专题02-从求根公式谈起-答案

专题02从求根公式谈起例1－3或2例2C提示：当2x－1≥0时，即x≤－1或x≥1时，原方程化为2x－（4－32）x＋7－34－9＝0，解得1x＝4－33，2x＝3，均符合；当2x－1＜0时，即－1＜x＜1时，原方程可化为2x＋（4－32）x＋7－34＝0，解得3x＝3－2，满足题意．例31991例4①当m＝1时，解得x＝2．②当m≠1时，2b－4ac＝12m－11．当m＞1211时，2,1x＝12111221mmm；当m＝1211时，x＝5；当m＜1211时，原方程无实根．例5为叙述方便，该题设中的四个方程依次为①、②、③、④，设方程①和方程②的公共根为α，则.0,0122cba两式相减，得bac1．同理可得，方程③和方程④的公共根为1cba．∴＝1．注意到方程①的两根之积为1，则β也是方程①的根，从而12＝0．又∵a2＝0，两式相减，得（a－1）β＝a－1．若a＝1，则方程①无实根，这与方程①有根有矛盾，∴a≠1．∴β＝1，α＝1．于是a＝－2，b＋c＝－1．又∵a－b＋c＝3，∴b＝－3，c＝2．例6解法一：∵1＋（a＋17）＋（38－a）－56＝0，∴x＝1为原方程的一个根，从而原方程可化为（x－1）56182xax＝0．①∵x为正整数，∴方程2x＋（a＋18）x＋56＝0的判别式Δ＝218a－224必为完全平方数．设218a－224＝2m（m为非负整数），则218a－224＝224，即（a＋m＋18）（a－m＋18）＝224＝112×2＝56×4＝28×8．又∵a＋m＋18与a－m＋18具有相同的奇偶性，且a＋m＋18＞a－m＋18，a＋m＋18＞18，∴218,11218mama或418,5618mama或818,2818mama解得55,39ma或26,12ma或.10,0ma又a为正整数，∴55,39ma或26,12ma．当a＝39时，方程①的根为－1和－56；当a＝12时，方程①的根为－2和－28．综上所述，当a＝39时，原方程的三个根为1，－1和－56；当a＝12时，原方程的三个根为1，－2和－28．解法二：原方程可化为（2x－x）a＝56－38x－172x－3x②，显然x≠0．当x＝1时，②式恒成立．当x≠1时，方程②可化为a＝xxxxx232173856＝－x－18－x56．∵a为正整数，∴－x－18－x56＞0，∴x＋18＋x56＜0．显然x＜0，∴2x＋18x＋56＞0，解得x＜－35－9或35－9＜x＜0．又x为整数，且x|56，∴x可取－56，－28，－2，－1．由韦达定理知（－56）×（－1）＝（－28）×（－2），若－56和－1为方程②的两个根，则－（a＋18）＝－56－1，即a＝39；若－28和－2为方程②的两个根，则－（a＋18）＝－28－2，即a＝12．综上所述，当a＝39时，原方程的三个根为1，－1和－56；当a＝12时，原方程的三个根为1，－2和－28．A级1.2px＝q＋72．23．199414．1x＝2x＝－1，4,3x＝－3±525．C6．B7．C8．D9．199810.m＝219提示：由已知得a＋a1＝－4．11.假设存在符合条件的实数m，且设这两个方程的公共实根为a，则②，①，020222maamaa①－②得（m－2）（a－1）＝0，∴m＝2或a＝1．当m＝2时，已知两个方程为同一个方程，且没有实数根，故m＝2舍去；当a＝1时，代入①得m＝－3，可求得公共根为x＝1．12.当k＝4或k＝8，分别求得x＝1或x＝－2．当k≠4且k≠8时，原方程可化为84xk48xk＝0，∴1x＝k48，2x＝k84．∵k为整数，且1x，2x均为整数，∴4－k＝±1，±2，±4，±8且8－k＝±1，±2，±4，∴k＝6，12．故k＝4，6，8，12时，原方程的根为整数．B级1．42．－13.－3提示：代入根得（7＋2a＋b）＋（－4－a）3＝0．4.C提示：由题给方程2x－3＝2x．又∵x≤x，则2x－3≤2x，∴2x－2x－3≤0，则－1≤x≤3，∴x只可能取值为－1，0，1，2，3．分别代入原方程解得x＝－1，7，3，故原方程共有三个解．5．D6．C7．D8．D9．5提示：由x＝4－3，得2x－8x＋13＝0．10.当2x－1＞0即x＞21时，原方程化为2x－2x－3＝0，解得1x＝3，2x＝－1（舍去）；当2x－1＝0即x＝21时，2x－4＝41－4≠0，舍去；当2x－1＜0即x＜21时，原方程化为2x＋2x－5＝0，解得1x＝－1－6，2x＝－1＋6＞21（舍去），故所有根之和为3＋（－1－6）＝2－6．11.由条件知a＞1，b＞1，a≠b，解得①的两个根为a，12aa，②的两个根为b，12bb．∵a≠b，∴a＝12bb③或b＝12aa④，由③④均得ab－a－b－2＝0，即（a－1）（b－1）＝3．因为a，b均为正整数，则有31,11ba或11,31ba解得4,2ba或2,4ba代入所求值得表达式化简得ababbaba＝abba＝256．12．x＋x2－3＝0令x＝t，则2t＋2t－3＝01t＝1，2t＝－31t＝1＞0，2t＝－3＜0（舍）x＝1，∴x＝1x＋2x－4＝0令2x＝t，则2t＋t－2＝01t＝1，2t＝－21t＝1＞0，2t＝－2＜0（舍）2x＝1∴x－2＝1，x＝3