平方根与立方根及实数知识点总结

“平方根”与“立方根”知识点小结一、知识要点1、平方根：⑴、定义：如果x2=a，则x叫做a的平方根，记作“a”（a称为被开方数）。⑵、性质：正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。⑶、算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“a”。2、立方根：⑴、定义：如果x3=a，则x叫做a的立方根，记作“3a”（a称为被开方数）。⑵、性质：正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。3、开平方（开立方）：求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）。二、规律总结：1、平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数是0和±1。2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同。3、a本身为非负数，即a≥0；a有意义的条件是a≥0。4、公式：⑴(a)2=a（a≥0）；⑵3a=3a（a取任何数）。5、非负数的重要性质：若几个非负数之和等于0，则每一个非负数都为0（此性质应用很广，务必掌握）。例1求下列各数的平方根和算术平方根（1）64；（2）2)3(；（3）49151；⑷21(3)例2求下列各式的值（1）81；（2）16；（3）259；（4）2)4(.（5）44.1，（6）36，（7）4925（8）2)25(例3、求下列各数的立方根：⑴343；⑵10227；⑶0.729二、巧用被开方数的非负性求值.大家知道，当a≥0时，a的平方根是±a，即a是非负数.例4、若,622yxx求yx的立方根.练习：已知,21221xxy求yx的值.三、巧用正数的两平方根是互为相反数求值.我们知道，当a≥0时，a的平方根是±a，而.0)()(aa例5、已知：一个正数的平方根是2a-1与2-a，求a的平方的相反数的立方根.练习：若32a和12a是数m的平方根，求m的值.四、巧解方程例6、解方程（1）（x+1）2=36（2）27(x+1)3=64五、巧用算术平方根的最小值求值.我们已经知道0a,即a=0时其值最小,换句话说a的最小值是零.例4、已知：y=)1(32ba,当a、b取不同的值时，y也有不同的值.当y最小时,求ba的非算术平方根.练习①已知233(2)0xyz，求xyz的值。②已知互为相反数，求a，b的值。六、实数1、实数：有理数和无理数统称为实数．我们一般用下列两种情况将实数进行分类：①按属性分类：②按符号分类2．关于有理数的运算法则：运算规律和运算性质，在进行实数运算时仍适用．在实数范围内，不仅可以进行加．减．乘．除．乘方运算，而且正数和零总可以进行开平方运算，任何一个数都可以开立方运算．3．实数和数轴上的点的对应关系：实数和数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点表示．反过来，数轴上的每一个点都可以表示一个实数．我们可以用几何作图方法，在数轴上表示某些无理数，如、等．思考：（1）－a2一定是负数吗？－a一定是正数吗？（2）大家都知道是一个无理数，那么－1在哪两个整数之间？(3)15的整数部分为a,小数部分为b,则a=____,b=____(4)实数包括____________或__________________；(5)下列各数：335，，0.28，0，4，3.14159，0.121121112，3，227．其中无理数有（）个七、实数大小比较的方法一、平方法比较23和3的大小二、移动因式法比较32和23的大小三、求差法比较215和1的大小四、求商法比较534和11的大小练习：比较下列各组数的大小：①2和3；②3和23；③15和543；④7和－2.45。八、解答题（每题4分，共8分）1、当21a时，化简|12|4412aaa2、已知实数a、b在数轴上表示的点如上图，化简ba+2)1(bab10a-1平方根与立方根测试题：一、选择题1、若ax2，则（）A、x0B、x≥0C、a0D、a≥02、一个数若有两个不同的平方根，则这两个平方根的和为（）A、大于0B、等于0C、小于0D、不能确定3、一个正方形的边长为a，面积为b，则（）A、a是b的平方根B、a是b的的算术平方根C、baD、ab4、若a≥0，则24a的算术平方根是（）A、2aB、±2aC、a2D、|2a|5、若正数a的算术平方根比它本身大，则（）A、0a1B、a0C、a1D、a16、若n为正整数，则121n等于（）A、-1B、1C、±1D、2n+17、若a0，则aa22等于（）A、21B、21C、±21D、08、若x-5能开偶次方，则x的取值范围是（）A、x≥0B、x5C、x≥5D、x≤59下列说法：①一个数的平方根一定有两个；②一个正数的平方根一定是它的算术平方根；③负数没有立方根．其中正确的个数有（）A，0个B，1个C，2个D，3个10若一个数的平方根与它的立方根完全相同，则这个数是（）A，1B，－1C，0D，±1,011，若ｘ使（ｘ－1）2＝4成立，则ｘ的值是（）A，3B，－1C，3或－1D，±212．如果a是负数，那么2a的平方根是（）．A．aB．aC．aD．a13．使得2a有意义的a有（）．A．0个B．1个C．无数个D．以上都不对14．下列说法中正确的是（）．A．若0a，则20aB．x是实数，且2xa，则0aC．x有意义时，0xD．0.1的平方根是0.0115．若一个数的平方根是8，则这个数的立方根是（）．A．2B．2C．4D．416．若22(5)a，33(5)b，则ab的所有可能值为（）．A．0B．10C．0或10D．0或1017．若10m，且3nm，则m、n的大小关系是（）．A．mnB．mnC．mnD．不能确定18．27的立方根与81的平方根之和是（）．A．0B．6C．－12或6D．0或－619．若a，b满足23|1|(2)0ab，则ab等于（）．A．2B．12C．2D．1220．下列各式中无论x为任何数都没有意义的是（）．A．7xB．31999xC．20.11xD．3265x二、填空21、2(4)的平方根是，35是的平方根．22、在下列各数中0，254，21a，31()3，2(5)，222xx，|1|a，||1a，16有平方根的个数是个．23、144的算术平方根是，16的平方根是；24、327=，64的立方根是；25、7的平方根为，21.1=；26、一个数的平方是9，则这个数是，一个数的立方根是1，则这个数是；27、平方数是它本身的数是；平方数是它的相反数的数是；28、当x=时，13x有意义；当x=时，325x有意义；29、若164x，则x=；若813n，则n=；30、若3xx，则x=；若xx2，则x；31、若0|2|1yx，则x+y=；32、计算：381264273292531=；33、代数式3ab的最大值为，这是,ab的关系是．34、若335x，则x，若3||6x，则x．35、若33(4)4kk，则k的值为．36、若101nn，81mm，其中m、n为整数，则mn．37、若正数m的平方根是51a和19a，则m=．三、解答题38、求下列X的值：（1）0324)1(2x（2）125－8x3＝0（3）264(3)90x（4）2(41)225x（5）31(1)802x（6）3125(2)343x（7）233(1)8|13|（8）23151()(1)(1)393（9）37121.758（10）333151343278212539．已知312x与332y互为相反数，求代数式12xy的值．40．已知abxM是M的立方根，36yb是x的相反数，且37Ma，请你求出x的平方根．41．若22442xxyx，求2xy的值．42．已知34x，且2(21)30yxz，求xyz的值．43、已知：x－2的平方根是±2,2x+y+7的立方根是3，求x2+y2的平方根．44、若12112xxy，求xy的值。平方根与立方根测试题：一、选择题1、若ax2，则（）A、x0B、x≥0C、a0D、a≥02、一个数若有两个不同的平方根，则这两个平方根的和为（）A、大于0B、等于0C、小于0D、不能确定3、一个正方形的边长为a，面积为b，则（）A、a是b的平方根B、a是b的的算术平方根C、baD、ab4、若a≥0，则24a的算术平方根是（）A、2aB、±2aC、a2D、|2a|5、若正数a的算术平方根比它本身大，则（）A、0a1B、a0C、a1D、a16、若n为正整数，则121n等于（）A、-1B、1C、±1D、2n+17、若a0，则aa22等于（）A、21B、21C、±21D、08、若x-5能开偶次方，则x的取值范围是（）A、x≥0B、x5C、x≥5D、x≤59下列说法：①一个数的平方根一定有两个；②一个正数的平方根一定是它的算术平方根；③负数没有立方根．其中正确的个数有（）A，0个B，1个C，2个D，3个10若一个数的平方根与它的立方根完全相同，则这个数是（）A，1B，－1C，0D，±1,011，若ｘ使（ｘ－1）2＝4成立，则ｘ的值是（）A，3B，－1C，3或－1D，±212．如果a是负数，那么2a的平方根是（）．A．aB．aC．aD．a13．使得2a有意义的a有（）．A．0个B．1个C．无数个D．以上都不对14．下列说法中正确的是（）．A．若0a，则20aB．x是实数，且2xa，则0aC．x有意义时，0xD．0.1的平方根是0.0115．若一个数的平方根是8，则这个数的立方根是（）．A．2B．2C．4D．416．若22(5)a，33(5)b，则ab的所有可能值为（）．A．0B．10C．0或10D．0或1017．若10m，且3nm，则m、n的大小关系是（）．A．mnB．mnC．mnD．不能确定18．27的立方根与81的平方根之和是（）．A．0B．6C．－12或6D．0或－619．若a，b满足23|1|(2)0ab，则ab等于（）．A．2B．12C．2D．1220．下列各式中无论x为任何数都没有意义的是（）．A．7xB．31999xC．20.11xD．3265x二、填空21、2(4)的平方根是，35是的平方根．22、在下列各数中0，254，21a，31()3，2(5)，222xx，|1|a，||1a，16有平方根的个数是个．23、144的算术平方根是，16的平方根是；24、327=，64的立方根是；25、7的平方根为，21.1=；26、一个数的平方是9，则这个数是，一个数的立方根是1，则这个数是；27、平方数是它本身的数是；平方数是它的相反数的数是；28、当x=时，13x有意义；当x=时，325x有意义；29、若164x，则x=；若813n，则n=；30、若3xx，则x=；若xx2，则x；31、若0|2|1yx，则x+y=；32、计算：381264273292531=；33、代数式3ab的最大值为，这是,ab的关系是．34、若335x，则x，若3||6x，则x．35、若33(4)4kk，则k的值为．36、若101nn，81mm，其中m、n为整数，则mn．37、若正数m的平方根是51a和19a，则m=．三、解答题38、求下列X的值：（1）0324)1(2x（2）125－8x3＝0（3）264(3)90x（4）2(41)225x（5）31(1)802x（6）3125(2)343x