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平方根(提高)【学习目标】1.了解平方根、算术平方根的概念,会用根号表示数的平方根.2.了解开方与乘方互为逆运算,会用开方运算求某些非负数的平方根,会用计算器求平方根.【要点梳理】要点一、平方根和算术平方根的概念1.算术平方根的定义如果一个正数x的平方等于a,即2xa,那么这个正数x叫做a的算术平方根(规定0的算术平方根还是0);a的算术平方根记作a,读作“a的算术平方根”,a叫做被开方数.要点诠释:当式子a有意义时,a一定表示一个非负数,即a≥0,a≥0.2.平方根的定义如果2xa,那么x叫做a的平方根.求一个数a的平方根的运算,叫做开平方.平方与开平方互为逆运算.a(a≥0)的平方根的符号表达为(0)aa,其中a是a的算术平方根.要点二、平方根和算术平方根的区别与联系1.区别:(1)定义不同;(2)结果不同:a和a2.联系:(1)平方根包含算术平方根;(2)被开方数都是非负数;(3)0的平方根和算术平方根均为0.要点诠释:(1)正数的平方根有两个,它们互为相反数,其中正的那个叫它的算术平方根;负数没有平方根.(2)正数的两个平方根互为相反数,根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此,我们可以利用算术平方根来研究平方根.要点三、平方根的性质2(0)||0(0)(0)aaaaaaa20aaa要点四、平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2位,它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如:62500250,62525,6.252.5,0.06250.25.【典型例题】类型一、平方根和算术平方根的概念1、(2015秋•张家港市校级期中)已知2a﹣1的平方根是±3,3a+b﹣9的立方根是2,c是的整数部分,求a+b+c的平方根.【思路点拨】首先根据平方根与立方根的概念可得2a﹣1与3a+b﹣9的值,进而可得a、b的值;接着估计的大小,可得c的值;进而可得a+b+c,根据平方根的求法可得答案.【答案与解析】解:根据题意,可得2a﹣1=9,3a+b﹣9=8;故a=5,b=2;又∵2<<3,∴c=2,∴a+b+c=5+2+2=9,∴9的平方根为±3.【总结升华】此题主要考查了平方根、立方根、算术平方根的定义及无理数的估算能力,还要掌握实数的基本运算技能,灵活应用.举一反三:【变式】已知2a-1与-a+2是m的两个不同的平方根,求m的值.【答案】2a-1与-a+2是m的平方根,所以2a-1与-a+2互为相反数.解:当2a-1+(-a+2)=0时,a=-1,所以m=22221[2(1)1]39a2、x为何值时,下列各式有意义?(1)2x;(2)4x;(3)11xx;(4)13xx.【答案与解析】解:(1)因为20x,所以当x取任何值时,2x都有意义.(2)由题意可知:40x,所以4x时,4x有意义.(3)由题意可知:1010xx解得:11x.所以11x时11xx有意义.(4)由题意可知:1030xx,解得1x且3x.所以当1x且3x时,13xx有意义.【总结升华】(1)当被开方数不是数字,而是一个含字母的代数式时,一定要讨论,只有当被开方数是非负数时,式子才有意义.(2)当分母中含有字母时,只有当分母不为0时,式子才有意义.举一反三:【变式】已知4322232baa,求11ab的算术平方根.【答案】解:根据题意,得320,230.aa则23a,所以b=2,∴1131222ab,∴11ab的算术平方根为112ab.类型二、平方根的运算3、求下列各式的值.(1)2222252434;(2)111200.36900435.【思路点拨】(1)首先要弄清楚每个符号表示的意义.(2)注意运算顺序.【答案与解析】解:(1)222225243449257535;(2)1118111200.369000.63043543590.261.72.【总结升华】(1)混合运算的运算顺序是先算平方开方,再乘除,后加减,同一级运算按先后顺序进行.(2)初学可以根据平方根、算术平方根的意义和表示方法来解,熟练后直接根据2(0)aaa来解.类型三、利用平方根解方程4、求下列各式中的x.(1)23610;x(2)21289x;(3)2932640x【答案与解析】解:(1)∵23610x∴2361x∴36119x(2)∵21289x∴1289x∴x+1=±17x=16或x=-18.(3)∵2932640x∴264329x∴8323x∴21499xx或【总结升华】本题的实质是一元二次方程,开平方法是解一元二次方程的最基本方法.(2)(3)小题中运用了整体思想分散了难度.举一反三:【变式】求下列等式中的x:(1)若21.21x,则x=______;(2)2169x,则x=______;(3)若29,4x则x=______;(4)若222x,则x=______.【答案】(1)±1.1;(2)±13;(3)32;(4)±2.类型四、平方根的综合应用【高清课堂:389316平方根:例5】5、已知a、b是实数,且26|2|0ab,解关于x的方程2(2)1axba.【答案与解析】解:∵a、b是实数,26|2|0ab,260a,|2|0b,∴260a,20b.∴a-3,2b.把a-3,2b代入2(2)1axba,得-x+2=-4,∴x=6.【总结升华】本题是非负数的性质与方程的知识相结合的一道题,应先求出a、b的值,再解方程.此类题主要是考查完全平方式、算术平方根、绝对值三者的非负性,只需令每项分别等于零即可.举一反三:【高清课堂:389316平方根:例5练习】【变式】若2110xy,求20112012xy的值.【答案】解:由2110xy,得210x,10y,即1x,1y.①当x=1,y=-1时,20112012201120121(1)2xy.②当x=-1,y=-1时,2011201220112012(1)(1)0xy.【高清课堂:389316平方根:例6】6、小丽想用一块面积为4002cm的正方形纸片,沿着边的方向裁出一块面积为3002cm的长方形纸片,使它长宽之比为2:3,请你说明小丽能否用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片.【答案与解析】解:设长方形纸片的长为3x(x>0)cm,则宽为2xcm,依题意得32300xx.26300x.250x.∵x>0,∴50x.∴长方形纸片的长为350cm.∵50>49,∴507.∴35021,即长方形纸片的长大于20cm.由正方形纸片的面积为4002cm,可知其边长为20cm,∴长方形的纸片长大于正方形纸片的边长.答:小丽不能用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片.【总结升华】本题需根据平方根的定义计算出长方形的长和宽,再判断能否用边长为20cm的正方形纸片裁出长方形纸片.举一反三:【变式】(2015春•台安县月考)某小区为了促进全民健身活动的开展,决定在一块面积约为1000m2的正方形空地上建一个篮球场,已知篮球场的面积为420m2,其中长是宽的倍,篮球场的四周必须留出1m宽的空地,请你通过计算说明能否按规定在这块空地上建一个篮球场?【答案】解:设篮球场的宽为xm,那么长为2815xm,由题意知,所以x2=225,因为x为正数,所以x==15,又因为=900<1000,所以按规定在这块空地上建一个篮球场.
本文标题:平方根(提高)知识讲解
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