2()23sincos2cos1fxxxx（Ⅰ）求()6f的值；（Ⅱ）求()fx的单调递增区间.高三数学（理科）第4页共15页（16）（本小题13分）流行性感冒多由病毒引起，据调查，空气月平均相对湿度过大或过小时，都有利于一些病毒繁殖和传播.科学测定，当空气月平均相对湿度大于65%或小于40%时，有利于病毒繁殖和传播.下表记录了某年甲、乙两个城市12个月的空气月平均相对湿度。第一季度第二季度第三季度第四季度1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月甲地54%39%46%54%56%67%64%66%78%72%72%59%乙地38%34%31%42%54%66%69%65%62%70%a%b%（Ⅰ）从上表12个月中，随机取出1个月，求该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖和传播的概率；（Ⅱ）从上表第一季度和第二季度的6个月中随机取出2个月，记这2个月中甲、乙两地空气月平均相对湿度都有利于病毒繁殖和传播的月份的个数为X，求X的分布列；（Ⅲ）若108ab，设乙地上表12个月的空气月平均相对湿度的中位数为M，求M的最大值和最小值.（只需写出结论）（17）（本小题14分）已知三棱锥P-ABC（如图1）的平面展开图（如图2）中，四边形ABCD为边长为2的正方形，△ABE和△BCF均为正三角形．在三棱锥P-ABC中：（Ⅰ）证明：平面PAC⊥平面ABC；（Ⅱ）求二面角A-PC-B的余弦值；（Ⅲ）若点M在棱PC上，满足CMCP，1233,，点N在棱BP上，且BMAN，求BNBP的取值范围.(图2)(图1)CAFEADCBBP高三数学（理科）第5页共15页（18）（本小题13分）已知函数ln()xfxxa（Ⅰ）当0a时，求函数()fx的单调递增区间；（Ⅱ）当0a时，若函数()fx的最大值为21e，求a的值.（19）（本小题14分）已知椭圆C：222210xyabab的离心率为32，且点2,1T在椭圆上.设与OT平行的直线l与椭圆C相交于,PQ两点，直线,TPTQ分别与x轴正半轴交于,MN两点.（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）判断OMON的值是否为定值，并证明你的结论.（20）（本小题13分）设1,11,21,2,12,22,,,1,2,()nnijnnnnnnaaaaaaAaaaaLLMMOML是由1，2，3，…，2n组成一个n行n列的数表（每个数恰好出现一次），2n且*nN.若存在1in，1jn，使得,ija既是第i行中的最大值，也是第j列中的最小值，则称数表A为一个“N数表”，,ija为数表A的一个“N值”.对任意给定的n，所有“N数表”构成的集合记作n.（Ⅰ）判断下列数表是否是“N数表”.若是，写出它的一个“N值”123456789A，147825693B；（Ⅱ）求证：若数表A是“N数表”，则A的“N值”是唯一的；（Ⅲ）在19中随机选取一个数表A，记A的“N值”为X，求X的数学期望()EX.高三数学（理科）第6页共15页海淀区高三年级第二学期期中练习数学(理)参考答案与评分标准2018.4一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。题号12345678答案CADBADDB二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。题号91011121314答案1i522331348(3,3]1x注：第12、14题第一空均为3分，第二空均为2分。三、解答题共6小题，共80分。解答题应写出解答步骤。15.（本题满分13分）（Ⅰ）2()23sincos2cos16666f213323212222····················································································3分（Ⅱ）()3sin2cos2fxxx2sin(2)6x因为函数sinyx的单调递增区间为2,222kk（kZ），令222262kxk（kZ），解得36kxk（kZ），故()fx的单调递增区间为[,]36kk（kZ）····························13分高三数学（理科）第7页共15页16.（本题满分13分）（Ⅰ）设事件A：从上表12个月中，随机取出1个月，该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖和传播.用iA表示事件抽取的月份为第i月，则123456789101112{,,,,,,,,,,,}AAAAAAAAAAAA共12个基本事件，26891011{,,,,,}AAAAAAA共6个基本事件，所以，61()122PA.····································································4分（Ⅱ）在第一季度和第二季度的6个月中，甲、乙两地空气月平均相对湿度都有利于病毒繁殖和传播的月份只有2月和6月，故X所有可能的取值为0，1，2.242662(0)155CPXC，1124268(1)15CCPXC，22261(2)15CPXC随机变量X的分布列为X012P25815115（Ⅲ）M的最大值为58%，最小值为54%.·················································13分17.（本题满分14分）（Ⅰ）方法1：OPCAB设AC的中点为O，连接BO，PO.由题意2PAPBPC，1PO，1AOBOCO因为在PAC中，PAPC，O为AC的中点所以POAC，因为在POB中，1PO，1OB，2PB所以POOB因为ACOBO，,ACOB平面ABC所以PO平面ABC因为PO平面PAC·································································4分高三数学（理科）第8页共15页所以平面PAC平面ABC方法2：OPCAB设AC的中点为O，连接BO，PO.因为在PAC中，PAPC，O为AC的中点所以POAC，因为PAPBPC，POPOPO，AOBOCO所以POA≌POB≌POC所以90POAPOBPOC所以POOB因为ACOBO，,ACOB平面ABC所以PO平面ABC因为PO平面PAC·································································4分所以平面PAC平面ABC方法3：OPCABQ设AC的中点为O，连接PO，因为在PAC中，PAPC，所以POAC设AB的中点Q，连接PQ，OQ及OB.因为在OAB中，OAOB，Q为AB的中点所以OQAB.因为在PAB中，PAPB，Q为AB的中点所以PQAB.因为PQOQQ，,PQOQ平面OPQ所以AB平面OPQ高三数学（理科）第9页共15页因为OP平面OPQ所以OPAB因为ABACA，,ABAC平面ABC所以PO平面ABC因为PO平面PAC·································································4分所以平面PAC平面ABC（Ⅱ）由PO平面ABC，OBAC，如图建立空间直角坐标系，则xOyzPCAB(0,0,0)O，(1,0,0)C，(0,1,0)B，(1,0,0)A，(0,0,1)P由OB平面APC，故平面APC的法向量为(0,1,0)OB由(1,1,0)BC，(1,0,1)PC设平面PBC的法向量为(,,)nxyz，则由00BCPCnn得：00xyxz令1x，得1y，1z，即(1,1,1)n13cos,3||||31nOBnOBnOB由二面角APCB是锐二面角，所以二面角APCB的余弦值为33···········································9分（Ⅲ）设BNBP，01，则(1,1,0)(1,0,1)(1,1,)BMBCCMBCCP(1,1,0)(0,1,1)(1,1,)ANABBNABBP令0BMAN得(1)1(1)(1)0高三数学（理科）第10页共15页即1111