分块矩阵

分块矩阵一.分块矩阵的运算规则二.分块矩阵的一些例子矩阵分块，是矩阵运算的一个重要方法，可将大规模矩阵的运算化为若干小矩阵进行计算。在矩阵某些行之间插入横线，某些列之间插入纵线，将矩阵分割成若干个小矩阵，每个小矩阵称为矩阵的子块；以子块为元素的矩阵，称为分块矩阵。1、矩阵分块的方法,321BBBbbaaA110101000001例如A001aba110000b1101B2B3B即,BEOA,4321AAAAbbaa110101000001bbaa110101000001aaA01其中bbB111001E0000O0101aA其中1012aA1003bAbA1004说明(1).矩阵分块时，同一个矩阵可以有不同的分块方法，应根据需要进行选择。2、矩阵分块一般形式矩阵A=(aij)m×n，在行方向分s块，列方向分t块，称A为s×t分块矩阵，第k行l列子块Akl是mk×nl阶矩阵。stssttAAAAAAAAAA212222111211smmm21tnnn21各子块行数各子块列数mmskk1nntll1说明(2).矩阵分块三原则：体现原矩阵特点，依据问题需要，子块可以作元素运算。一、分块矩阵的运算规则设A、B是m×n阶矩阵，采用相同的分块法分块将A、B分块如下：1、分块加法stssttAAAAAAAAAA212222111211stssttBBBBBBBBBB212222111211tsklklBABA则定义注.分块矩阵运算中，每个子块具有二重性：一是分块矩阵的元素；二是本身是矩阵。2、分块数乘设A是m×n阶矩阵，任意分块，k是常数，则定义tsklkAkA3、分块乘法设A是m×l阶矩阵，B是l×n阶矩阵，即A的列数=B的行数即A的列分块法=B的行分块法分块A=(Auv)s×rB=(Bvw)r×t则A与B的乘积C=(Cuw)是s×t阶分块矩阵，满足),,1;,,1(1twsuBACrvvwuvuw注.分块矩阵乘积AB中，每个子块：（1）作为分块阵元素参与运算（2）作为矩阵也要满足乘法条件rvvwuvuwBAC1vwuvBA例1.用分块矩阵法求AB1011012100100001A0211140110210101B解：分块成把BA,1011012100100001A10011001A00001121,EEO1A0211140110210101B11BE21B22B则2221111BBEBEAOEAB2212111111BABBAEB又21111BBA11012101112111012043114202141121221BA1333于是2212111111BABBAEBAB1311334210410101说明(3).矩阵分块的目的，是让矩阵的计算过程更简单，计算量更少。4、分块转置设矩阵A=(Aij)是s×r阶分块矩阵例1的计算量比较：直接进行矩阵乘积需要的四则运算次数112)34(44用分块矩阵进行矩阵乘积需要的四则运算次数12)12(22块运算：20222)12(22子块运算：合计32次,11srAAArA11sATsA1TrA1.)(11TsrTTTTAAAAij则说明：分块转置中，每个子块一方面作为分块阵元素要转置；另一方面作为矩阵本身也要转置。分外层、内层双重转置特别地，对于列分块矩阵：),,,(21tAAAATtTTAAA1二、一些特殊的分块矩阵1.2阶分块上（下）三角形矩阵求逆例2.求下列2阶分块逆矩阵221211)1(AAAA222112)2(BBBB43211XXXXA其中A11，A22可逆矩阵其中B12，B21可逆矩阵解(1)：设A的分块逆矩阵为EAA143212212111XXXXAAAAA422322412211312111XAXAXAXAXAXAEE00得到4个矩阵方程组EXAXAXAXAEXAXA42232241221131211100求解该方程组，得122121112111312240AAAXAXXAXT(2)（解略，请仿(1)方法自行求解）sAAAA21设A1,A2,…,As均为方阵（不一定同阶），则称下面的A为分块对角矩阵2.分块对角矩阵如果矩阵A1,A2,…,As均可逆，则分块对角矩阵A可逆，且其逆矩阵为112111sAAAA说明：分块对角阵的逆矩阵，与对角矩阵的逆矩阵形式类似。3.矩阵乘积AB，A不分块，B按列分块设矩阵A、B分别是s×n和n×t阶矩阵，A不分块，B按列分块，即),,,(21tB则),,,(21tAAB),,,(21tAAA例3.求解下列矩阵方程说明：矩阵方程AX=B可看成t个线性方程组Ax1=b1,Ax2=b2,…,Axt=bt其中B=(b1,b2,…,bt)，X=(x1,x2,…,xt)352213321121X解：对增广矩阵(A,B)进行初等行变换111011101321r2+r1r3-2r1353222111321),(BA00011103101-r2r1-2r2r3+r2于是方程组Ax1=b1有解111x当且仅当λ=0时，Ax2=b2有解132x所以矩阵方程AX=B在参数λ=0时，有解：1131),(21xxX说明：利用增广矩阵的初等行变换，可以对矩阵方程AX=B的t个线性方程组同时进行求解。4.矩阵乘积AB，A按列分块，B每个元素为块（1）设矩阵A是s×n矩阵，X是n×1矩阵：将A按列分块，即snssnnaaaaaaaaaA212222111211nxxxX21),,,(21nA则nnxxxAX2121),,,(nnxxx2211我们将表达式nnxxx2211称为向量n,,,21的线性组合，称为组合系数。nxxx,,,21说明(1).对于线性方程组Ax=b，利用这样的分块方式，可以得到线性方程组的向量形式bxxxnn2211说明(2).如果记ei是第i个分量为1，其余分量为0的列向量，则),,2,1(niAeii同样记εi是第i个分量为1，其余分量为0的行向量，则εiA表示A的第i个行向量。（2）设矩阵A是s×n矩阵，B是n×t矩阵，将A按列分块，则ntnnttnbbbbbbbbbAB21222211121121),,,(),,(111niiitniiibb即AB的每个列向量，都是A的列向量的线性组合。例4.设A是2阶矩阵，x是2维非零列向量。若),(,62AxxBxAxxA求矩阵C，使得AB=BC。（见教材P69例2.15）§2.4矩阵的秩一.秩的概念二.初等变换和矩阵的秩初等行变换，可以将矩阵A化为阶梯形矩阵。这个阶梯阵的阶梯数，是由矩阵秩唯一确定的，故引入矩阵的秩概念。三.矩阵的等价标准形一.秩的概念在Amn中，任取k行、k列(km,kn)，位于这些行列交叉处的k2个元素，按原有的位置次序所构成的k阶行列式，称为A的k阶子式。1.k阶子式说明(1).A共有个k阶子式。knkmCC例如110011101321A110312阶非零子式01101101313阶零子式2.秩的定义矩阵A的非零子式的最高阶数，称为矩阵A的秩，记为r(A)=r或rank(A)=r。说明(1).0r(Amn)min{m,n}说明(2).规定零矩阵的秩为0，即r(O)=0说明(3).对于n阶矩阵A，有nArAA)(0可逆A为满秩矩阵更一般地，如果mn阶矩阵A满足r(A)=m，A为行满秩矩阵r(A)=n，A为列满秩矩阵例1.的秩求矩阵174532321A解：在A中，，阶子式只有一个的又AA303221，且0A.2)(Ar例2.见教材P71例2.18例3.00000340005213023012的秩求矩阵B解行，其非零行有是一个行阶梯形矩阵，3B.4阶子式全为零的所有B,0400230312而.3)(BR注.阶梯阵的秩等于其阶梯数，即非零行行数。3.矩阵秩的性质)()(1TArArkArkA)(2则阶子式都等于零，的所有如果kArkA)(3则阶子式不等于零，有一个如果（利用行列式的性质证明上述性质）命题2.1：r(A)=rA至少存在一个r阶非零子式，同时A所有r+1阶子式为零。命题2.2：阶梯形矩阵的秩等于它的阶梯数。二.初等变换和矩阵的秩三.矩阵的等价标准形